Chủ đề 8 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Cộng, trừ, nhân vectơ với một số bằng toạ độ; tính tích vô hướng, góc, xét vuông góc và cùng phương; dùng tích có hướng để tìm vectơ vuông góc với hai vectơ, tính diện tích, thể tích và xét bốn điểm đồng phẳng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 8

⚡ Nhớ nhanh

1Cộng, trừ, nhân với số: làm từng thành phần. Ví dụ: $2 (1; 2; 3) - (0; 1; 1) = (2; 3; 5)$ .
2Tích vô hướng cho một số: $u \cdot v = a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}$ . Bằng 0 ⇔ vuông góc. $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ .
3Tích có hướng cho một vectơ, vuông góc với cả $u$ lẫn $v$ : $[u, v] = (b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2}; c_{1} a_{2} - a_{1} c_{2}; a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2})$ . Bằng $0$ ⇔ cùng phương.
4Đổi thứ tự: tích vô hướng giữ nguyên, tích có hướng đổi dấu: $[v, u] = - [u, v]$ .
5Diện tích tam giác $A B C = \frac{1}{2} [A B, A C]$ ; thể tích tứ diện $= \frac{1}{6} [A B, A C] \cdot A D$ .
6Thói quen chống sai: tính tích có hướng xong, kiểm bằng hai tích vô hướng với $u$ và $v$ , cả hai phải bằng 0.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi toạ độ của u, v bằng ±: n = [u, v] (cam) luôn vuông góc với cả hai, bảng "che cột" tính từng thành phần, độ dài |n| là diện tích hình bình hành tím. Kéo trên hình để xoay xem góc vuông.

Kéo trên hình để xoay.

Che từng cột, nhân chéo phần còn lại:

n_x = 0·1 − 1·2 = −2

n_y = 1·0 − 2·1 = −2 ← cột giữa: thứ tự z, x (hay sai dấu nhất)

n_z = 2·2 − 0·0 = 4

[u, v] = (−2; −2; 4)

Kiểm tra: u·n = 0, v·n = 0 ✓ vuông góc cả hai

Diện tích hình bình hành = |[u, v]| = √24 ≈ 4,9 · tam giác = nửa số đó

u·v = 1 là một số (tích vô hướng); [u, v] là một vectơ (tích có hướng).

1 ➕ Cộng, trừ, nhân số, độ dài

Cần nhớ

✦Với $u = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $v = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ : $u \pm v = (a_{1} \pm a_{2}; b_{1} \pm b_{2}; c_{1} \pm c_{2})$ và $k u = (k a_{1}; k b_{1}; k c_{1})$ .
✦Độ dài $∣ u ∣ = a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}$ .
✦Hai vectơ cùng phương khi có k để $v = k u$ , tức ba toạ độ tương ứng cùng tỉ lệ. Ví dụ: $(1; - 2; 3)$ và $(2; - 4; 6)$ cùng phương (k = 2).
✦Hai vectơ bằng nhau khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau.

Dạng bài

Tính biểu thức vectơ bằng toạ độ

1 Nhân số k vào cả ba thành phần trước (nhớ dấu).
2 Cộng hoặc trừ từng thành phần, mỗi thành phần một dòng.
3 Cần độ dài thì bình phương ba thành phần, cộng rồi lấy căn.
4 Thử lại: một thành phần bất kì tính lại bằng cách khác.

⚠️ Bẫy hay gặp: Trừ $3 v$ mà quên đổi dấu thành phần âm: $6 - (- 3)$ phải ra 9, nhiều bạn viết $6 - 3 = 3$ .

➕

Làm mẫu

Cho $u = (1; - 2; 3)$ và $v = (2; 0; - 1)$ . Tính $2 u - 3 v$ và độ dài của nó.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm tham số để hai vectơ cùng phương

1 Lập tỉ số từng cặp thành phần (thành phần nào đã biết rõ thì lấy làm gốc để tìm k).
2 Cho các tỉ số bằng nhau, giải tìm tham số.
3 Thử lại: vectơ sau khi thay phải bằng k lần vectơ kia.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chia nhầm vế: $x = \frac{- 2}{2} = - 1$ là sai. Phải nhân: x = k·(−2) với k = 2.

