Điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng
Dùng đúng kí hiệu điểm thuộc/không thuộc đường thẳng, đếm số đường thẳng qua các điểm cho trước, và xét ba điểm có thẳng hàng hay không.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 32
⚡ Nhớ nhanh
- 1Điểm đặt tên bằng chữ in hoa (A, B, C…); đường thẳng đặt tên bằng chữ thường (a, b, d…) hoặc gọi theo hai điểm nó đi qua.
- 2A ∈ d đọc "A thuộc d"; C ∉ d đọc "C không thuộc d". Kí hiệu ∈ chỉ nối điểm với đường thẳng.
- 3Đường thẳng không có đầu mút, kéo dài vô hạn hai phía — khác đoạn thẳng (2 đầu mút) và tia (1 đầu mút) ở hai bài sau.
- 4Qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng — không nhiều hơn, không ít hơn. Qua một điểm thì vẽ được vô số đường.
- 5Ba điểm thẳng hàng khi cả ba cùng nằm trên một đường thẳng; nếu không, gọi là không thẳng hàng.
- 6n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được đúng bằng số cặp điểm: 3 điểm cho 3 đường, 4 điểm cho 6 đường.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo ba điểm trên hình: khi nào thẳng hàng thì đường thẳng đi qua cả ba bật sáng. Đổi số điểm để đếm lại số đường thẳng vẽ được qua chúng.
Ba điểm không thẳng hàng — vẽ được 3 đường thẳng (AB, AC, BC).
Số đường thẳng qua ba điểm: 3
Qua hai điểm phân biệt luôn vẽ được đúng một đường thẳng. Ba điểm không thẳng hàng cho 3 cặp ⇒ 3 đường thẳng; thẳng hàng thì cả 3 cặp cùng cho một đường thẳng.
⚠️ "Thẳng hàng" nói về cùng nằm trên một đường thẳng, không bắt buộc điểm này phải nằm giữa hai điểm kia. Và ba điểm thẳng hàng thì luôn có đúng một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
1 📍 Điểm, đường thẳng và kí hiệu thuộc
Cần nhớ
- ✦Điểm đặt tên bằng chữ in hoa: A, B, C… Đường thẳng đặt tên bằng chữ thường: a, b, d… hoặc gọi theo hai điểm nó đi qua, ví dụ đường thẳng AB.
- ✦A ∈ d: A thuộc d, A nằm trên d. C ∉ d: C không thuộc d, C không nằm trên d.
- ✦Đường thẳng không có đầu mút, kéo dài vô hạn về hai phía. Đoạn thẳng có 2 đầu mút, tia có 1 đầu mút.
Dạng bài
Đọc và viết đúng kí hiệu thuộc, không thuộc
- 1 Nhìn hình: điểm có nằm trên đường thẳng hay không.
- 2 Nằm trên thì viết ∈; không nằm trên thì viết ∉. Điểm luôn viết trước, đường thẳng viết sau.
- 3 Đọc thành lời: "… thuộc …" hoặc "… không thuộc …".
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết ngược thành "a ∈ E" là sai hẳn kí hiệu — ∈ luôn đặt điểm trước, đường thẳng sau, không viết ngược chiều.
Cho đường thẳng a và hai điểm E, F, trong đó E nằm trên a còn F không nằm trên a. Viết kí hiệu đúng cho E và F.
Hướng dẫn giải
2 📏 Qua hai điểm có đúng một đường thẳng
Cần nhớ
- ✦Qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng. Không có hai, không có không.
- ✦Qua một điểm vẽ được vô số đường thẳng — phải đủ hai điểm mới xác định đúng một đường.
- ✦Không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ qua n điểm bằng số cặp điểm: 3 điểm → 3 đường, 4 điểm → 6 đường, 5 điểm → 10 đường.
Dạng bài
Đếm số đường thẳng qua các điểm cho trước
- 1 Kiểm xem trong các điểm đã cho có ba điểm nào thẳng hàng không.
- 2 Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng: liệt kê từng cặp điểm, mỗi cặp cho đúng một đường thẳng riêng.
- 3 Nếu có những điểm thẳng hàng: các cặp cùng nằm trên một đường chỉ tính là một đường thẳng.
- 4 Thử lại bằng cách liệt kê tên từng đường thẳng vừa đếm.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cặp AB và BA là cùng một đường thẳng — đếm theo cặp không phân biệt thứ tự, đừng đếm gấp đôi thành 12.
Cho bốn điểm A, B, C, D, không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ được bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm?
Hướng dẫn giải
3 📐 Ba điểm thẳng hàng hay không thẳng hàng
Cần nhớ
- ✦Ba điểm thẳng hàng khi cả ba cùng nằm trên một đường thẳng; nếu không có đường thẳng nào đi qua cả ba thì không thẳng hàng.
