Chủ đề 9 · Học kỳ 1

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Tính khoảng biến thiên R, các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ và khoảng tứ phân vị ΔQ của mẫu số liệu ghép nhóm; dùng quy tắc 1,5·ΔQ để tìm giá trị bất thường và biết khi nào dùng thước đo nào.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 9

⚡ Nhớ nhanh

1Mẫu ghép nhóm cho ta các nhóm [uₘ; uₘ₊₁) kèm tần số. Hai thước đo độ phân tán của bài này là khoảng biến thiên R và khoảng tứ phân vị ΔQ.
2R = đầu mút phải của nhóm cuối có tần số > 0 trừ đầu mút trái của nhóm đầu có tần số > 0. Nhóm rỗng ở rìa thì bỏ.
3Tứ phân vị chia mẫu thành 4 phần bằng nhau. Q₁ nằm ở mốc n/4, Q₂ (trung vị) ở mốc n/2, Q₃ ở mốc 3n/4. Tìm nhóm chứa nó bằng tần số tích luỹ, rồi nội suy trong nhóm.
4ΔQ = Q₃ − Q₁ đo độ trải của nửa giữa mẫu, nên ít bị số liệu ở rìa kéo lệch. R chỉ nhìn đúng hai đầu mút nên rất dễ bị kéo.
5Giá trị bất thường: x < Q₁ − 1,5·ΔQ hoặc x > Q₃ + 1,5·ΔQ. Nằm đúng ngưỡng thì chưa bất thường.
6Thói quen chống sai: lập hàng tần số tích luỹ trước, rồi mới chọn nhóm. Đừng chọn nhóm có tần số lớn nhất.

👀 Nhìn là hiểu

Chạm một cột rồi đổi tần số bằng ±: Q₁, Q₃ (vạch tím) và nhóm chứa chúng dời theo, công thức nội suy hiện đủ số. Kéo "giá trị cần kiểm" ra ngoài dải xanh là gặp giá trị bất thường.

Chạm một cột để chọn rồi đổi tần số bằng ±.

Nhóm [4; 6): tần số 14 n = 40

Giá trị cần kiểm x = 14

Q₁: 1n/4 = 10 rơi vào nhóm [2; 4) (tích luỹ trước nó C = 3, tần số 8) ⇒ Q₁ = 2 + (10 − 3)/8·2 = 3,75

Q₃: 3n/4 = 30 rơi vào nhóm [6; 8) (tích luỹ trước nó C = 25, tần số 9) ⇒ Q₃ = 6 + (30 − 25)/9·2 = 7,11

ΔQ = Q₃ − Q₁ = 3,36 · R = 10 − 0 = 10

x = 14 nằm ngoài [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ] = [−1,29; 12,15] ⇒ là giá trị BẤT THƯỜNG.

R chỉ nhìn hai đầu nên một giá trị lạ là R phình to; ΔQ chỉ nhìn 50% ở giữa nên ít bị ảnh hưởng.

1 📏 Khoảng biến thiên R

Cần nhớ

✦Mẫu số liệu rời: R = số lớn nhất − số nhỏ nhất. Ví dụ: số liệu 4; 9; 19 có R = 19 − 4 = 15.
✦Mẫu ghép nhóm: R = đầu mút phải của nhóm cuối có tần số > 0 − đầu mút trái của nhóm đầu có tần số > 0.
✦Nhóm đầu hay nhóm cuối có tần số 0 thì bỏ đi, lấy nhóm có số liệu gần nó nhất. Ví dụ: nhóm [0; 10) có tần số 0 và nhóm [10; 20) có tần số 5 thì tính từ 10, không phải từ 0.
✦R chỉ phụ thuộc hai nhóm ở rìa. Một số liệu lạ cũng đủ làm R tăng mạnh.

Dạng bài

Tính khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm

1 Tìm nhóm đầu tiên có tần số > 0, lấy đầu mút trái của nó.
2 Tìm nhóm cuối cùng có tần số > 0, lấy đầu mút phải của nó.
3 R = đầu mút phải − đầu mút trái.
4 Thử lại: R không nhỏ hơn bề rộng một nhóm, và nhỏ hơn hoặc bằng độ dài cả bảng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn 50 − 0 = 50 là sai: nhóm [0; 10) không có bạn nào, nên 0 chưa phải là cận của số liệu thật.

📏

Làm mẫu

Thời gian đọc sách mỗi ngày (phút) của 30 bạn, tần số theo nhóm: [0; 10): 0; [10; 20): 5; [20; 30): 12; [30; 40): 9; [40; 50): 4. Tính khoảng biến thiên R.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

R mạnh và yếu chỗ nào

Ưu điểm	Nhược điểm
Rất nhanh, chỉ trừ hai số	Chỉ dùng hai nhóm rìa, bỏ qua phần còn lại
Dễ hiểu: "từ đâu tới đâu"	Thêm một số liệu lạ thì R đổi hẳn

2 ✂️ Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Cần nhớ

✦Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu thành 4 phần có số liệu bằng nhau. Q₂ chính là trung vị.
✦Nhóm chứa Qₖ (k = 1; 2; 3) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ kn/4.
✦Công thức nội suy, nhóm chứa $Q_{k}$ là $[u_{m}; u_{m + 1})$ : $Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n _{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$
✦Trong đó C là tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm chứa Qₖ (không tính chính nhóm đó), nₘ là tần số của nhóm chứa Qₖ.
✦Mốc kn/4 đúng bằng tích luỹ của một nhóm thì nhóm đó là nhóm chứa Qₖ. Ví dụ: n = 60, tích luỹ 6; 24; 45; 54; 60 và mốc 3n/4 = 45 ⇒ nhóm chứa Q₃ là nhóm thứ ba (45 ≥ 45).

Dạng bài

Tính Q₁, Q₂, Q₃

1 Lập hàng tần số tích luỹ và tính các mốc n/4, n/2, 3n/4.
2 Chọn nhóm đầu tiên có tích luỹ ≥ mốc. Ghi uₘ, uₘ₊₁, C, nₘ.
3 Thay vào công thức Qₖ = uₘ + ((kn/4 − C)/nₘ)·(uₘ₊₁ − uₘ).
4 Thử lại: Qₖ nằm trong nhóm [uₘ; uₘ₊₁] và Q₁ < Q₂ < Q₃.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy C bằng tích luỹ của chính nhóm chứa Q₃ (36 thay vì 28) cho Q₃ = 60 + (30 − 368)·20 = 45, nằm ngoài nhóm [60; 80). Ra Q ngoài nhóm là dấu hiệu chắc chắn đã lấy sai C.

✂️

Làm mẫu

Thời gian tự học ở nhà mỗi ngày (phút) của 40 học sinh, tần số theo nhóm: [0; 20): 4; [20; 40): 10; [40; 60): 14; [60; 80): 8; [80; 100): 4. Tính Q₁ và Q₃.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tra nhóm chứa tứ phân vị (bảng ở ví dụ trên, n = 40)

Tứ phân vị	Mốc	Nhóm chứa
Q₁	n/4 = 10	[20; 40) vì 14 ≥ 10
Q₂ (trung vị)	n/2 = 20	[40; 60) vì 28 ≥ 20
Q₃	3n/4 = 30	[60; 80) vì 36 ≥ 30

3 🎯 Khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường

Cần nhớ

✦ΔQ = Q₃ − Q₁: độ dài đoạn chứa 50% số liệu ở giữa. Ví dụ: Q₁ = 32 và Q₃ = 65 thì ΔQ = 33.
✦ΔQ không là Q₃ − Q₂. Q₂ không có mặt trong công thức.
✦Giá trị bất thường: x < Q₁ − 1,5·ΔQ hoặc x > Q₃ + 1,5·ΔQ. Số liệu nằm đúng ngưỡng thì không bất thường.
✦"Bất thường" nghĩa là nằm xa phần còn lại, đáng xem lại, chưa chắc là sai và chưa chắc phải bỏ.

Dạng bài

Kiểm tra một giá trị có bất thường không

1 Tính ΔQ = Q₃ − Q₁.
2 Tính 1,5·ΔQ rồi hai ngưỡng: ngưỡng dưới = Q₁ − 1,5·ΔQ, ngưỡng trên = Q₃ + 1,5·ΔQ.
3 So sánh giá trị với hai ngưỡng bằng dấu < hoặc > thật sự.
4 Thử lại bằng cách trừ ngược: giá trị − Q₃ có lớn hơn 1,5·ΔQ không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đổi dấu thành "≥" làm 64 bị tính là bất thường. Ngưỡng là biên của vùng bình thường nên số liệu đúng ngưỡng vẫn bình thường.

🎯

Làm mẫu

Một mẫu có Q₁ = 24 và Q₃ = 40. Các giá trị 64 và 70 có là giá trị bất thường không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

📏 R

Dùng đúng hai nhóm rìa. Một số liệu lạ làm R tăng gấp nhiều lần.

🎯 ΔQ

Dùng nửa giữa mẫu, bỏ 25% mỗi đầu. Số lạ ở rìa gần như không làm ΔQ đổi.

4 ⚖️ So sánh hai mẫu và chọn thước đo

Cần nhớ

✦Hai mẫu cùng R vẫn có thể phân tán rất khác nhau. Muốn so sánh nửa giữa thì dùng ΔQ.
✦ΔQ lớn hơn ⇒ nửa giữa của mẫu đó phân tán hơn.
✦Cộng cùng một số vào mọi số liệu thì cả Q₁, Q₃ cùng tăng số đó nên R và ΔQ không đổi.
✦Dữ liệu có thể có số lạ thì dùng ΔQ (đi cùng trung vị). Dữ liệu sạch và cần con số nhanh thì dùng R.

Dạng bài

So sánh độ phân tán của hai mẫu cùng bảng chia nhóm

1 Tính R của từng mẫu.
2 Tính Q₁, Q₃ rồi ΔQ của từng mẫu.
3 So sánh: ΔQ lớn hơn là nửa giữa phân tán hơn. Nếu R bằng nhau thì chỉ ΔQ mới phân biệt được.
4 Thử lại bằng hình dung: cột tần số dồn về giữa thì ΔQ nhỏ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy R bằng nhau rồi kết luận "hai tổ phân tán như nhau" là sai: ở đây nửa giữa của Y rộng gấp 2,5 lần của X.

⚖️

Làm mẫu

Hai tổ X và Y, mỗi tổ 40 bạn, cùng chia nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50). Tần số tổ X: 2; 8; 20; 8; 2. Tần số tổ Y: 8; 8; 8; 8; 8. Tổ nào phân tán hơn?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Chọn thước đo nào?

Tình huống	Nên dùng
Cần con số nhanh, dữ liệu sạch	Khoảng biến thiên R
Dữ liệu có thể có số lạ, nhập nhầm	Khoảng tứ phân vị ΔQ
Hai mẫu cùng R	So ΔQ

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Lập hàng tích luỹ ngay dưới bảng, rồi khoanh nhóm đầu tiên vượt mốc n/4 và 3n/4. Làm hai việc này xong là gần xong bài.
✦Tứ phân vị luôn nằm trong nhóm đã chọn. Đáp án ngoài nhóm thì loại ngay.
✦Ra ΔQ lớn hơn R là chắc chắn sai: ΔQ chỉ là nửa giữa của mẫu.
✦Câu giá trị bất thường: tính hai ngưỡng một lần rồi so từng đáp án. Đừng ước lượng bằng mắt.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Chọn nhóm có tần số lớn nhất thay vì nhóm có tích luỹ đạt mốc. Ví dụ: bảng 4; 10; 14; 8; 4 có nhóm tần số 14 là [40; 60), nhưng nhóm chứa Q₁ là [20; 40).
✦Lấy C là tích luỹ của chính nhóm chứa Q, hoặc quên trừ C. Hậu quả: Q nằm ngoài nhóm.
✦Viết ΔQ = Q₃ − Q₂. Đúng là Q₃ − Q₁. Ví dụ: Q₁ = 15, Q₂ = 22, Q₃ = 27 thì ΔQ = 12, không phải 5.
✦Tính R có cả nhóm rỗng ở rìa. Ví dụ: nhóm [20; 25) có tần số 0 thì bỏ, R tính đến 20.
✦Dùng dấu "≥" khi so với ngưỡng, hoặc quên hệ số 1,5: dùng Q₃ + ΔQ thay cho Q₃ + 1,5·ΔQ.
✦Cho rằng giá trị bất thường là số liệu sai và phải xoá. Nó chỉ là số liệu nằm xa, cần xem lại nguồn gốc.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Máy tính cầm tay phổ thông không có sẵn tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm. Dùng chế độ Thống kê chỉ để cộng nhanh tần số, lấy hàng tích luỹ và n.
✦Phép nội suy trong nhóm thì bấm một phân số: (mốc − C) ÷ nₘ × bề rộng nhóm + uₘ. Dùng bộ nhớ Ans để lưu kết quả Q₁ rồi trừ vào Q₃.
✦Thử lại hai tứ phân vị bằng cách kiểm: Q phải nằm trong nhóm đã chọn.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📏