🔗

Làm mẫu

Tìm x, y để $a = (1; - 2; 3)$ và $b = (2; x; y)$ cùng phương.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Tích vô hướng, góc, vuông góc

Cần nhớ

✦ $u \cdot v = a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}$ . Ví dụ: $(1; 2; 3) \cdot (2; 0; - 1) = 2 + 0 - 3 = - 1$ .
✦ $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ . Cùng phương thì không phải tích vô hướng bằng 0.
✦ $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ . Tích vô hướng âm thì góc tù (lớn hơn 90°).
✦ $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ .

Dạng bài

Tìm góc giữa hai vectơ

1 Tính $u \cdot v$ .
2 Tính $∣ u ∣$ và $∣ v ∣$ .
3 Tính $cos = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ rồi suy ra góc (từ 0° đến 180°).
4 Thử lại: dấu của cos phải khớp dấu của tích vô hướng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn góc 120° khi cos = 12 là sai. cos dương thì góc nhọn. 120° là khi cos = −12.

📐

Làm mẫu

Tính góc giữa $u = (1; 1; 0)$ và $v = (0; 1; 1)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm tham số để hai vectơ vuông góc

1 Viết $u \cdot v$ theo tham số.
2 Cho $u \cdot v = 0$ rồi giải.
3 Thử lại: thay giá trị tìm được, tích vô hướng ra 0; thay một giá trị khác, ra khác 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho tích có hướng bằng 0 để tìm m vuông góc là nhầm công cụ: tích có hướng bằng $0$ cho cùng phương.

🎯

Làm mẫu

Tìm m để $u = (m; 2; 1)$ vuông góc với $v = (1; - 3; 4)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hai loại tích, đừng lẫn

	Tích vô hướng	Tích có hướng
Kết quả là	Một số	Một vectơ
Bằng 0 nghĩa là	Vuông góc	Cùng phương
Đổi thứ tự	Không đổi	Đổi dấu
Dùng để	Tính góc, xét vuông góc	Tìm pháp tuyến, tính diện tích, thể tích
Có trong hình phẳng?	Có	Không, chỉ có trong không gian

3 ✖️ Tích có hướng

Cần nhớ

✦ $[u, v] = (b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2}; c_{1} a_{2} - a_{1} c_{2}; a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2})$ với $u = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $v = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ .
✦ $[u, v]$ vuông góc với cả $u$ và $v$ , nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ đó.
✦ $∣ [u, v] ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin (u, v)$ = diện tích hình bình hành dựng trên $u$ , $v$ .
✦ $[v, u] = - [u, v]$ và $[u, v] = 0 ⟺ u, v$ cùng phương.

Dạng bài

Tính tích có hướng và kiểm lại

1 Viết hai vectơ thành hai hàng: u = (a₁; b₁; c₁), v = (a₂; b₂; c₂).
2 Tính ba thành phần theo công thức. Thành phần giữa nhớ đổi dấu: c₁a₂ − a₁c₂.
3 Kiểm: tích vô hướng của kết quả với $u$ rồi với $v$ phải bằng 0.
4 Đề cần vectơ vuông góc nào đó thì có thể rút gọn kết quả (chia cho ước chung) cho dễ tính.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thành phần giữa tính kiểu $a_{1} c_{2} - c_{1} a_{2}$ (không đổi dấu) sẽ ra +6 thay vì −6, và phép kiểm $(3; 6; - 3) \cdot (2; 1; 0) = 12 \neq = 0$ báo ngay là sai.

✖️

Làm mẫu

Tính $[u, v]$ với $u = (2; 1; 0)$ , $v = (1; - 1; 3)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧊 Diện tích, thể tích, đồng phẳng

Cần nhớ

✦Diện tích hình bình hành $A B C D = [A B, A D]$ . Diện tích tam giác $A B C = \frac{1}{2} [A B, A C]$ .
✦Thể tích tứ diện $A B C D = \frac{1}{6} [A B, A C] \cdot A D$ . Thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ $= [A B, A D] \cdot A A^{'}$ .
✦Số $[a, b] \cdot c$ gọi là tích hỗn tạp. Ba vectơ đồng phẳng ⇔ tích hỗn tạp bằng 0. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔ $[A B, A C] \cdot A D = 0$ .
✦Chiều cao hạ từ D xuống mặt (ABC): $h = \frac{3 V}{S _{A B C}}$ .

