Chủ đề 17 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Phương trình mặt cầu

Viết phương trình mặt cầu, đọc tâm và bán kính từ dạng chính tắc hoặc khai triển; xét vị trí của mặt cầu với mặt phẳng, tính bán kính đường tròn giao tuyến và viết mặt phẳng tiếp xúc.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 17

⚡ Nhớ nhanh

1Dạng chính tắc: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² có tâm I(a; b; c), bán kính R. Vế phải là R², nhớ khai căn.
2Dạng khai triển: x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) là nửa hệ số, đổi dấu, và R = √(a² + b² + c² − d).
3Phải kiểm điều kiện tồn tại: a² + b² + c² − d > 0. Bằng 0 thì chỉ là một điểm, âm thì tập rỗng.
4Vị trí với mặt phẳng: so h = d(I, (P)) với R. h > R không cắt; h = R tiếp xúc; h < R cắt theo đường tròn bán kính r = √(R² − h²).
5R là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là h và r, nên r² = R² − h², không phải R² + h².

👀 Nhìn là hiểu

Kéo D để mặt phẳng trượt song song: so khoảng cách h từ tâm I với bán kính R. Giao tuyến từ không có thành một điểm (tiếp xúc), rồi thành đường tròn bán kính r = √(R² − h²).

Kéo trên hình để xoay.

(S): (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16 · I(1; −2; 3), R = 4

(P): 2x − y + 2z − 1 = 0

D = −1

h = d(I, (P)) = |2·1 − (−2) + 2·3 − 1| / 3 = |9|/3 = 3

h < R ⇒ cắt theo đường tròn tâm H, r = √(R² − h²) = √7

Bẫy: dạng khai triển x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 cho tâm I(a; b; c) — đổi dấu hệ số rồi chia 2; R = √(a² + b² + c² − d), phải có a² + b² + c² − d > 0.

1 ⚽ Dạng chính tắc

Cần nhớ

✦Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R là tập các điểm M có IM = R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
✦Đọc tâm: đổi dấu số trong ngoặc. (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có tâm (1; −2; 0): y + 2 = y − (−2) nên b = −2, và z² = (z − 0)² nên c = 0.
✦Vế phải là R², nên R = 3 ở ví dụ trên, không phải 9.
✦Mặt cầu tâm O bán kính R: x² + y² + z² = R².
✦Điểm M nằm trong mặt cầu khi IM < R, trên mặt cầu khi IM = R, ngoài khi IM > R.

Dạng bài

Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

1 Xác định tâm I(a; b; c) và bán kính R (tìm R từ một điểm đi qua hoặc từ một mặt phẳng tiếp xúc nếu đề cho gián tiếp).
2 Thay vào (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
3 Thử lại: lấy một điểm cách tâm đúng R, thay vào phải thoả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết vế phải là 4 (bán kính) thay vì 16. Phản ví dụ: điểm (1; −2; 7) cách tâm đúng 4 nhưng thay vào phương trình có vế phải 4 thì 16 ≠ 4.

⚽

Làm mẫu

Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3) bán kính 4, rồi viết dạng khai triển.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Mặt cầu đường kính AB

1 Tâm là trung điểm I của AB.
2 Bán kính R = AB/2, nên R² = AB²/4.
3 Viết dạng chính tắc rồi thử lại bằng cách thay A, B.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy R² = AB² = 12 là quên chia 4 (hoặc lấy R = AB). Thay A vào được 3 ≠ 12.

📏

Làm mẫu

Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(1; 2; 3), B(3; 0; 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🔍 Dạng khai triển: đọc tâm, bán kính, điều kiện

Cần nhớ

✦x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) và R = √(a² + b² + c² − d).
✦Điều kiện là mặt cầu: a² + b² + c² − d > 0. Ví dụ: x² + y² + z² + 1 = 0 vô nghiệm; x² + y² + z² = 0 chỉ là một điểm (O).
✦Tâm là nửa hệ số, đổi dấu: hệ số của x là −2 thì a = 1; hệ số của y là +4 thì b = −2.
✦Hệ số của x², y², z² phải bằng 1. Nếu bằng k ≠ 1 thì chia cả hai vế cho k trước khi đọc tâm.
✦d là số hạng tự do có dấu: d = −2 nghĩa là −d = +2.

