Chủ đề 11 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Nguyên hàm

Hiểu nguyên hàm là phép ngược của đạo hàm, thuộc bảng nguyên hàm cơ bản, dùng tính chất và công thức f(ax + b), rồi tìm nguyên hàm thoả điều kiện cho trước (kể cả bài chuyển động).

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 11

⚡ Nhớ nhanh

1Nguyên hàm của f trên K là hàm F có F′(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Đạo hàm đi xuống, nguyên hàm đi ngược lại.
2Nếu F là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm có dạng F(x) + C: $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Kết quả luôn có + C.
3Bảng cần thuộc: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (n ≠ −1), $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ .
4Tách tổng và rút hằng số ra ngoài được. Không có quy tắc cho tích: $\int f \cdot g d x \neq = \int f d x \cdot \int g d x$ .
5Muốn chắc đáp án: đạo hàm lại. Ra đúng hàm ban đầu là đúng.
6Đề cho thêm F(x₀) = y₀: tìm F(x) + C trước, rồi thay điều kiện để tìm C.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo C: đường y = F(x) + C trượt lên xuống trong cả họ. Kéo x₀: tiếp tuyến của mọi đường tại x₀ song song nhau, cùng hệ số góc f(x₀). Chạm một điểm để chọn đúng nguyên hàm đi qua điểm đó.

Chạm một điểm để chọn đường đi qua điểm đó.

C = 0 x₀ = 1

∫ 2x dx = x² + C

Đường đang chọn: F(x) = x²

Tại x₀ = 1, mọi đường trong họ có tiếp tuyến song song, cùng hệ số góc f(1) = 2. Cùng đạo hàm nên đều là nguyên hàm của f.

Quên "+ C" là bỏ mất cả họ đường cong, chỉ còn đường C = 0.

1 ↩️ Nguyên hàm và hằng số C

Cần nhớ

✦F là nguyên hàm của f ⇔ F′ = f. Ví dụ: F(x) = x³ là nguyên hàm của f(x) = 3x² vì (x³)′ = 3x².
✦Nguyên hàm không duy nhất: x³, x³ + 5, x³ − 2 đều có đạo hàm 3x², vì đạo hàm của hằng số bằng 0.
✦Hai nguyên hàm của cùng một hàm hơn kém nhau một hằng số. Cả họ viết là $\int f (x) d x = F (x) + C$ .
✦Hình học: các đồ thị y = F(x) + C là một họ đường tịnh tiến dọc. Tại cùng một x, tiếp tuyến của chúng song song (cùng hệ số góc f(x)).

Dạng bài

Kiểm một hàm có là nguyên hàm

1 Tìm tập xác định K.
2 Tính F′(x).
3 So F′(x) với f(x) trên K: bằng nhau thì F là nguyên hàm.
4 Thử lại bằng một giá trị x cụ thể.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm chiều: đề cho f mà tìm F thì phải lấy nguyên hàm, không phải đạo hàm. Với f(x) = 2x thì F(x) = x² + C, còn 2 mới là đạo hàm của 2x.

↩️

Làm mẫu

Hàm F(x) = x² + 3x − 5 có là nguyên hàm của f(x) = 2x + 3 không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Đạo hàm và nguyên hàm đi ngược nhau

Hàm	Đạo hàm	Một nguyên hàm
$x^{2}$	$2 x$	$\frac{x ^{3}}{3}$
$sin x$	$cos x$	$- cos x$
$cos x$	$- sin x$	$sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$
hằng số 5	0	5x

2 📋 Bảng nguyên hàm cơ bản

Thuộc lòng (C là hằng số tuỳ ý)

Hàm f(x)	Họ nguyên hàm
$0$	$C$
$k$ (hằng số)	$k x + C$
$x^{α} (α \neq = - 1)$	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x} (0 < a \neq = 1)$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan x + C$
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- cot x + C$

Cần nhớ

✦Luỹ thừa: tăng mũ lên 1, rồi chia cho mũ mới. Ví dụ: $\int x^{4} d x = \frac{x ^{5}}{5} + C$ .
✦Căn và phân thức đưa về luỹ thừa trước: $x = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ . Ví dụ: $\int \frac{1}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C = - \frac{1}{x} + C$ .
✦Trường hợp n = −1 phải tách riêng, vì công thức luỹ thừa chia cho 0: $\int x^{- 1} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
✦sin → −cos, cos → sin. Dấu trừ chỉ xuất hiện ở nguyên hàm của sin.

