Chủ đề 10 · Học kỳ 1

Phương sai và độ lệch chuẩn

Tính số trung bình, phương sai s² và độ lệch chuẩn s của mẫu số liệu ghép nhóm bằng giá trị đại diện; so sánh độ phân tán của hai mẫu có cùng số trung bình và đọc ý nghĩa của s.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 10

⚡ Nhớ nhanh

1Giá trị đại diện cᵢ của nhóm [uᵢ; uᵢ₊₁) là trung điểm uᵢ + uᵢ₊₁2. Coi mọi số liệu trong nhóm đều bằng cᵢ.
2Số trung bình: x̄ = (n₁c₁ + n₂c₂ + … + nₖcₖ)/n, với n = n₁ + n₂ + … + nₖ.
3Phương sai: s² = (1/n)·Σ nᵢ(cᵢ − x̄)², là trung bình của bình phương độ lệch so với x̄. Công thức nhanh: s² = (1/n)·Σ nᵢcᵢ² − x̄².
4Độ lệch chuẩn: s = √(s²), cùng đơn vị với số liệu. Phương sai có đơn vị bình phương nên không đặt cạnh số liệu được.
5Hai mẫu cùng x̄ thì mẫu nào có s lớn hơn là mẫu phân tán hơn. Số trung bình không phân biệt được hai mẫu đó, s thì phân biệt được.
6Thói quen chống sai: tính x̄ trước, và luôn ghi rõ mình đang trả lời s² hay s.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo "độ tản" của từng xạ thủ: các phát bắn trên bia chụm lại hay toé ra, điểm trung bình vẫn là 8 mà độ lệch chuẩn s đổi theo. Người có s nhỏ hơn bắn ổn định hơn.

Độ tản A Độ tản B

A	7	8,5	8	7,5	9	8	8,5	7,5	8	8
B	6	9	8	7	10	8	9	7	8	8

A: x̄ = 8 · s² = (1/10)·Σ(xᵢ − x̄)² = 0,3 · s = 0,55

B: x̄ = 8 · s² = (1/10)·Σ(xᵢ − x̄)² = 1,2 · s = 1,1

Cùng trung bình 8 nhưng A có s nhỏ hơn ⇒ bắn ổn định hơn, nên chọn A.

Trung bình không phân biệt được hai người, độ lệch chuẩn thì có. Nhớ s = √s², cùng đơn vị với điểm.

1 🎯 Giá trị đại diện và số trung bình

Cần nhớ

✦Giá trị đại diện của nhóm là trung điểm: cᵢ = uᵢ + uᵢ₊₁2. Ví dụ: nhóm [20; 30) có c = 25.
✦Số trung bình ghép nhóm: x̄ = (n₁c₁ + … + nₖcₖ)/n. Mỗi nhóm được tính nᵢ lần giá trị đại diện của nó.
✦x̄ luôn nằm giữa giá trị đại diện nhỏ nhất và lớn nhất, và nghiêng về phía nhóm có tần số lớn.
✦Tổng các độ lệch Σ nᵢ(cᵢ − x̄) luôn bằng 0: số dương và số âm triệt tiêu nhau. Vì vậy muốn đo độ phân tán phải bình phương độ lệch trước khi lấy trung bình.

Dạng bài

Tính số trung bình của mẫu ghép nhóm

1 Tính giá trị đại diện cᵢ của mỗi nhóm (trung điểm).
2 Tính nᵢcᵢ cho từng nhóm rồi cộng lại, tính n = Σ nᵢ.
3 x̄ = Σ nᵢcᵢ / n.
4 Thử lại: x̄ nằm giữa c nhỏ nhất và c lớn nhất, và gần nhóm có tần số lớn nhất.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng đầu mút nhóm thay cho trung điểm là sai. Lấy đầu mút trái (0; 2; 4; 6) được x̄ = 0 + 10 + 32 + 2420 = 3,3 thay vì 4,3.

🎯

Làm mẫu

Điểm một bài kiểm tra 10 phút của 20 bạn, tần số theo nhóm: [0; 2): 3; [2; 4): 5; [4; 6): 8; [6; 8): 4. Tính điểm trung bình x̄.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Phương sai

Cần nhớ

✦Phương sai, hai dạng viết bằng nhau: $s^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum k n_{i} (c_{i} - x ˉ)^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum k n_{i} c_{i}^{2} - x ˉ^{2}$
✦Dạng 1 (định nghĩa): tính độ lệch cᵢ − x̄, bình phương, nhân nᵢ, cộng, chia n. Hợp với số đẹp.
✦Dạng 2 (nhanh): trung bình của cᵢ² trừ x̄². Quên bước trừ x̄² là lỗi số một.
✦Chia cho n (cỡ mẫu), đây là cách của chương trình lớp 12.