Dạng bài

Tìm tâm và bán kính từ phương trình khai triển

1 Kiểm hệ số x², y², z² cùng bằng 1 (nếu không, chia hai vế).
2 Đọc a, b, c bằng cách lấy nửa hệ số của x, y, z rồi đổi dấu.
3 Tính a² + b² + c² − d và kiểm dương.
4 Lấy căn. Thử lại bằng cách thay tâm vào dạng chính tắc rồi khai triển phải ra phương trình ban đầu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai chỗ hay sai: quên đổi dấu khi lấy tâm (ra I(−1; 2; −3)), và quên −d = +2 khi d = −2 (ra R² = 12 thay vì 16).

🔍

Làm mẫu

Tìm tâm và bán kính của (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Đề hỏi cái nào? (với (S) ở ví dụ trên)

Đề hỏi	Trả lời	Hay nhầm với
Toạ độ tâm	I(1; −2; 3)	(−1; 2; −3) khi quên đổi dấu
Bán kính	R = 4	R = 16 (đó là R²)
Điều kiện là mặt cầu	a² + b² + c² − d > 0	Quên kiểm, gặp phương trình vô nghiệm
Phương trình có phải mặt cầu không	Kiểm hệ số x², y², z² bằng nhau	Có số hạng xy thì không phải

3 ✏️ Viết phương trình mặt cầu khi biết điều kiện

Đề cho gì thì tìm R thế nào

Đề cho	Bán kính	Ghi chú
Tâm I, đi qua điểm A	R = IA	Tính IA² cho khỏi căn
Đường kính AB	R = AB/2	Tâm là trung điểm AB
Tâm I, tiếp xúc mặt phẳng (P)	R = d(I, (P))	Tiếp điểm là hình chiếu của I lên (P)
Tâm I thuộc đường thẳng, đi qua hai điểm	IA = IB	Gọi toạ độ I theo tham số, giải IA² = IB²

Dạng bài

Viết mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P)

1 Tính R = d(I, (P)) bằng công thức khoảng cách.
2 Viết (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
3 Tìm tiếp điểm: đường thẳng qua I vuông góc (P) cắt (P) tại H.
4 Thử lại: H thuộc (P) và IH = R.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy vế phải là 3 (bán kính) hoặc là 81 (bình phương cả tử). Đúng là R² = 3² = 9.

🤝

Làm mẫu

Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; −1) tiếp xúc với (P): 2x − 2y + z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tâm thuộc trục toạ độ, đi qua hai điểm

1 Gọi toạ độ tâm theo trục, ví dụ tâm thuộc Ox thì I(t; 0; 0).
2 Viết IO² = IA² (cùng bằng R²) rồi giải t.
3 R = IO. Thử lại bằng cách tính IA.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên rằng tâm thuộc Ox nên chỉ có một ẩn t. Gọi I(a; b; c) tổng quát rồi giải thì thiếu điều kiện, ra vô số nghiệm.

📍

Làm mẫu

Mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và đi qua O, A(1; 2; 3). Tính bán kính.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 ✂️ Mặt cầu và mặt phẳng

Ba vị trí tương đối mặt cầu – mặt phẳng

So sánh h = d(I, (P)) với R	Vị trí	Giao là
h > R	Không cắt	Rỗng
h = R	Tiếp xúc	Một điểm: hình chiếu của I lên (P)
h < R	Cắt nhau	Đường tròn bán kính $r = R^{2} - h^{2}$
h = 0	Qua tâm	Đường tròn lớn, r = R

Cần nhớ

✦ $r = R^{2} - h^{2}$ : tam giác vuông có cạnh huyền R (nối tâm tới một điểm trên đường tròn giao), cạnh góc vuông h và r.
✦Biết R và r thì $h = R^{2} - r^{2}$ . Ví dụ: R = 5, r = 3 ⇒ h = 4.
✦Mặt phẳng tiếp xúc có hai nghiệm: nếu đề cho mặt phẳng song song (P), có hai mặt phẳng nằm hai phía tâm.
✦Mặt phẳng tiếp xúc tại A: pháp tuyến $n = I A$ và đi qua A.

Dạng bài

Xét vị trí mặt cầu với mặt phẳng, tính bán kính giao tuyến

1 Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
2 Tính h = d(I, (P)) rồi so với R.
3 Nếu h < R, tính r = √(R² − h²).
4 Thử lại: r² + h² = R².

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết r = √(R² + h²) = 5 cho đường tròn giao tuyến lớn hơn cả mặt cầu (R = 4), vô lý thấy ngay. R luôn là cạnh huyền.

✂️

Làm mẫu

Cho (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 và (P): 2x − y + 2z − 1 = 0. Xét vị trí và tính bán kính đường tròn giao tuyến nếu có.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm tham số để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

1 Tìm tâm I, bán kính R của (S).
2 Viết điều kiện tiếp xúc: d(I, (P)) = R.
3 Giải phương trình trị tuyệt đối (hai nghiệm), rồi chọn theo điều kiện đề.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giải |9 + m| = 12 chỉ lấy m = 3, bỏ m = −21. Có hai mặt phẳng song song cùng tiếp xúc, nằm hai phía tâm.

🤝

Làm mẫu

Tìm m để (P): 2x − 2y + z + m = 0 tiếp xúc (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 (R = 4, I(1; −2; 3)).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Dạng chính tắc đọc ngay: tâm đổi dấu số trong ngoặc, R là căn vế phải. Không cần khai triển.
✦Đề cho các phương án phương trình: thay điểm đề cho vào, loại phương án không thoả hoặc sai vế phải.
✦Bài giao tuyến: ghi sẵn bộ ba nguyên (3; 4; 5) và (5; 12; 13): R = 5, h = 3 thì r = 4; R = 13, h = 5 thì r = 12.
✦Tâm nằm trên trục thì chỉ có một ẩn: giải một phương trình IA² = IB² là xong.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên đổi dấu khi đọc tâm: x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 có tâm (1; −2; 3), không phải (−1; 2; −3).
✦Bán kính bằng vế phải thay vì căn vế phải: (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có R = 3, không phải 9.
✦Mọi phương trình dạng x² + y² + z² + … = 0 đều là mặt cầu. Phản ví dụ: x² + y² + z² + 1 = 0 vô nghiệm; x² + y² + z² − 2x + 4y + 5 = 0 có 1 + 4 − 5 = 0 nên chỉ là một điểm.
✦Viết r = √(R² + h²). Đúng: r = √(R² − h²) vì R là cạnh huyền.
✦Dùng công thức tâm khi hệ số x², y², z² khác 1: phải chia cả hai vế cho hệ số trước. Ví dụ 2x² + 2y² + 2z² − 4x + … = 0 chia 2 rồi mới đọc tâm.
✦Mặt cầu đường kính AB mà lấy R = AB (hoặc R² = AB²): phải chia 2 (hoặc chia 4).

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): lấy độ dài IA để tính bán kính, và tích vô hướng để kiểm vuông góc.
✦Tính giá trị biểu thức: thay tâm vào vế trái, kiểm điểm trên mặt cầu cho vế trái bằng 0.
✦Chế độ giải phương trình bậc nhất, bậc hai: giải IA² = IB² hoặc |9 + m| = 12 (nhớ tách hai trường hợp dấu).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔍

Đọc tâm và bán kính

1
Nhận biết
Mặt cầu (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có tâm và bán kính là
2
Nhận biết
Mặt cầu có tâm là gốc toạ độ O và bán kính 2 có phương trình
3
Thông hiểu Mặt cầu x² + y² + z² − 4x + 2y − 4 = 0 có bán kính bằng .
4
Thông hiểu
Mặt cầu x² + y² + z² + 6x − 2y + 4z + 1 = 0 có tâm là
5
Thông hiểu
Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu?
6
Vận dụng Phương trình x² + y² + z² − 2x + 2y − 4z + m = 0 là mặt cầu có bán kính bằng 3 khi m =

