Quan hệ chia hết. Dấu hiệu chia hết
Tìm ước và bội của một số, xét một tổng có chia hết hay không mà chưa cần tính, và kiểm nhanh một số có chia hết cho 2, 3, 5, 9 hay không.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 8, Bài 9
⚡ Nhớ nhanh
- 1a ⋮ b (a chia hết cho b) khi có số tự nhiên k để a = b · k. Khi đó b là ước của a, a là bội của b.
- 2Mỗi số có hữu hạn ước (nhỏ nhất là 1, lớn nhất là chính nó) nhưng vô hạn bội (nhỏ nhất là 0).
- 3Hai số cùng chia hết cho m → tổng và hiệu cũng chia hết cho m. Một số không chia hết → tổng không chia hết.
- 4⚠️ Cả hai cùng không chia hết thì chưa kết luận được: 2 + 4 = 6 ⋮ 3, nhưng 2 + 3 = 5 thì không.
- 5Dấu hiệu: chia hết cho 2 và cho 5 thì nhìn chữ số tận cùng · chia hết cho 3 và cho 9 thì cộng tổng các chữ số.
- 6Số chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3, chiều ngược lại không đúng (12 ⋮ 3 nhưng 12 không ⋮ 9).
👀 Nhìn là hiểu
Xếp các viên bi thành những hàng bằng nhau: chia hết thì không thừa viên nào. Đổi số bi để xem bốn dấu hiệu 2, 3, 5, 9 bật tắt theo.
Hàng nào cũng đủ 9 viên — không thừa viên nào.
Xếp mỗi hàng mấy viên?
36 = 9 · 4 ⇒ 36 ⋮ 9
Vậy 9 là ước của 36, và 36 là bội của 9.
Bốn dấu hiệu cho số 36
- 2 Chữ số cuối là 6 ✓
- 5 Chữ số cuối là 6 ✗
- 3 Tổng chữ số 3 + 6 = 9 ✓
- 9 Tổng chữ số 3 + 6 = 9 ✓
Hai dòng đầu chỉ nhìn chữ số cuối (vì 10 chia hết cho cả 2 và 5). Hai dòng sau phải cộng các chữ số (vì 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1). Đừng dùng nhầm cách của nhóm này cho nhóm kia.
1 ➗ Chia hết, ước và bội
Cần nhớ
- ✦a ⋮ b khi tìm được số tự nhiên k với a = b · k. Ví dụ 18 ⋮ 6 vì 18 = 6 · 3.
- ✦Cùng một câu nói hai cách: 6 là ước của 18, còn 18 là bội của 6. Đừng gọi ngược.
- ✦Số ước là hữu hạn: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} — đúng 6 số. Mọi số đều có hai ước 1 và chính nó.
- ✦Số bội là vô hạn: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; …}. 0 là bội của mọi số vì 0 = 6 · 0.
Dạng bài
Tìm tập hợp các ước — thử theo cặp
- 1 Chia số đó lần lượt cho 1, 2, 3, … Mỗi lần chia hết thì ghi lại cả cặp (số chia và thương).
- 2 Dừng khi hai số trong cặp gặp nhau hoặc vượt qua nhau — từ đó trở đi chỉ lặp lại cặp cũ.
- 3 Sắp các ước đã ghi theo thứ tự tăng dần, viết trong dấu ngoặc nhọn.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng quên 1 và chính nó. Viết Ư(24) = {2; 3; 4; 6; 8; 12} là thiếu mất 1 và 24.
Tìm tập hợp các ước của 24.