Dạng bài

Tính diện tích tam giác và thể tích tứ diện

1 Lập hai vectơ cùng gốc $A B$ , $A C$ và tính tích có hướng.
2 Diện tích tam giác = một nửa độ dài tích có hướng.
3 Thể tích: nhân vô hướng tích có hướng với $A D$ , lấy giá trị tuyệt đối, chia 6.
4 Thử lại thể tích bằng $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$ .

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy $S = 10$ (quên hệ số $\frac{1}{2}$ ) hoặc $V = 12$ (quên $\frac{1}{6}$ ). Tam giác luôn bé hơn hình bình hành dựng trên cùng hai cạnh; tứ diện bé hơn hình hộp 6 lần.

🧊

Làm mẫu

Cho A(1; 2; 3), B(3; 2; 3), C(2; 5; 7), D(2; 2; 5). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Che cột để tính tích có hướng: viết hai hàng toạ độ, thành phần 1 che cột 1 rồi tính chéo (b₁c₂ − c₁b₂); thành phần 3 che cột 3 rồi tính chéo (a₁b₂ − b₁a₂); thành phần giữa che cột 2 được (a₁c₂ − c₁a₂) rồi đổi dấu.
✦Chỗ hay sai dấu nhất là thành phần giữa. Cách chắc ăn: luôn kiểm bằng hai tích vô hướng với $u$ và $v$ , phải ra 0.
✦Trắc nghiệm có đáp án là vectơ: thử đổi dấu một thành phần giữa rồi kiểm vuông góc, loại ngay phương án sai dấu.
✦Diện tích tam giác thì nhớ nhân $\frac{1}{2}$ , thể tích tứ diện thì nhân $\frac{1}{6}$ . Ra số lớn gấp 2 hoặc 6 lần đáp án thì nghi quên hệ số.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết $[u, v] = [v, u]$ . Đúng: chúng ngược dấu. Phản ví dụ: $[(1; 0; 0), (0; 1; 0)] = (0; 0; 1)$ còn $[(0; 1; 0), (1; 0; 0)] = (0; 0; - 1)$ .
✦Tích vô hướng bằng 0 thì cùng phương. Đúng: bằng 0 là vuông góc. Phản ví dụ: $(1; 0; 0) \cdot (0; 1; 0) = 0$ mà hai vectơ không cùng phương.
✦Diện tích tam giác bằng độ dài tích có hướng, quên $\frac{1}{2}$ . Ví dụ: $∣ [] ∣ = 10$ thì $S = 5$ .
✦Thể tích tứ diện bằng tích hỗn tạp, quên $\frac{1}{6}$ . Ví dụ: tích hỗn tạp 12 thì $V = 2$ .
✦Sai dấu thành phần giữa của tích có hướng, và không kiểm lại.
✦Coi tích có hướng là một số. Đúng: nó là vectơ; chỉ tích hỗn tạp (có thêm phép nhân vô hướng) mới ra số.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): nhập $u$ , $v$ rồi tính tích vô hướng (Dot), tích có hướng (nhân chéo), độ dài (Abs). Dùng để kiểm kết quả đã tính tay.
✦Kiểm tích có hướng: tích vô hướng của kết quả với $u$ và $v$ phải ra 0.
✦Kiểm đồng phẳng: tính tích hỗn tạp, ra 0 là đồng phẳng.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➕

Phép toán và độ dài

1
Nhận biết
Cho $u = (1; 2; 3)$ và $v = (2; - 1; 0)$ . Toạ độ $u + v$ là
2
Thông hiểu
Cho $u = (1; 2; 3)$ và $v = (2; - 1; 0)$ . Toạ độ $2 u - v$ là
3
Thông hiểu Cho $a = (1; - 2; 3)$ và $b = (2; x; y)$ cùng phương. Tính x + y. Đáp số:
4
Thông hiểu Cho $u = (2; m; 6)$ với m > 0 và $∣ u ∣ = 7$ . Đáp số: m =