✏️

Viết phương trình mặt cầu

1
Thông hiểu
Mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính 4 có phương trình
2
Thông hiểu
Mặt cầu đường kính AB với A(1; 2; 3), B(3; 0; 1) có phương trình
3
Thông hiểu
Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và đi qua gốc toạ độ O có phương trình
4
Vận dụng
Mặt cầu tâm I(1; 2; −1) tiếp xúc với mặt phẳng 2x − 2y + z − 6 = 0 có phương trình
5
Thông hiểu Mặt cầu tâm I(2; 1; −2) tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 6 = 0 có bán kính bằng .
6
Vận dụng Mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và đi qua O, A(1; 2; 3) có bán kính bằng .

✂️

Vị trí mặt cầu và mặt phẳng

1
Nhận biết
Mặt cầu tâm I bán kính R và mặt phẳng (P) có d(I, (P)) > R. Khi đó
2
Thông hiểu
Mặt cầu tâm I(1; 1; 1) bán kính 2 và một mặt phẳng cách I một khoảng bằng 2. Mặt phẳng đó
3
Thông hiểu
Mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu bán kính R cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính
4
Vận dụng
Mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 và mặt phẳng (P): 2x − y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối là

⭕

Đường tròn giao tuyến và tiếp xúc

1
Thông hiểu Mặt cầu bán kính R = 5 bị mặt phẳng cách tâm 3 cắt theo đường tròn có bán kính bằng .
2
Thông hiểu Mặt cầu bán kính R = 10 bị một mặt phẳng cắt theo đường tròn bán kính r = 6. Khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng bằng .
3
Vận dụng
Mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 bị mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0 cắt theo đường tròn có bán kính
4
Vận dụng Mặt phẳng 2x − 2y + z + m = 0 (m > 0) tiếp xúc với mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 khi m = .
5
Vận dụng
Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) bán kính 3 và điểm A(3; 4; 4) nằm trên mặt cầu. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A có phương trình

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Mặt cầu x² + y² + z² − 6x + 2y − 2z + 2 = 0 có tâm và bán kính là
2
Thông hiểu
Mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + m = 0 tiếp xúc với mặt cầu x² + y² + z² = 4 khi
3
Vận dụng
Mặt cầu tâm I(1; −1; 2) bán kính 5 cắt mặt phẳng (P): 2x − y + 2z + 2 = 0 theo một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 7 = 0.

a)Tâm của (S) là I(1; −2; 2).

b)Bán kính của (S) bằng 16.

c)Điểm A(1; −2; 6) thuộc (S).

d)Điểm B(3; 2; 4) nằm trong mặt cầu (S).
2
Vận dụng
Cho mặt cầu (S): (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)² = 25 và mặt phẳng (P): 2x + 2y − z − 5 = 0.

a)Mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.

b)Khoảng cách từ tâm I của (S) tới (P) bằng 9.

c)(P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

d)Chỉ có đúng một mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng 2x + y − 2z + 14 = 0. Bán kính của mặt cầu bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Mặt cầu bán kính 13 bị một mặt phẳng cắt theo đường tròn có bán kính 12. Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng bằng bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên dương m để x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + m = 0 là phương trình mặt cầu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu đọc tâm và bán kính từ phương trình (chính tắc hoặc khai triển), hoặc viết phương trình mặt cầu khi biết đường kính, tâm và điểm đi qua.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một mặt cầu cho sẵn: tâm, bán kính, vị trí điểm so với mặt cầu, vị trí với mặt phẳng, đường tròn giao tuyến. Ý dễ mất điểm là nhầm R với R² hoặc quên đổi dấu của tâm.
•Phần III có thể hỏi bán kính, khoảng cách tâm tới mặt phẳng, bán kính đường tròn giao tuyến hoặc đếm số giá trị nguyên của m để phương trình là mặt cầu: nhớ điều kiện bán kính bình phương dương.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Xác suất có điều kiện