Ước chung. Ước chung lớn nhất
Tìm ước chung và ƯCLN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi dùng ƯCLN để giải bài toán chia đều và rút gọn phân số.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 11
⚡ Nhớ nhanh
- 1ƯC(a, b) gồm những số vừa là ước của a vừa là ước của b. ƯCLN(a, b) là số lớn nhất trong đó.
- 2Cách tìm ƯCLN: phân tích ra thừa số nguyên tố → lấy thừa số chung → mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất → nhân lại.
- 3Thừa số nào thiếu ở một số thì bỏ — đó là điểm khác BCNN.
- 4Mọi ước chung đều là ước của ƯCLN: tìm được ƯCLN là viết ra được cả tập ƯC.
- 5ƯCLN(a, b) = 1 thì a và b gọi là nguyên tố cùng nhau, ví dụ 8 và 15.
- 6ƯCLN luôn nhỏ hơn hoặc bằng số bé nhất. Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b ngay, khỏi phân tích.
👀 Nhìn là hiểu
Lát kín một nền nhà bằng những viên gạch vuông bằng nhau: cạnh viên gạch phải là ước chung của hai chiều. Viên lớn nhất lát kín được chính là ƯCLN.
Lát kín, không thừa mẩu nào.
✅ Gạch cạnh 12 lát kín, và đây là viên lớn nhất lát kín được ⇒ ƯCLN(36, 48) = 12. Lát được 3 × 4 = 12 viên.
36 = 2² · 3² và 48 = 2⁴ · 3 ⇒ lấy thừa số chung với mũ nhỏ nhất: ƯCLN = 12
1 🤝 Ước chung là gì
Cần nhớ
- ✦x ∈ ƯC(a, b) khi a ⋮ x và b ⋮ x. Ví dụ 4 ∈ ƯC(12, 20) vì 12 ⋮ 4 và 20 ⋮ 4.
- ✦1 luôn là ước chung của mọi cặp số, nên ƯC không bao giờ rỗng.
- ✦Cách thô sơ: liệt kê Ư(a), liệt kê Ư(b), lấy phần chung. Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20} ⇒ ƯC(12, 20) = {1; 2; 4}.
- ✦Liệt kê chỉ hợp với số nhỏ. Số lớn thì phân tích ra thừa số nguyên tố nhanh hơn nhiều.
Ước của cả hai số. Tập này hữu hạn, luôn chứa số 1, và số lớn nhất trong đó là ƯCLN.
Bội của cả hai số. Tập này vô hạn, luôn chứa số 0, và số nhỏ nhất khác 0 là BCNN (chủ điểm sau).
2 🔻 Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố
Ba bước — nhớ bằng hai chữ "CHUNG, NHỎ"
- ✦Bước 1 — Phân tích: mỗi số ra thừa số nguyên tố, viết dạng luỹ thừa.
- ✦Bước 2 — Chọn CHUNG: chỉ lấy thừa số có mặt ở mọi số. Thiếu ở một số là bỏ hẳn.
- ✦Bước 3 — Lấy mũ NHỎ nhất của từng thừa số đã chọn, rồi nhân lại.
- ✦Kiểm nhanh: ƯCLN phải chia hết cả hai số và không vượt quá số bé hơn.
Dạng bài
Tìm ƯCLN rồi viết ra cả tập ước chung
- 1 Phân tích từng số ra thừa số nguyên tố.
- 2 Lấy thừa số chung, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất, nhân lại được ƯCLN.
- 3 Tập ƯC chính là tập ước của ƯCLN — liệt kê các ước của nó.
- 4 Thử lại: chia cả hai số ban đầu cho ƯCLN, phải hết.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thừa số chỉ có ở một số thì phải bỏ. Viết ƯCLN(24, 60) = 2² · 3 · 5 = 60 là sai — 60 không chia hết 24 được.
Tìm ƯCLN(24, 60) rồi liệt kê ƯC(24, 60).
Hướng dẫn giải
ƯCLN khác BCNN ở đúng hai chỗ
| ƯCLN | BCNN | |
|---|---|---|
| Lấy thừa số | Chung | Chung và riêng |
| Lấy số mũ | Nhỏ nhất | Lớn nhất |
| So với a, b | Bé hơn hoặc bằng | Lớn hơn hoặc bằng |
| Với 12 và 18 | 6 | 36 |
Hai trường hợp khỏi phải phân tích
- ✦a ⋮ b → ƯCLN(a, b) = b. Ví dụ ƯCLN(36, 12) = 12 vì 36 ⋮ 12.