Dạng bài

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

1 Tính cᵢ (trung điểm) và số trung bình x̄.
2 Tính Σ nᵢcᵢ², chia n, rồi trừ x̄² để được s².
3 Lấy căn: s = √(s²). Đề hỏi cái nào thì trả lời cái đó.
4 Thử lại bằng định nghĩa Σ nᵢ(cᵢ − x̄)²/n: hai đường phải ra cùng một số. Và s không vượt nửa khoảng cách giữa cᵢ lớn nhất và nhỏ nhất.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dừng ở 1970020 = 985 mà không trừ x̄² thì ra s² = 985, s ≈ 31,4. Mọi giá trị đại diện nằm trong [5; 45] nên s không thể vượt 45 − 52 = 20, vậy 31,4 chắc chắn là quên trừ 29² = 841.

📐

Làm mẫu

Số tiền tiêu vặt mỗi tuần (nghìn đồng) của 20 bạn, tần số theo nhóm: [0; 10): 2; [10; 20): 3; [20; 30): 3; [30; 40): 9; [40; 50): 3. Tính phương sai s² và độ lệch chuẩn s.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Nhìn bảng đoán độ phân tán

Tần số dồn ở	Phương sai s²
Quanh giữa (gần x̄)	Nhỏ
Hai rìa, xa x̄	Lớn
Chỉ một nhóm (mọi số liệu giống nhau)	Bằng 0

3 ⚖️ Độ lệch chuẩn và so sánh hai mẫu

Cần nhớ

✦s = √(s²). Ví dụ: s² = 144 ⇒ s = 12; s² = 16 ⇒ s = 4.
✦s có cùng đơn vị với số liệu (cm, điểm, nghìn đồng), còn s² có đơn vị bình phương (cm², điểm²).
✦So sánh hai mẫu cùng số trung bình, cùng đơn vị: s lớn hơn ⇒ phân tán hơn, s nhỏ hơn ⇒ ổn định hơn.
✦"Ổn định" chưa chắc là "tốt hơn": còn tuỳ yêu cầu. Cần chắc chắn thì chọn s nhỏ; cần đột phá thì mẫu trải rộng mới có cơ hội chạm giá trị cao.

Dạng bài

So sánh độ phân tán của hai mẫu

1 Tính x̄ của từng mẫu. Nếu bằng nhau thì so s trực tiếp.
2 Tính s² và s của từng mẫu theo công thức nhanh.
3 So s (hoặc s²): số lớn hơn là mẫu phân tán hơn.
4 Thử lại: mẫu nào có tần số dồn quanh giữa hơn thì phải có s nhỏ hơn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ so số trung bình (29 = 29) rồi kết luận "hai lớp như nhau" là sai: số trung bình không cho biết các khoản tiêu tản ra xa hay dồn lại.

⚖️

Làm mẫu

Cùng 20 bạn, tiêu vặt ở hai lớp A và B (nghìn đồng), cùng chia nhóm [0; 10), …, [40; 50). Tần số lớp A: 2; 3; 3; 9; 3. Tần số lớp B: 0; 2; 10; 6; 2. Lớp nào tiêu đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧭 Ý nghĩa của s và chọn thước đo

Cần nhớ

✦Cộng cùng một số k vào mọi số liệu: x̄ tăng k, s không đổi (cả mẫu chỉ tịnh tiến).
✦Nhân mọi số liệu với k: x̄ nhân k, s nhân |k|, s² nhân k². Ví dụ: s = 3, nhân 2 thì s′ = 6.
✦Số liệu lạ nằm xa x̄ làm s tăng mạnh, vì độ lệch bị bình phương.
✦Chỉ so s của hai mẫu khi chúng cùng đơn vị.

Bốn thước đo độ phân tán

Thước đo	Đơn vị	Bền với số lạ?
Khoảng biến thiên R	Như số liệu	Không
Khoảng tứ phân vị ΔQ	Như số liệu	Có
Phương sai s²	Bình phương	Không
Độ lệch chuẩn s	Như số liệu	Không

📊 s và x̄

Hai thước đo đi cặp: x̄ cho biết trung tâm, s cho biết độ tản. Báo cáo chỉ có x̄ là thiếu một nửa.