Khoảng biến thiên

1
Nhận biết
Mẫu ghép nhóm có nhóm đầu tiên [10; 20) và nhóm cuối cùng [50; 60), cả hai đều có tần số lớn hơn 0. Khoảng biến thiên R bằng
2
Thông hiểu
Số lần tập thể dục mỗi tháng của 14 bạn: $S o ˆ ˊ l a ˆ ˋ n T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 0 [5; 10) 3 [10; 15) 7 [15; 20) 4 [20; 25) 0$ Khoảng biến thiên R bằng
3
Thông hiểu Chiều cao (cm) của 30 bạn: $Chi e ˆ ˋ u cao T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [150; 155) 2 [155; 160) 8 [160; 165) 12 [165; 170) 6 [170; 175) 2$ Khoảng biến thiên R = cm.
4
Thông hiểu
Một mẫu ghép nhóm có hầu hết số liệu nằm trong [20; 50), chỉ có đúng một số liệu rơi vào nhóm [90; 100); nhóm đầu tiên là [20; 30) có tần số > 0. Khi bỏ số liệu lạ đó đi thì khoảng biến thiên R

✂️

Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

1
Nhận biết
Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu cỡ n, ta tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
2
Thông hiểu Điểm kiểm tra của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Tứ phân vị thứ nhất Q₁ = .
3
Thông hiểu
Điểm kiểm tra của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Tứ phân vị thứ ba Q₃ bằng
4
Thông hiểu
Điểm kiểm tra của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Trung vị Q₂ bằng
5
Vận dụng
Quãng đường đi làm của 60 người: $Qu a ˜ ng đư ờng (km) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 6 [5; 10) 18 [10; 15) 21 [15; 20) 9 [20; 25) 6$ Tứ phân vị thứ ba Q₃ bằng
6
Vận dụng Cho mẫu cỡ 50: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [40; 50) 5 [50; 60) 15 [60; 70) 15 [70; 80) 10 [80; 90) 5$ Tứ phân vị thứ ba Q₃ = .

🎯

Khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường

1
Nhận biết Một mẫu có Q₁ = 12 và Q₃ = 26. Khoảng tứ phân vị ΔQ = .
2
Thông hiểu
Điểm kiểm tra của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng
3
Thông hiểu Điểm thi của 40 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [5; 6) 4 [6; 7) 8 [7; 8) 16 [8; 9) 8 [9; 10) 4$ Khoảng tứ phân vị ΔQ = .
4
Thông hiểu
Hai lớp A và B có cùng khoảng biến thiên R = 30. Khoảng tứ phân vị của A là 12, của B là 20. Khẳng định nào đúng?
5
Vận dụng
Cộng thêm 5 điểm cho mọi bạn trong một lớp. Khoảng biến thiên R và khoảng tứ phân vị ΔQ của điểm số

🚩

Giá trị bất thường

1
Nhận biết
Giá trị x được coi là giá trị bất thường của mẫu khi
2
Thông hiểu Một mẫu có Q₁ = 18 và Q₃ = 30. Ngưỡng trên để xét giá trị bất thường là .
3
Thông hiểu
Một mẫu có Q₁ = 24 và Q₃ = 40. Giá trị nào dưới đây là giá trị bất thường?
4
Vận dụng
Cho mẫu cỡ 50: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [40; 50) 5 [50; 60) 15 [60; 70) 15 [70; 80) 10 [80; 90) 5$ (đã biết Q₁ = 55 và Q₃ = 72,5). Nhận định nào đúng về giá trị bất thường?