- ✦Ba điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng qua chúng; ba điểm không thẳng hàng vẽ được 3 đường thẳng (nối từng cặp).
- ✦Có thể dùng tính chất "qua hai điểm có đúng một đường thẳng" để kết luận chắc chắn ba điểm có thẳng hàng hay không, không chỉ đoán bằng mắt nhìn hình vẽ.
Dạng bài
Xét ba điểm có thẳng hàng hay không
- 1 Xác định hai điểm đã biết chắc cùng nằm trên một đường thẳng cho trước.
- 2 Qua hai điểm đó chỉ có đúng một đường thẳng — chính là đường đã cho.
- 3 Kiểm điểm thứ ba có nằm trên đường thẳng ấy không: có thì ba điểm thẳng hàng, không thì ba điểm không thẳng hàng.
- 4 Thử lại bằng cách nhìn hình vẽ xem điểm thứ ba có lệch khỏi đường thẳng hay không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Không thể chỉ nhìn hình vẽ rồi đoán "trông như thẳng hàng" — phải dùng tính chất qua hai điểm đúng một đường thẳng để kết luận chắc chắn, vì hình vẽ tay có thể lệch nhẹ.
Cho đường thẳng m và hai điểm K, L cùng nằm trên m. Điểm H không nằm trên m. Hỏi K, L, H có thẳng hàng không?
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Đọc, viết kí hiệu
- 1Nhận biết
Tên gọi đúng cho một đường thẳng là
- 2Nhận biết
Cho điểm M nằm trên đường thẳng a. Kí hiệu đúng là
- 3Thông hiểu
Cho điểm N không nằm trên đường thẳng b. Kí hiệu đúng là
- 4Thông hiểu
Xét các khẳng định về đường thẳng:
a)Đường thẳng có hai đầu mút.
b)Qua một điểm vẽ được vô số đường thẳng.
c)Đoạn thẳng có hai đầu mút, còn tia chỉ có một.
- 5Vận dụng Cho đường thẳng c. Biết P ∈ c và Q ∉ c. Số điểm trong hai điểm P, Q nằm trên c là .
- 6Thông hiểu
Cho đường thẳng p, điểm R ∈ p và điểm S ∉ p. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đếm đường thẳng qua các điểm
- 1Nhận biết
Qua hai điểm phân biệt vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
- 2Nhận biết
Qua một điểm vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
- 3Thông hiểu
Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được qua hai trong ba điểm là
- 4Thông hiểu Cho năm điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được qua hai trong năm điểm là .
- 5Vận dụng
Cho bốn điểm A, B, C, D, trong đó A, B, C thẳng hàng còn D nằm ngoài đường thẳng đó. Số đường thẳng phân biệt vẽ được qua hai trong bốn điểm là
- 6Vận dụng Cho sáu điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được qua hai trong sáu điểm là .
- 7Thông hiểu
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được qua hai trong ba điểm là
Xét ba điểm thẳng hàng
- 1Nhận biết
Ba điểm thẳng hàng là ba điểm
- 2Thông hiểu
Cho đường thẳng d và điểm K ∈ d, L ∈ d, H ∉ d. Ba điểm K, L, H
- 3Thông hiểu
Cho ba điểm X, Y, Z không thẳng hàng. Xét các khẳng định:
a)Vẽ được 3 đường thẳng qua hai trong ba điểm.
b)Cả ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.
c)Chỉ cần nhìn hình vẽ là đủ để khẳng định chắc chắn.
- 4Vận dụng
Cho đường thẳng p và điểm I, J, G với I ∈ p, J ∈ p. Để kết luận chắc chắn I, J, G không thẳng hàng, cần biết thêm điều gì?
- 5Vận dụng Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó A, B, D thẳng hàng, còn C nằm ngoài đường thẳng ấy. Số đường thẳng phân biệt vẽ qua hai trong bốn điểm là .
- 6Thông hiểu
Cho đường thẳng t và ba điểm M, N, P đều thuộc t (phân biệt từng đôi một). Ba điểm M, N, P có thẳng hàng không?
🎯 Chủ điểm này ra kiểm tra thế nào?
- •Thường ra dưới dạng câu hỏi ngắn: viết đúng kí hiệu ∈/∉, hoặc đếm số đường thẳng qua một số điểm cho trước — nhớ kiểm có điểm nào thẳng hàng không trước khi đếm.
- •Câu khó hay hỏi chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc không thẳng hàng dựa vào tính chất "qua hai điểm có đúng một đường thẳng", không chỉ nhìn hình vẽ.
- •Đây là nền cho tia, đoạn thẳng, trung điểm, góc ngay trong chương này, và cho các bài hình học chứng minh ở lớp 7.
29. Điểm nằm giữa hai điểm. Tia