Hướng dẫn giải
Ước khác bội ở chỗ nào
| Ước của 12 | Bội của 4 | |
|---|---|---|
| Liệt kê | 1; 2; 3; 4; 6; 12 | 0; 4; 8; 12; 16; … |
| Số lượng | Hữu hạn (6 số) | Vô hạn |
| Nhỏ nhất | 1 | 0 |
| Lớn nhất | 12 (chính nó) | Không có |
2 ➕ Tính chất chia hết của một tổng
Cần nhớ
- ✦Cả hai cùng chia hết cho m → tổng và hiệu đều chia hết cho m. Ví dụ 36 ⋮ 9 và 45 ⋮ 9 nên (36 + 45) ⋮ 9.
- ✦Đúng một số không chia hết cho m → tổng không chia hết cho m. Ví dụ 20 ⋮ 5 nhưng 23 không ⋮ 5 nên (20 + 23) không ⋮ 5.
- ✦⚠️ Cả hai đều không chia hết → chưa kết luận được, phải tính thật. Hai phần dư có thể bù nhau.
- ✦Lợi ích: khỏi phải cộng. Với 3600 + 4500 thì xét từng số hạng nhanh hơn hẳn cộng rồi chia.
Dạng bài
Xét tổng (hiệu) có chia hết không, mà không tính tổng
- 1 Xét từng số hạng với cùng một số m: số nào chia hết, số nào không.
- 2 Cả hai cùng chia hết → tổng chia hết. Đúng một số không chia hết → tổng không chia hết.
- 3 Cả hai đều không chia hết → không dùng được tính chất, phải tính tổng rồi chia thử.
⚠️ Bẫy hay gặp: Tính chất chỉ nói khi một số không chia hết. Từ "a và b đều không ⋮ 4" mà suy ra "a + b không ⋮ 4" là sai: 2 + 2 = 4 ⋮ 4, nhưng 1 + 2 = 3 thì không.
Không tính tổng, xét xem 56 + 28 có chia hết cho 7 không? Còn 56 + 30 thì sao?
Hướng dẫn giải
3 🔍 Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9
Cần nhớ
- ✦Chia hết cho 2: chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8. Chia hết cho 5: chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- ✦Chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9. Chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3. Ví dụ 2358 có 2 + 3 + 5 + 8 = 18 nên chia hết cho cả 3 và 9.
- ✦Vì sao khác nhau: 10 ⋮ 2 và 10 ⋮ 5 nên mọi hàng từ chục trở lên không ảnh hưởng, chỉ còn chữ số cuối. Còn 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 nên phần dư của cả số bằng phần dư của tổng chữ số.
- ✦Chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3, nhưng chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9: 12 ⋮ 3 mà 12 không ⋮ 9.
Kiểm số 2358 bằng bốn dấu hiệu
| Chia cho | Cách kiểm | Kết quả |
|---|---|---|
| 2 | Chữ số cuối là 8 | Có |
| 5 | Chữ số cuối là 8 | Không |
| 9 | 2 + 3 + 5 + 8 = 18 ⋮ 9 | Có |
| 3 | 18 ⋮ 3 | Có |
| 6 | Vừa ⋮ 2 vừa ⋮ 3 | Có |
Chỉ dùng cho 2 và 5. Số 13 tận cùng là 3 nhưng không chia hết cho 3 — nhìn chữ số cuối để xét 3 là sai.
Chỉ dùng cho 3 và 9. Số 12 có tổng chữ số là 3 (lẻ) nhưng vẫn chia hết cho 2 — cộng chữ số để xét 2 là sai.
4 🎯 Ghép nhiều dấu hiệu, tìm chữ số chưa biết
Cần nhớ
- ✦Chia hết cho 6 = vừa ⋮ 2 vừa ⋮ 3. Chia hết cho 10 = vừa ⋮ 2 vừa ⋮ 5, tức tận cùng là 0. Chia hết cho 15 = vừa ⋮ 3 vừa ⋮ 5.
- ✦Hai điều kiện cùng lúc thì lấy giao của hai tập đáp số, không phải hợp.
- ✦Chữ số chưa biết luôn chạy trong 0 → 9, nên tổng các chữ số cũng chỉ chạy trong một khoảng hẹp — liệt kê là ra.