Dạng bài

Tìm nguyên hàm của một tổng

1 Tách từng số hạng, đưa hằng số ra ngoài.
2 Tra bảng cho từng số hạng (căn và phân thức đưa về luỹ thừa trước).
3 Gộp lại, cộng một hằng số C cho cả biểu thức.
4 Thử lại: đạo hàm kết quả phải ra đúng hàm ban đầu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết ∫sin x dx = cos x + C là sai dấu: (cos x)′ = −sin x chứ không phải sin x. Đúng là −cos x + C vì (−cos x)′ = sin x.

🧮

Làm mẫu

$\int (4 x^{3} - \frac{3}{x ^{2}} + sin x) d x$

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hay lẫn: viết sai và viết đúng

Viết sai	Đúng	Vì sao
$\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$	$ln ∣ x ∣ + C$	1/x xác định cả khi x < 0, còn ln x thì không
$\int sin x d x = cos x + C$	$- cos x + C$	(−cos x)′ = sin x
$\int x^{- 1} d x = \frac{x ^{0}}{0}$	$ln ∣ x ∣ + C$	công thức luỹ thừa chia cho 0

3 🔧 Tính chất và hàm f(ax + b)

Cần nhớ

✦Hằng số ra ngoài: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ (k ≠ 0). Ví dụ: $\int 5 cos x d x = 5 sin x + C$ .
✦Tách tổng, hiệu: $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ .
✦Không có quy tắc cho tích. Phản ví dụ f = g = x: $\int x \cdot x d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ , còn $(\int x d x)^{2} = \frac{x ^{4}}{4}$ .
✦Bên trong là bậc nhất: nếu $\int f (x) d x = F (x) + C$ thì $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ (a ≠ 0). Ví dụ: $\int cos 3 x d x = \frac{sin 3 x}{3} + C$ .

Dạng bài

Tìm nguyên hàm của f(ax + b)

1 Nhận ra phần bên trong là bậc nhất ax + b, tìm nguyên hàm F của hàm gốc f.
2 Thay x bằng ax + b trong F.
3 Nhân thêm $\frac{1}{a}$ rồi cộng C.
4 Thử lại: đạo hàm kết quả phải ra f(ax + b), không ra a·f(ax + b).

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên $\frac{1}{a}$ : viết ∫cos 3x dx = sin 3x + C thì đạo hàm ra 3cos 3x, gấp 3 lần đề.

🔧

Làm mẫu

$\int (2 x + 1)^{3} d x$

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Đổi biến và từng phần (chỉ làm quen)

✦Thấy u và u′ đứng cạnh nhau thì đặt t = u(x). Ví dụ: $\int 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ , đặt t = x² + 1 ⇒ dt = 2x dx ⇒ $\int t^{3} d t = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} + C$ . Nguyên hàm thì phải quay về x.
✦Từng phần $\int u d v = uv - \int v d u$ không được dạy thành bài riêng ở SGK Kết nối tri thức 12. Chỉ cần biết khi gặp tích đa thức × hàm mũ: $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ (đạo hàm lại: eˣ + xeˣ − eˣ = xeˣ ✓).

4 🎯 Nguyên hàm thoả điều kiện, bài chuyển động

Cần nhớ

✦Đề cho F(x₀) = y₀: tìm F(x) + C trước, rồi thay x₀ vào để ra C.
✦Chuyển động: vị trí s, vận tốc v, gia tốc a liên hệ s′ = v và v′ = a. Đi xuôi là đạo hàm, đi ngược là nguyên hàm.
✦Mỗi lần lấy nguyên hàm sinh ra một hằng số và cần một điều kiện đầu để tìm. a → v cần v(0), v → s cần s(0).

Dạng bài

Tìm F biết F(x₀) = y₀

1 Tìm họ nguyên hàm F(x) + C của f.
2 Thay x = x₀: F(x₀) + C = y₀.
3 Giải ra C rồi viết F(x).
4 Thử lại: F(x₀) phải bằng y₀ và F′ = f.

⚠️ Bẫy hay gặp: Bỏ + C thì F(x) = x³ và F(2) = 8, nhưng khi đó F(1) = 1 ≠ 5. Đáp số 8 là cái bẫy kinh điển của bài này.

🎯

Làm mẫu

F là nguyên hàm của f(x) = 3x² và F(1) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Bài chuyển động: từ gia tốc hoặc vận tốc đến vị trí

1 Xác định đề cho đại lượng nào (a hay v) và các điều kiện đầu.
2 Lấy nguyên hàm, dùng điều kiện đầu tìm C.
3 Lấy nguyên hàm lần nữa nếu cần, lại tìm C.
4 Thử lại bằng cách đạo hàm kết quả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm v(2) = 3·4 + 2 = 14 với s(2) = 13. Đề hỏi vị trí thì phải lấy nguyên hàm thêm một lần từ v sang s.

🚀

Làm mẫu

Vật có gia tốc a(t) = 6t (m/s²), v(0) = 2 m/s và s(0) = 1 m. Tính s(2).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đạo hàm từng đáp án rồi so với hàm đề cho. Đáp án nào đạo hàm ra đúng là đáp án đúng, nhanh hơn tự tính.
✦Hai đáp án chỉ khác nhau một hằng số (x² + 1 và x² + 5) thì cả hai đều là nguyên hàm; đề phải có điều kiện F(x₀) = y₀ mới chọn được một.
✦Thấy f(ax + b) thì nhớ ngay phải có $\frac{1}{a}$ . Đáp án thiếu $\frac{1}{a}$ gần như chắc chắn sai.
✦Bài có điều kiện: đặt F = (nguyên hàm) + C rồi thay điều kiện luôn, đừng đoán C.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên + C. Phản ví dụ: F′ = 3x², F(1) = 5 thì F(2) = 12, nhưng bỏ C ra 8.
✦Viết $\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$ . Đúng là $ln ∣ x ∣ + C$ .
✦Sai dấu: ∫sin x dx = cos x + C. Đúng là −cos x + C, vì (cos x)′ = −sin x.
✦Quên $\frac{1}{a}$ ở f(ax + b): ∫e²ˣ dx = e²ˣ + C là sai, đúng là $\frac{e ^{2 x}}{2} + C$ .
✦Cho rằng nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Phản ví dụ f = g = x: x³/3 + C khác x⁴/4.
✦Với n = −1 mà vẫn dùng công thức luỹ thừa: x⁰/0 vô nghĩa, phải dùng ln|x|.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ d/dx: tính đạo hàm của đáp án tại một điểm, so với f tại điểm đó. Hai số bằng nhau thì đáp án khả nghi là đúng.
✦Chế độ tích phân ∫: bài cho F(b) − F(a) thì nhập hàm và hai cận để so với đáp án.
✦Chế độ Bảng (TABLE): lập bảng F(x) − (đáp án) cho nhiều x. Cột này phải là một hằng số thì đáp án mới đúng.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

↩️

Nguyên hàm là gì

1
Nhận biết
Hàm số F(x) = x³ + 5 là một nguyên hàm của hàm số nào?
2
Nhận biết
Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K có dạng
3
Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của f(x) = 2x?
4
Thông hiểu Hàm số F(x) = x³ − x là một nguyên hàm của f(x). Khi đó f(2) = .

📋

Dùng bảng nguyên hàm

1
Nhận biết
$\int x^{4} d x$ bằng
2
Nhận biết
$\int sin x d x$ bằng
3
Thông hiểu
$\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$ bằng
4
Thông hiểu
$\int (\frac{2}{x} + e^{x}) d x$ bằng
5
Thông hiểu
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x$ bằng
6
Thông hiểu
$\int 2^{x} d x$ bằng
7
Vận dụng
$\int x d x$ bằng

🔧

Tính chất và f(ax + b)

1
Thông hiểu
$\int cos 3 x d x$ bằng
2
Thông hiểu
$\int e^{- x} d x$ bằng
3
Thông hiểu Biết $\int f (x) d x = x^{3} + 2 x + C$ . Khi đó f(1) = .
4
Vận dụng
$\int \frac{1}{2 x + 1} d x$ (trên khoảng $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ ) bằng
5
Thông hiểu
Mệnh đề nào dưới đây đúng (f, g liên tục)?

🎯

Nguyên hàm thoả điều kiện

1
Thông hiểu F là nguyên hàm của f(x) = 2x + 1 và F(0) = 3. Khi đó F(1) = .
2
Vận dụng F là nguyên hàm của f(x) = 4x³ − 2 và F(1) = 0. Khi đó F(2) = .
3
Vận dụng
Vật chuyển động thẳng có vận tốc v(t) = 3t² + 2 (m/s) và s(0) = 0. Quãng đường s(2) bằng
4
Thông hiểu F là nguyên hàm của f(x) = sin x và F(π/2) = 2. Khi đó F(0) = .
5
Vận dụng
Biết F(x) = (ax + b)eˣ là một nguyên hàm của f(x) = (x + 1)eˣ. Cặp (a; b) là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Họ nguyên hàm của $f (x) = 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là
2
Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin 2 x$ là
3
Vận dụng
Biết F(x) là nguyên hàm của $f (x) = e^{x} + 2 x$ và F(0) = 2. Giá trị F(1) bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số f(x) = 3x² − 6x + 2. Gọi F là nguyên hàm của f trên ℝ thoả F(0) = 1.

a)F′(x) = f(x) với mọi x ∈ ℝ.

b)F(x) = x³ − 3x² + 2x.

c)F(1) = 1.

d)Phương trình F(x) = 1 có đúng 2 nghiệm.
2
Vận dụng
Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = 6t − 6 (m/s), t ≥ 0 tính bằng giây. Tại t = 0 chất điểm ở vị trí s(0) = 2 m.

a)Hàm vị trí s(t) là một nguyên hàm của v(t).

b)s(t) = 3t² − 6t.

c)Chất điểm đổi chiều chuyển động tại thời điểm t = 1.

d)s(2) = 0.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) = 3x² + 2x và F(1) = 5. Tính F(2). Đáp số:
2
Vận dụng Một vật có gia tốc a(t) = 6t (m/s²) và vận tốc ban đầu v(0) = 2 m/s. Tính vận tốc của vật tại t = 2 giây (đơn vị m/s). Đáp số:
3
Vận dụng Biết F(x) = (ax² + bx)eˣ là một nguyên hàm của f(x) = (2x² + 5x + 1)eˣ. Tính a + b. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tìm nguyên hàm từ bảng (luỹ thừa, mũ, sin, cos) hoặc có f(ax + b). Cách chắc nhất: đạo hàm từng đáp án.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một hàm cụ thể hoặc một bài chuyển động: nguyên hàm có hằng số, F(x₀) = y₀, quan hệ s, v, a. Ý dễ mất điểm là quên + C.
•Phần III có thể cho điều kiện F(x₀) = y₀ rồi hỏi một giá trị F(x₁), hoặc tìm hệ số a, b để F là nguyên hàm của f.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Tích phân