⚖️

So sánh và chọn thước đo

1
Thông hiểu
Một bảng điểm có vài số liệu bị nhập nhầm thành giá trị rất lớn. Để mô tả độ phân tán ít bị ảnh hưởng bởi các số này, nên dùng
2
Vận dụng
Hai mẫu X và Y cùng cỡ, cùng có R = 20. Khoảng tứ phân vị của X là 4, của Y là 9. Nhận xét nào hợp lí?

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Quãng đường đi làm của 60 người: $Qu a ˜ ng đư ờng (km) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 6 [5; 10) 18 [10; 15) 21 [15; 20) 9 [20; 25) 6$ Khoảng biến thiên của mẫu là
2
Thông hiểu
Quãng đường đi làm của 60 người: $Qu a ˜ ng đư ờng (km) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 6 [5; 10) 18 [10; 15) 21 [15; 20) 9 [20; 25) 6$ Khoảng tứ phân vị ΔQ của mẫu là
3
Vận dụng
Quãng đường đi làm của 60 người: $Qu a ˜ ng đư ờng (km) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 6 [5; 10) 18 [10; 15) 21 [15; 20) 9 [20; 25) 6$ Với Q₁ = 7,5 và Q₃ = 15, giá trị nào dưới đây là giá trị bất thường?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Quãng đường đi làm (km) của 60 người: $Qu a ˜ ng đư ờng (km) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 5) 6 [5; 10) 18 [10; 15) 21 [15; 20) 9 [20; 25) 6$

a)Khoảng biến thiên của mẫu là 25 km.

b)Nhóm chứa Q₃ là [15; 20).

c)Khoảng tứ phân vị ΔQ = 7,5 km.

d)Ngưỡng trên để xét giá trị bất thường là 22,5 km.
2
Vận dụng
Hai mẫu P và Q, mỗi mẫu 20 số liệu, cùng chia nhóm: $M a ˆ ˜ u P T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 4 [20; 30) 8 [30; 40) 4 [40; 50) 2$ $M a ˆ ˜ u Q T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 5 [10; 20) 0 [20; 30) 10 [30; 40) 0 [40; 50) 5$

a)P và Q có cùng khoảng biến thiên.

b)Vì cùng khoảng biến thiên nên P và Q phân tán như nhau.

c)Khoảng tứ phân vị của P bằng 15.

d)Khoảng tứ phân vị của Q bằng 30.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Thời gian chờ xe buýt (phút) của 40 lượt: $Thời gian T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 4) 4 [4; 8) 12 [8; 12) 16 [12; 16) 6 [16; 20) 2$ Tính khoảng tứ phân vị ΔQ. Đáp số:
2
Vận dụng Một mẫu điểm có Q₁ = 36 và Q₃ = 52. Trong các điểm nguyên từ 0 đến 100, có bao nhiêu điểm không bị coi là giá trị bất thường? Đáp số:
3
Vận dụng Mẫu ghép nhóm có bảng tần số (x là số nguyên dương): $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 5 [10; 20) x [20; 30) 15 [30; 40) 10$ Biết Q₁ = 15. Tìm x. Đáp số: x =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường cho một bảng tần số ghép nhóm và hỏi R, Q₁, Q₃ hoặc ΔQ. Dễ sai ở việc chọn nhóm chứa Q và giá trị của C.
•Phần II hay có một mẫu ghép nhóm với các ý: khoảng biến thiên, nhóm chứa Q, ΔQ, rồi xét giá trị bất thường hoặc so sánh hai mẫu.
•Phần III có thể hỏi ΔQ làm tròn, đếm số giá trị nguyên không bất thường (nhớ tính cả đầu mút), hoặc tìm một tần số chưa biết.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương sai và độ lệch chuẩn