Dạng bài
Tìm chữ số x để số có gạch ngang chia hết cho m
- 1 Viết tổng các chữ số theo x (nếu m là 3 hoặc 9), hoặc xét riêng chữ số tận cùng (nếu m là 2 hoặc 5).
- 2 Cho x chạy từ 0 đến 9, chọn những giá trị làm điều kiện đúng.
- 3 Nếu đề đòi nhiều điều kiện thì lấy giao các tập vừa tìm.
- 4 Thử lại bằng cách chia thẳng số vừa tìm.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chia hết cho 6 mà chỉ kiểm điều kiện chia hết cho 3 là thiếu: số 9 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
Tìm chữ số x để số 15x chia hết cho 9. Sau đó tìm x để 15x chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần cách làm.
Ước và bội
- 1Nhận biết
Số nào không phải ước của 12?
- 2Nhận biết
Bội nhỏ nhất của 7 là
- 3Nhận biết
Câu nào đúng về số ước và số bội của 8?
- 4Thông hiểu Số 24 có tất cả ước.
- 5Thông hiểu Ước lớn nhất của 45 khác chính nó là .
- 6Thông hiểu Bội của 9 nhỏ nhất có hai chữ số là .
- 7Vận dụng
Tìm số tự nhiên x sao cho x là ước của 20 và x > 5.
Tổng, hiệu có chia hết không
- 1Nhận biết
Biết a ⋮ 5 và b ⋮ 5. Khẳng định đúng là
- 2Thông hiểu
Tổng 40 + 27 có chia hết cho 4 không?
- 3Thông hiểu
Hiệu 72 − 36 có chia hết cho 9 không?
- 4Vận dụng
Biết a và b đều không chia hết cho 4. Xét các khẳng định về tổng a + b:
a)Tổng a + b chắc chắn không chia hết cho 4.
b)Tổng a + b chắc chắn chia hết cho 4.
c)Chưa thể kết luận gì, phải tính tổng rồi chia thử.
- 5Vận dụng Để tổng 36 + x chia hết cho 9 với x là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0, thì x = .
Dùng dấu hiệu chia hết
- 1Nhận biết
Số nào chia hết cho 5?
- 2Thông hiểu
Số 2718 chia hết cho những số nào trong 2; 3; 9?
- 3Thông hiểu
Số 13 có chia hết cho 3 không?
- 4Thông hiểu
Xét số 1230. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)1230 chia hết cho 2.
b)1230 chia hết cho 5.
c)1230 chia hết cho 9.
- 5Thông hiểu
Khẳng định nào đúng?
- 6Vận dụng
Số nào chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 2?
Tìm chữ số chưa biết
- 1Vận dụng
Chữ số x để số 34x chia hết cho 3 là
- 2Vận dụng Chữ số x để số 58x chia hết cho 9 là x = .
- 3Vận dụng Chữ số x nhỏ nhất để số 41x chia hết cho 2 và cho 5 là x = .
- 4Vận dụng
Chữ số x để số 12x chia hết cho 6 là
🎯 Chủ điểm này ra kiểm tra thế nào?
- •Dấu hiệu chia hết gần như luôn có mặt ở bài kiểm tra giữa kỳ I dưới dạng câu trắc nghiệm ngắn: chọn số chia hết cho 2, 3, 5, 9 hoặc tìm chữ số chưa biết.
- •Câu tự luận hay hỏi ghép hai dấu hiệu (chia hết cho 6, cho 10, cho 15) — nhớ lấy giao của hai điều kiện, đừng dừng ở điều kiện đầu.
- •Đây là nền trực tiếp cho ƯCLN, BCNN ở hai chủ điểm sau, và cho việc rút gọn phân số ở chương VI. Lên lớp 7 còn dùng khi xét một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không.
7. Số nguyên tố. Phân tích ra thừa số nguyên tố