🎯 ΔQ và trung vị

Dùng khi dữ liệu có thể có số lạ. Hai số này ít bị kéo lệch nên đáng tin hơn x̄ và s.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hai mẫu cùng x̄: không cần tính. Nhìn bảng, mẫu nào tần số dồn ra hai rìa thì s lớn hơn.
✦s không bao giờ vượt nửa khoảng cách giữa cᵢ lớn nhất và nhỏ nhất. Ví dụ cᵢ từ 5 đến 45 thì s ≤ 20; ra s lớn hơn thế thường là quên trừ x̄².
✦Đề cho s² mà hỏi s (hoặc ngược lại) là bẫy quen thuộc: căn hoặc bình phương đúng một lần.
✦Cộng thêm một hằng số: s không đổi. Nhân với k: s nhân |k|. Không cần tính lại cả bảng.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên trừ x̄² trong công thức nhanh. Ví dụ: 1970020 = 985, phải trừ 29² = 841 để được 144.
✦Dùng đầu mút nhóm thay cho trung điểm. Ví dụ: nhóm [20; 30) dùng 25, không dùng 20 hay 30.
✦Đề hỏi s mà trả lời s². Ví dụ: s² = 144 nhưng s = 12.
✦Cộng độ lệch cᵢ − x̄ không bình phương. Tổng ấy luôn bằng 0 nên không đo được gì.
✦Quên chia cho n sau khi cộng Σ nᵢ(cᵢ − x̄)². Ví dụ: 2880 phải chia 20 để được 144.
✦Cho rằng s nhỏ thì luôn tốt hơn. Ổn định chỉ có lợi khi bài toán cần ổn định.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Thống kê một biến: nhập giá trị đại diện cᵢ vào cột giá trị và tần số vào cột tần số (nhớ bật cột tần số trong phần cài đặt).
✦Máy đọc ngay x̄ và độ lệch chuẩn. Chọn ký hiệu độ lệch chuẩn chia cho n (thường là σ), không chọn loại chia cho n − 1.
✦Bình phương kết quả s để ra s² và so với số bạn tính tay. Bài tự luận vẫn phải trình bày các bước.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🎯

Giá trị đại diện và số trung bình

1
Nhận biết Giá trị đại diện của nhóm [20; 30) là .
2
Nhận biết
Phương sai của mẫu ghép nhóm là
3
Thông hiểu Điểm của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Số trung bình x̄ = .
4
Thông hiểu Chiều cao (cm) của 20 bạn: $Chi e ˆ ˋ u cao T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [150; 160) 6 [160; 170) 10 [170; 180) 4$ Chiều cao trung bình x̄ = cm.
5
Thông hiểu
Vì sao khi đo độ phân tán phải bình phương độ lệch cᵢ − x̄ trước khi lấy trung bình?

📐

Tính phương sai

1
Thông hiểu Điểm của 20 bạn: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Phương sai s² = .
2
Thông hiểu
Một mẫu ghép nhóm có n = 20, số trung bình x̄ = 9 và Σ nᵢcᵢ² = 2000. Phương sai của mẫu bằng
3
Thông hiểu Một mẫu có n = 20 và Σ nᵢ(cᵢ − x̄)² = 180. Phương sai s² = .
4
Thông hiểu
Thời gian giải bài (phút) của 20 bạn: $Thời gian T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [1; 3) 1 [3; 5) 4 [5; 7) 4 [7; 9) 6 [9; 11) 5$ Độ lệch chuẩn s xấp xỉ (làm tròn đến hàng phần mười)
5
Vận dụng Thời gian chạy (giây) của 20 lượt: $Thời gian T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [1; 3) 1 [3; 5) 4 [5; 7) 5 [7; 9) 4 [9; 11) 6$ Phương sai s² = .

⚖️

Độ lệch chuẩn và so sánh

1
Nhận biết Một mẫu có phương sai s² = 49. Độ lệch chuẩn s = .
2
Nhận biết
Chiều cao của học sinh đo bằng centimét (cm). Phương sai của mẫu có đơn vị là
3
Thông hiểu
Hai nhóm bạn có cùng số trung bình tiêu vặt 29 nghìn đồng. Nhóm A có s = 12, nhóm B có s = 8. Nhận xét nào đúng?
4
Thông hiểu
Hai xạ thủ A và B đều có điểm bắn trung bình 8,5. Phương sai của A là 0,64 và của B là 0,49. Ai bắn ổn định hơn?
5
Vận dụng
Hai mẫu cùng cỡ 20, cùng số trung bình 25: $M a ˆ ˜ u U T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 3 [20; 30) 10 [30; 40) 3 [40; 50) 2$ $M a ˆ ˜ u V T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 5 [10; 20) 0 [20; 30) 10 [30; 40) 0 [40; 50) 5$ Khẳng định nào đúng?

🧭

Ý nghĩa của s và biến đổi số liệu

1
Thông hiểu
Cộng thêm 3 điểm cho mọi bạn trong lớp. Số trung bình x̄ và độ lệch chuẩn s thay đổi thế nào?
2
Vận dụng Một mẫu có độ lệch chuẩn s = 3. Nhân mỗi số liệu với 2 rồi cộng thêm 1. Mẫu mới có độ lệch chuẩn bằng .
3
Thông hiểu
Thêm một số liệu rất lớn, xa hẳn các số còn lại, vào mẫu. Độ lệch chuẩn s
4
Vận dụng
Hai máy cùng đóng gói bột với khối lượng trung bình 500 g. Độ lệch chuẩn của máy 1 là 2 g, của máy 2 là 5 g. Nếu cần các gói đồng đều nhất có thể thì chọn
5
Vận dụng Điểm của một mẫu, a là số nguyên dương: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) a [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Biết số trung bình x̄ = 22. Giá trị a = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Số tiền tiêu vặt mỗi tuần (nghìn đồng) của 20 bạn: $S o ˆ ˊ ti e ˆ ˋ n T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 4 [30; 40) 4 [40; 50) 4$ Độ lệch chuẩn của mẫu là
2
Vận dụng
Hai mẫu cùng số trung bình. Mẫu A có độ lệch chuẩn 3, mẫu B có phương sai 16. Khẳng định nào đúng?
3
Vận dụng
Một mẫu có số trung bình 20 và độ lệch chuẩn 4. Biến đổi mỗi số liệu x thành 3x − 5. Mẫu mới có số trung bình x̄′ và độ lệch chuẩn s′ là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Số điểm của 20 bạn trong một bài thi: $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 1 [10; 20) 5 [20; 30) 9 [30; 40) 3 [40; 50) 2$

a)Giá trị đại diện của nhóm [10; 20) là 15.

b)Số trung bình x̄ = 25.

c)Phương sai s² = 725.

d)Cộng thêm 5 điểm cho mọi bạn thì độ lệch chuẩn mới là 15.
2
Vận dụng
Hai mẫu X và Y, mỗi mẫu 20 số liệu, cùng chia nhóm: $M a ˆ ˜ u X T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 1 [10; 20) 4 [20; 30) 10 [30; 40) 4 [40; 50) 1$ $M a ˆ ˜ u Y T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 4 [10; 20) 3 [20; 30) 6 [30; 40) 3 [40; 50) 4$

a)Hai mẫu có cùng số trung bình 25.

b)Phương sai của mẫu X là s²(X) = 80.

c)Mẫu X phân tán hơn mẫu Y.

d)Hiệu s²(Y) − s²(X) bằng 100.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Thời gian giải một bài toán (phút) của 20 bạn: $Thời gian T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [1; 3) 1 [3; 5) 3 [5; 7) 5 [7; 9) 5 [9; 11) 6$ Tính độ lệch chuẩn s. Đáp số:
2
Vận dụng Mẫu ghép nhóm (a là số nguyên dương): $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 4 [10; 20) a [20; 30) 6$ Biết số trung bình x̄ = 16. Tính độ lệch chuẩn s. Đáp số:
3
Vận dụng Mẫu ghép nhóm có n = 40, Σ nᵢcᵢ = 300 và Σ nᵢcᵢ² = 2500. Tính độ lệch chuẩn s. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường cho một bảng tần số ghép nhóm và hỏi số trung bình, phương sai hoặc độ lệch chuẩn. Bẫy hay có là nhầm s với s² và quên trừ x̄².
•Phần II hay có một bảng ghép nhóm với các ý: giá trị đại diện, số trung bình, phương sai, rồi so sánh độ phân tán của hai mẫu.
•Phần III có thể hỏi s làm tròn đến hàng phần mười, hoặc tìm một tần số chưa biết từ số trung bình đã cho rồi tính s.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Nguyên hàm