Trung điểm của đoạn thẳng
Nhận ra một điểm có phải trung điểm của đoạn thẳng hay không bằng cách kiểm đủ hai điều kiện, và tính độ dài khi biết trung điểm.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 35
⚡ Nhớ nhanh
- 1M là trung điểm của AB khi M nằm giữa A, B và MA = MB — cần đủ cả hai điều kiện.
- 2Khi M là trung điểm: MA = MB = AB : 2. Ví dụ AB = 10 cm thì MA = MB = 5 cm.
- 3Chiều ngược: biết một nửa thì nhân đôi để ra cả đoạn: MA = 6 cm thì AB = 12 cm.
- 4⚠️ Cách đều mà không nằm giữa thì không phải trung điểm — có vô số điểm cách đều A, B nhưng nằm ngoài đoạn AB.
- 5⚠️ Nằm giữa mà không cách đều cũng không phải trung điểm — có vô số điểm nằm giữa mà hai nửa lệch nhau.
- 6Mỗi đoạn thẳng có đúng một trung điểm, còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo điểm M trên đoạn AB: hai điều kiện "nằm giữa" và "cách đều" bật đèn riêng, chỉ khi cả hai cùng sáng thì M mới là trung điểm.
✗ M chưa phải trung điểm của AB
Đã nằm giữa nhưng MA ≠ MB (3 cm và 5 cm) nên chưa cách đều.
⚠️ Nhớ đủ hai điều kiện. Chỉ có MA = MB thì chưa đủ — đó là bẫy quen thuộc trong đề kiểm tra. Mỗi đoạn thẳng có đúng một trung điểm.
1 🎯 Trung điểm là gì
Cần nhớ
- ✦M là trung điểm của AB khi M nằm giữa A, B và MA = MB — thiếu một trong hai là không phải trung điểm.
- ✦Khi đủ hai điều kiện: MA = MB = AB : 2. Ví dụ AB = 16 cm thì MA = MB = 8 cm.
- ✦Mỗi đoạn thẳng chỉ có đúng một trung điểm, không có đoạn nào có hai trung điểm trở lên.
Kiểm đủ hai điều kiện mới là trung điểm
| Tình huống | Nằm giữa? | Cách đều? | Là trung điểm? |
|---|---|---|---|
| M giữa A,B và MA = MB | Có | Có | Có |
| M giữa A,B nhưng MA ≠ MB | Có | Không | Không |
| M cách đều A,B nhưng nằm ngoài đoạn | Không | Có | Không |
| M ngoài đoạn, MA ≠ MB | Không | Không | Không |
Dạng bài
Kiểm một điểm có phải trung điểm hay không
- 1 Kiểm điều kiện nằm giữa: điểm đó có nằm trong đoạn thẳng, giữa hai đầu mút không.
- 2 Kiểm điều kiện cách đều: hai khoảng cách từ điểm đó tới hai đầu có bằng nhau không.
- 3 Đủ cả hai điều kiện thì kết luận là trung điểm; thiếu một điều kiện thì không phải.
- 4 Thử lại: cộng hai nửa phải ra đúng cả đoạn.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nếu đề đổi thành "trên đường thẳng AB lấy C với AC = 7 cm" (không nói "trên đoạn") thì C có thể nằm ngoài đoạn AB, phía bên kia A — khi ấy C không nằm giữa nên không phải trung điểm dù khoảng cách AC vẫn là 7 cm.
Trên đoạn thẳng AB = 14 cm lấy điểm C với AC = 7 cm. Hỏi C có phải trung điểm của AB không?
Hướng dẫn giải
2 ➗ Tính nửa đoạn và cả đoạn
Cần nhớ
- ✦Biết cả đoạn AB, muốn tìm nửa đoạn thì chia 2: MA = AB : 2.
- ✦Biết một nửa (MA hoặc MB), muốn tìm cả đoạn thì nhân 2: AB = 2 × MA.
- ✦Luôn kiểm chiều tính: hỏi "đang có cả đoạn hay nửa đoạn" trước khi chia hay nhân.
Dạng bài
Tính xuôi (chia đôi) và tính ngược (nhân đôi)
- 1 Đọc đề xem đang cho cả đoạn AB hay cho nửa đoạn MA/MB.