- ✦Không có thừa số nguyên tố nào chung → ƯCLN = 1, hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 8 = 2³ và 15 = 3 · 5.
- ✦⚠️ Nguyên tố cùng nhau không có nghĩa là cả hai đều là số nguyên tố: 8 và 15 đều là hợp số.
3 ✂️ Dùng ƯCLN: chia đều và rút gọn phân số
Nhận ra bài ƯCLN trong đề
- ✦Đề có chữ "chia đều thành các phần giống nhau", "nhiều nhất", "cắt thành đoạn bằng nhau dài nhất" → dùng ƯCLN.
- ✦Đề có chữ "cùng lặp lại", "gặp nhau lần tiếp theo", "ít nhất" → dùng BCNN (chủ điểm sau).
- ✦Rút gọn phân số về tối giản: chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.
Dạng bài
Bài toán chia đều thành phần lớn nhất
- 1 Gọi cái cần tìm (cạnh hình vuông, số phần quà…) là x và chỉ ra x là ước chung của những số nào.
- 2 Đề đòi "lớn nhất / nhiều nhất" → x chính là ƯCLN.
- 3 Tính ƯCLN, rồi trả lời thêm phần đề hỏi (được bao nhiêu phần, mỗi phần mấy cái).
- 4 Thử lại bằng phép chia thật.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đọc nhầm "lớn nhất" thành "nhỏ nhất" rồi đi tìm BCNN. Cạnh hình vuông phải nhỏ hơn cả hai chiều, nên chắc chắn là ƯCLN chứ không phải BCNN.
Một tấm bìa hình chữ nhật 36 cm × 48 cm được cắt thành các hình vuông bằng nhau, không thừa mẩu nào. Cạnh hình vuông lớn nhất là bao nhiêu? Khi đó được mấy hình?
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Ước chung
- 1Nhận biết
Số nào là ước chung của 12 và 20?
- 2Nhận biết
Số nào luôn là ước chung của hai số tự nhiên bất kỳ?
- 3Thông hiểu ƯC(12, 20) có phần tử.
- 4Thông hiểu
Biết ƯCLN(a, b) = 12. Tập ƯC(a, b) là
- 5Nhận biết
ƯC(8, 12) chứa số nào?
- 6Nhận biết
Số nào không thể là ước chung của hai số tự nhiên bất kỳ?
Tìm ƯCLN
- 1Thông hiểu ƯCLN(12, 18) = .
- 2Thông hiểu ƯCLN(30, 45) = .
- 3Thông hiểu ƯCLN(36, 48) = .
- 4Thông hiểu
ƯCLN(36, 12) bằng bao nhiêu?
- 5Thông hiểu
Cặp số nào nguyên tố cùng nhau?
- 6Vận dụng
Xét ƯCLN(24, 60) = 12. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)Số 6 là ước chung của 24 và 60.
b)Số 5 là ước chung của 24 và 60.
c)ƯCLN(24, 60) = 2² · 3 · 5 vì phải lấy hết các thừa số.
- 7Vận dụng ƯCLN(12, 18, 30) = .
- 8Thông hiểu ƯCLN(16, 24) = .
Vận dụng: chia đều, rút gọn
- 1Thông hiểu
Bài nào dưới đây giải bằng ƯCLN?
- 2Vận dụng Chia 24 cái bút và 36 quyển vở vào các phần quà giống nhau. Số phần quà nhiều nhất là .
- 3Vận dụng Một tấm bìa 36 cm × 48 cm cắt thành các hình vuông bằng nhau, không thừa. Cạnh hình vuông lớn nhất là cm.
- 4Vận dụng Rút gọn phân số 3648 về tối giản được phân số có tử bằng , mẫu bằng .
- 5Vận dụng Một lớp có 40 học sinh nam và 32 học sinh nữ, chia thành các tổ có số nam bằng nhau và số nữ bằng nhau, nhiều nhất tổ.
🎯 Chủ điểm này ra kiểm tra thế nào?
- •ƯCLN gần như luôn có một câu ở bài kiểm tra giữa kỳ I — thường là tính ƯCLN của hai hoặc ba số, trình bày đủ bước phân tích.
- •Câu tự luận hay là bài toán chia đều: đọc kỹ chữ "nhiều nhất / lớn nhất" để khỏi nhầm sang BCNN, và nhớ trả lời cả phần "mỗi phần có bao nhiêu".
- •ƯCLN dùng trực tiếp để rút gọn phân số về tối giản ở chương VI, và lên lớp 7 còn dùng khi rút gọn tỉ số, tỉ lệ thức.
9. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất