Chủ đề 18 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Xác suất có điều kiện

Tính xác suất của một biến cố khi đã biết biến cố khác xảy ra; đọc bảng dữ liệu hai chiều thành xác suất có điều kiện; dùng công thức nhân và kiểm tra hai biến cố có độc lập không.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 18

⚡ Nhớ nhanh

1Biết A đã xảy ra thì không gian mẫu thu hẹp còn đúng A. Xác suất của B lúc này là phần của B nằm trong A: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ với P(A) > 0.
2Chữ đứng sau "biết", "với điều kiện", "nếu" là điều kiện, nó nằm ở mẫu số.
3Công thức nhân: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Rút không hoàn lại thì ở lần sau cả tử lẫn mẫu đều đổi.
4Độc lập ⇔ P(B | A) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B): biết A không làm đổi khả năng của B.
5P(A | B) ≠ P(B | A): hai tỉ số cùng tử P(A ∩ B) nhưng khác mẫu. Đây là lỗi hay sai nhất của chương.
6Cộng đúng: P(B | A) + P( $B$ | A) = 1. Giữ nguyên điều kiện, chỉ đổi vế được hỏi.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm "Biết là nữ" hay "Biết giỏi Toán": các bạn ngoài điều kiện mờ đi, xác suất là tỉ lệ trong phần còn sáng, và hai chiều hỏi cho hai số khác nhau. Đổi số nữ giỏi Toán để tìm lúc hai biến cố độc lập.

👧 ⭐

👧

👦 ⭐

👦

nữ nam ⭐ giỏi Toán

Biết thêm điều gì về bạn được chọn?

Số bạn nữ giỏi Toán: 8

Biết là nữ ⇒ chỉ còn 18 bạn sáng, trong đó 8 bạn có ⭐.

P(G | N) = 8/18 = 4/9 ≈ 44,4%

So với P(G) = 2/5 ≈ 40% khi chưa biết gì.

P(G | N) = 4/9 ≠ P(G) = 2/5 ⇒ N và G không độc lập. Đổi số nữ giỏi Toán thử xem lúc nào bằng nhau.

1 🎯 Xác suất có điều kiện là gì

Cần nhớ

✦Định nghĩa: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ (P(A) > 0). Đọc: "trong phần A, phần thuộc cả B chiếm bao nhiêu".
✦Khi tính bằng đếm: P(B | A) = n(A ∩ B) / n(A). Ví dụ: 25 bạn thích bóng đá, 10 bạn thích cả cờ vua ⇒ P(cờ vua | bóng đá) = 1025 = 0,4.
✦P(B | A) luôn nằm trong [0; 1] và P(B | A) + P( $B$ | A) = 1.
✦Xác suất có điều kiện có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng P(B). Biết "ra số lẻ" thì xác suất "ra 6" tụt từ 16 xuống 0.

Dạng bài

Tính P(B | A) từ đề bài chữ

1 Đặt tên: A là cái đã biết (điều kiện), B là cái được hỏi.
2 Tìm P(A) và P(A ∩ B) (hoặc n(A) và n(A ∩ B)).
3 Chia: phần chung ÷ phần đã biết.
4 Thử lại: kết quả nằm trong [0; 1]; so với P(B) để biết A làm B dễ hơn hay khó hơn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đảo vai thành P(nữ | giỏi Toán) = 812 = 23 là một câu hỏi khác. Hai kết quả 49 và 23 cùng tử 8, khác mẫu 18 và 12.

🎯

Làm mẫu

Lớp có 30 bạn, trong đó 18 bạn nữ. Có 12 bạn giỏi Toán, trong đó 8 bạn là nữ. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Biết đó là nữ, tính xác suất bạn ấy giỏi Toán.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🅰️ P(B | A)

Mẫu số là P(A). Hỏi: "trong những người thuộc A, bao nhiêu phần thuộc B?". Ví dụ: trong 18 bạn nữ, 8 bạn giỏi Toán: 49.

🅱️ P(A | B)

Mẫu số là P(B). Hỏi: "trong những người thuộc B, bao nhiêu phần thuộc A?". Ví dụ: trong 12 bạn giỏi Toán, 8 bạn là nữ: 23.