- 2 Cho cả đoạn, hỏi nửa đoạn → chia 2.
- 3 Cho nửa đoạn, hỏi cả đoạn → nhân 2.
- 4 Thử lại: nửa đoạn phải bé hơn cả đoạn.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm chiều tính: thấy MA = 9 cm rồi viết thẳng AB = 9 cm (quên nhân đôi) là sai — cả đoạn luôn gấp đôi nửa đoạn.
M là trung điểm của AB với AB = 18 cm. Tính MA. Nếu đổi lại, biết MB = 9 cm thì AB bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Có phải trung điểm không
- 1Nhận biết
M là trung điểm của AB khi
- 2Thông hiểu
Xét các khẳng định về trung điểm:
a)Điểm cách đều A và B thì chắc chắn là trung điểm của AB.
b)Điểm nằm giữa A và B thì chắc chắn là trung điểm của AB.
c)Một đoạn thẳng chỉ có đúng một trung điểm.
- 3Thông hiểu
Trên đoạn thẳng PQ = 20 cm lấy điểm N với PN = 10 cm. N có phải trung điểm của PQ không?
- 4Thông hiểu
Trên đường thẳng AB lấy điểm K với AK = 5 cm, nhưng K nằm ngoài đoạn AB (phía ngoài A), AB = 12 cm. K có phải trung điểm của AB không?
- 5Vận dụng
Trên đoạn thẳng EF = 24 cm lấy điểm G với EG = 10 cm. G có phải trung điểm của EF không?
- 6Nhận biết
Trung điểm của một đoạn thẳng còn được gọi là
- 7Thông hiểu
Trên đoạn thẳng RS = 16 cm, lấy điểm T với RT = 8 cm. T có là trung điểm của RS không?
- 8Vận dụng Trên đoạn thẳng AB = 24 cm, lấy I là trung điểm của AB, rồi lấy J là trung điểm của IB. Độ dài AJ là cm.
Tính nửa đoạn, cả đoạn
- 1Nhận biết
M là trung điểm của AB, AB = 10 cm. MA bằng
- 2Thông hiểu M là trung điểm của CD, MC = 6 cm. Độ dài CD là cm.
- 3Thông hiểu N là trung điểm của EF, EF = 22 cm. Độ dài NF là cm.
- 4Vận dụng
Điểm B nằm giữa A và C, biết AB = 12 cm và BC = 8 cm. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Độ dài MN là
- 5Vận dụng Trên đoạn thẳng AB = 30 cm, gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AM. Độ dài AN là cm.
- 6Nhận biết
M là trung điểm của AB, MB = 7 cm. Độ dài AB bằng
- 7Thông hiểu K là trung điểm của GH, GH = 9 cm. Độ dài GK là cm.
- 8Vận dụng
M là trung điểm của AB, biết AM = 1,5 dm. Độ dài AB bằng
- 9Thông hiểu
Trên đoạn thẳng XY = 20 cm, lấy điểm Z với XZ = 10 cm. Xét các khẳng định:
a)Z nằm giữa X và Y.
b)ZY = 10 cm.
c)Z là trung điểm của XY.
- 10Thông hiểu P là trung điểm của QR, QP = 5,5 cm. Độ dài QR là cm.
- 11Vận dụng
Trên đoạn thẳng AB = 20 cm lấy điểm M với AM = 12 cm. Phải dời M đi thế nào để M thành trung điểm của AB?
🎯 Chủ điểm này ra kiểm tra thế nào?
- •Trung điểm là một trong những chủ điểm hay ra nhất ở kiểm tra giữa kỳ — cả trắc nghiệm (tính độ dài) lẫn tự luận (chứng minh một điểm là trung điểm).
- •Câu chứng minh luôn đòi trình bày đủ hai bước: nêu điểm nằm giữa, rồi nêu cách đều — thiếu bước nào cũng bị trừ điểm dù kết quả đúng.
- •Đây là nền cho cách lập luận "đủ hai điều kiện" sẽ gặp lại nhiều lần trong các bài chứng minh hình học ở lớp 7, 8.
32. Góc và số đo góc