📐

Tích vô hướng và góc

1
Nhận biết
Cho $u = (2; 1; 3)$ và $v = (1; - 2; - 1)$ . Tích vô hướng $u \cdot v$ bằng
2
Thông hiểu
Vectơ nào sau đây vuông góc với $a = (2; - 1; 3)$ ?
3
Thông hiểu Góc giữa $u = (1; 1; 0)$ và $v = (0; 1; 1)$ bằng bao nhiêu độ? Đáp số:
4
Vận dụng Tìm m để $u = (m; 2; 1)$ vuông góc với $v = (1; - 3; 4)$ . Đáp số: m =
5
Vận dụng
Góc giữa $u = (1; 0; 1)$ và $v = (0; 0; - 1)$ bằng

✖️

Tích có hướng

1
Nhận biết
Tích có hướng $[u, v]$ là
2
Thông hiểu
Cho $u = (1; 0; 2)$ và $v = (0; 3; 1)$ . Tích có hướng $[u, v]$ bằng
3
Thông hiểu
Biết $[u, v] = (2; - 1; 4)$ . Khi đó $[v, u]$ bằng
4
Thông hiểu
Nếu $[u, v] = 0$ thì
5
Vận dụng Vectơ $n$ cùng phương với $[u, v]$ , có thành phần thứ nhất bằng 12, với $u = (1; 2; 0)$ , $v = (0; 1; 3)$ . Tính tổng ba thành phần của $n$ . Đáp số:

🧊

Diện tích, thể tích, đồng phẳng

1
Nhận biết
Diện tích tam giác ABC bằng
2
Thông hiểu Cho A(1; 1; 1), B(2; 3; 3), C(3; 2; −1). Diện tích tam giác ABC bằng
3
Thông hiểu
Tứ diện OABC với O là gốc toạ độ, A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) có thể tích bằng
4
Vận dụng Hình hộp dựng trên ba vectơ $A B = (2; 0; 0)$ , $A D = (1; 3; 0)$ , $A A^{'} = (0; 1; 4)$ . Thể tích hình hộp bằng
5
Vận dụng
Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Điểm D nào sau đây làm bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng?
6
Vận dụng Cho A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(1; 1; 5). Tính khoảng cách từ D tới mặt phẳng (ABC). Đáp số:

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho $u = (2; - 1; 1)$ và $v = (1; 3; 0)$ . Tích có hướng $[u, v]$ bằng
2
Vận dụng
Diện tích tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) bằng
3
Vận dụng
Ba vectơ $a = (1; 1; 0)$ , $b = (0; 1; 1)$ , $c = (1; m; 2)$ đồng phẳng khi m bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho $u = (1; 2; 2)$ và $v = (2; 1; - 2)$ .

a) $∣ u ∣ = 3$ .

b) $u$ vuông góc $v$ .

c) $[u, v] = (- 6; - 6; - 3)$ .

d)Diện tích tam giác dựng trên $u$ và $v$ (chung gốc) bằng 9.
2
Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(1; 1; 5).

a) $A C = (0; 3; 0)$ .

b) $[A B, A C] = (0; 0; - 6)$ .

c)Thể tích tứ diện ABCD bằng 5.

d)Khoảng cách từ D tới mặt phẳng (ABC) bằng $\frac{5}{3}$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Góc giữa $u = (1; 0; - 1)$ và $v = (0; - 1; 1)$ bằng bao nhiêu độ? Đáp số:
2
Vận dụng Cho A(1; 1; 1), B(4; 1; 1), C(2; 4; 5). Tính diện tích tam giác ABC. Đáp số:
3
Vận dụng Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(m; 1; 3). Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Đáp số: m =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính tích vô hướng, góc, xét vuông góc hoặc tích có hướng của hai vectơ cho sẵn toạ độ.
•Phần II hay có đề dẫn về hai vectơ hoặc ba, bốn điểm cho toạ độ, các ý hỏi tích có hướng, diện tích, thể tích. Ý dễ mất điểm là dấu thành phần giữa và hệ số $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{6}$ .
•Phần III có thể hỏi diện tích tam giác, thể tích tứ diện, khoảng cách từ điểm tới mặt, hoặc tìm m để bốn điểm đồng phẳng.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị