Số nguyên tố. Phân tích ra thừa số nguyên tố
Phân biệt số nguyên tố với hợp số, biết vì sao số 1 không thuộc loại nào, và phân tích thành thạo một số ra tích các thừa số nguyên tố.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 10
⚡ Nhớ nhanh
- 1Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó: 2; 3; 5; 7; 11; 13; …
- 2Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có từ ba ước trở lên: 4; 6; 8; 9; 10; …
- 3⚠️ Số 1 chỉ có một ước nên không nguyên tố, cũng không là hợp số. Số 0 có vô số ước, cũng không thuộc loại nào.
- 42 là số nguyên tố chẵn duy nhất — mọi số chẵn khác đều có thêm ước là 2.
- 5Mọi hợp số đều phân tích được ra tích các thừa số nguyên tố, và cách phân tích là duy nhất: 60 = 2² · 3 · 5.
- 6Mười số nguyên tố đầu nên thuộc: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.
👀 Nhìn là hiểu
Gạch dần bội của 2, rồi 3, 5, 7 trên bảng 100 ô — số nào sống sót chính là số nguyên tố. Bấm một số để xem cây phân tích của nó.
Bấm vào một ô để xem phân tích của số đó.
Bảng còn nguyên. Bấm Gạch bội của 2 để bắt đầu sàng: mỗi lần gạch, ta bỏ đi các bội của một số nguyên tố (trừ chính nó).
12 = 2² · 3
Có 6 ước — cộng 1 vào mỗi số mũ rồi nhân: (2 + 1) · (1 + 1) = 6.
1 🔢 Nguyên tố hay hợp số — đếm ước là biết
Cần nhớ
- ✦Đếm số ước là phân loại xong: 1 ước → chỉ có số 1 · đúng 2 ước → số nguyên tố · từ 3 ước → hợp số.
- ✦Số nguyên tố và hợp số đều phải lớn hơn 1. Nên 0 và 1 đứng riêng, không thuộc loại nào.
- ✦Muốn chứng minh một số là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và chính nó: 51 = 3 · 17.
- ✦Muốn khẳng định một số là nguyên tố, phải thử hết các ước có thể — không chỉ thử vài số rồi kết luận.
Phân loại vài số
| Số | Các ước | Loại |
|---|---|---|
| 0 | Vô số | ⚠️ Không thuộc loại nào |
| 1 | 1 | ⚠️ Không thuộc loại nào |
| 2 | 1; 2 | Nguyên tố (chẵn duy nhất) |
| 9 | 1; 3; 9 | Hợp số |
| 13 | 1; 13 | Nguyên tố |
Dạng bài
Kiểm tra một số có phải số nguyên tố không
- 1 Lần lượt thử chia cho các số nguyên tố 2; 3; 5; 7; 11; … từ nhỏ tới lớn.
- 2 Chỉ cần thử tới số nguyên tố mà bình phương của nó chưa vượt quá số đang xét — vì các ước đi thành cặp.
- 3 Chia hết cho một số nào đó → hợp số, viết luôn tích ra. Không số nào chia hết → số nguyên tố.
⚠️ Bẫy hay gặp: 91 là bẫy kinh điển: không chia hết cho 2; 3; 5 nên trông rất giống số nguyên tố — nhưng phải thử cả 7. Hai số hay bị nhầm tương tự: 51 = 3 · 17 và 57 = 3 · 19.
Số 91 có phải số nguyên tố không? Còn 97 thì sao?
Hướng dẫn giải
2 🌳 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Cần nhớ
- ✦Phân tích tới khi mọi thừa số đều là số nguyên tố. Viết 84 = 4 · 21 là chưa xong vì 4 và 21 còn chia được.
- ✦Kết quả viết gọn bằng luỹ thừa, các thừa số sắp tăng dần: 84 = 2² · 3 · 7.
- ✦Cách phân tích là duy nhất — làm theo thứ tự nào cũng ra cùng một kết quả.
- ✦Số nguyên tố thì phân tích chính là bản thân nó: 13 = 13.
Dạng bài
Chia cột — chia lần lượt cho số nguyên tố từ nhỏ tới lớn
- 1 Chia cho 2 chừng nào còn chia hết, đếm xem chia được mấy lần.
- 2 Hết chia được cho 2 thì chuyển sang 3, rồi 5, rồi 7, …
- 3 Dừng khi thương bằng 1. Viết tích các số nguyên tố đã dùng, gom thành luỹ thừa.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng dừng giữa chừng. 180 = 4 · 45 hay 180 = 2 · 90 mới là bước trung gian, chưa phải kết quả phân tích.
Phân tích 180 ra thừa số nguyên tố.
Hướng dẫn giải
Tách thành hai thừa số bất kỳ rồi tách tiếp các nhánh còn là hợp số. Thoải mái chọn cặp nào cũng được, kết quả cuối vẫn như nhau.
Chia lần lượt cho 2; 3; 5; 7… Chặt chẽ hơn, không sót thừa số, và các thừa số ra sẵn theo thứ tự tăng dần.
3 🧮 Mẹo: đếm số ước từ dạng phân tích
Cần nhớ (mẹo kiểm nhanh, rất lợi khi làm trắc nghiệm)
- ✦Phân tích xong thì cộng 1 vào mỗi số mũ rồi nhân các kết quả lại — đó là số ước.
- ✦Ví dụ 180 = 2² · 3² · 5 có (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 · 3 · 2 = 18 ước.
- ✦⚠️ Thừa số viết trần (không có mũ) có số mũ là 1, phần của nó là 1 + 1 = 2. Bỏ sót chỗ này là lỗi hay gặp nhất.
- ✦Đây là mẹo đếm, không thay được việc liệt kê khi đề yêu cầu viết ra tập hợp các ước.
Dạng bài
Đếm số ước của một số
- 1 Phân tích số đó ra thừa số nguyên tố, viết rõ số mũ của từng thừa số.
- 2 Cộng 1 vào mỗi số mũ.
- 3 Nhân các kết quả vừa cộng với nhau.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân thẳng hai số mũ (3 · 2 = 6) là sai — phải cộng 1 vào từng số mũ trước khi nhân.
Số 72 có bao nhiêu ước?
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Nhận ra số nguyên tố và hợp số
- 1Nhận biết
Số nào là số nguyên tố?
- 2Nhận biết
Số nguyên tố chẵn duy nhất là
- 3Nhận biết
Số 1 thuộc loại nào?
- 4Thông hiểu Từ 1 đến 20 có số nguyên tố.
- 5Thông hiểu
Số nào dưới đây là hợp số?
- 6Vận dụng
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
b)Tổng của hai số nguyên tố bất kỳ luôn là số chẵn.
c)Số 91 là số nguyên tố vì không chia hết cho 2; 3; 5.
- 7Nhận biết
Số nào là hợp số?
- 8Thông hiểu Từ 20 đến 30 có số nguyên tố.
Phân tích ra thừa số nguyên tố
- 1Thông hiểu
Phân tích 84 ra thừa số nguyên tố được
- 2Thông hiểu Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố: 60 = 2² · · .
- 3Thông hiểu Phân tích 120 ra thừa số nguyên tố: 120 = 2³ · · .
- 4Thông hiểu
Cách phân tích nào chưa xong?
- 5Vận dụng Số nguyên tố lớn nhất có hai chữ số là .
- 6Thông hiểu Phân tích 98 ra thừa số nguyên tố: 98 = 2 · ².
Đếm số ước
- 1Vận dụng
Số 2³ · 5² có bao nhiêu ước?
- 2Vận dụng Số 180 = 2² · 3² · 5 có ước.
- 3Vận dụng Số 72 có ước.
- 4Vận dụng
Số nào có đúng 3 ước?
- 5Thông hiểu Số 50 = 2 · 5² có ước.
🎯 Chủ điểm này ra kiểm tra thế nào?
- •Bài kiểm tra giữa kỳ I gần như luôn có một câu phân tích ra thừa số nguyên tố — viết đúng dạng luỹ thừa, thừa số sắp tăng dần.
- •Câu trắc nghiệm hay hỏi nhận ra hợp số trong nhóm số trông giống nguyên tố (51; 57; 91) hoặc hỏi về vị trí riêng của số 1.
- •Phân tích ra thừa số nguyên tố là công cụ bắt buộc cho hai chủ điểm ngay sau (ƯCLN, BCNN) và cho việc rút gọn, quy đồng phân số ở chương VI.
8. Ước chung. Ước chung lớn nhất