2 📊 Đọc bảng dữ liệu hai chiều

Cần nhớ

✦Bảng hai chiều có 4 ô trong: A ∩ B, A ∩ $B$ , $A$ ∩ B, $A$ ∩ $B$ và các cột, hàng Tổng.
✦P(B | A): lấy ô (A, B) chia cho tổng hàng A. P(A | B): lấy ô (A, B) chia cho tổng cột B.
✦Hàng quyết định điều kiện: biết A thì chỉ nhìn hàng A, biết B thì chỉ nhìn cột B. Phần còn lại của bảng bị bỏ.

Bảng xác suất: P(A ∩ B) = 0,40; P(A ∩ B̄) = 0,10; P(Ā ∩ B) = 0,15; P(Ā ∩ B̄) = 0,35

Muốn tính	Lấy ô	Chia cho	Kết quả
P(B \| A)	0,40	tổng hàng A = 0,50	0,8
P(A \| B)	0,40	tổng cột B = 0,55	≈ 0,73
P(B \| $A$ )	0,15	tổng hàng $A$ = 0,50	0,3

Dạng bài

Từ bảng đếm sang xác suất có điều kiện

1 Xác định điều kiện: hàng hay cột nào là "cái đã biết".
2 Lấy tổng của hàng (hoặc cột) đó làm mẫu số.
3 Lấy số ở ô giao với cái được hỏi làm tử số.
4 So với xác suất không điều kiện (tổng hàng/cột ÷ tổng toàn bảng) để kết luận độc lập hay không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy 90200 = 0,45 là P(A ∩ B), xác suất của "dùng ứng dụng và đạt ≥ 8", chưa chia cho tổng hàng A.

📊

Làm mẫu

Khảo sát 200 học sinh: 120 bạn dùng ứng dụng ôn bài, trong đó 90 bạn đạt từ 8 điểm; 80 bạn không dùng, trong đó 40 bạn đạt từ 8 điểm. Tính P(đạt ≥ 8 | dùng) và P(dùng | đạt ≥ 8).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ✖️ Công thức nhân và biến cố độc lập

Cần nhớ

✦Công thức nhân (đúng cho mọi cặp A, B): P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = P(B) · P(A | B).
✦Độc lập: A, B độc lập ⇔ P(B | A) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Khi đó P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B).
✦A, B độc lập thì A và $B$ cũng độc lập, $A$ và B cũng độc lập.
✦Xung khắc (A ∩ B = ∅) không phải độc lập: nếu P(A), P(B) > 0 thì P(B | A) = 0 ≠ P(B).

Dạng bài

Xác suất liên tiếp không hoàn lại bằng công thức nhân

1 Gọi A là biến cố ở lần thứ nhất, B là biến cố ở lần thứ hai.
2 P(A) tính trên toàn bộ; P(B | A) tính trên bộ đã bớt kết quả của lần đầu.
3 Nhân: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A).
4 Thử lại bằng cách đếm tổ hợp (nếu làm được).

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng 58 · 58 là coi hai lần lấy độc lập (có hoàn lại). Không hoàn lại thì lần sau còn 7 bi, 4 bi đỏ.

✖️

Làm mẫu

Hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt hai bi, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi đều đỏ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Kiểm tra A, B có độc lập không

1 Tính P(A), P(B) và P(A ∩ B).
2 So P(A ∩ B) với P(A) · P(B), hoặc so P(B | A) với P(B).
3 Bằng nhau thì độc lập, khác nhau thì không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai biến cố "có vẻ không liên quan" vẫn có thể phụ thuộc: A và B₂ đều là số chấm của cùng một con xúc xắc nên đổi mẫu số là đổi tử số.

🎲

Làm mẫu

Gieo một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm chẵn". Xét B₁: "số chấm lớn hơn hoặc bằng 5" và B₂: "số chấm lớn hơn hoặc bằng 4". B₁ và B₂ cái nào độc lập với A?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎲 Thu hẹp không gian mẫu bằng cách đếm

Cần nhớ

✦Bài đếm: liệt kê (hoặc đếm) các kết quả thoả điều kiện A trước, rồi đếm trong số đó các kết quả thoả B.
✦P(B | A) = n(A ∩ B) / n(A). Không cần tính P(A) và P(A ∩ B) riêng rẽ.
✦Hai xúc xắc: 36 kết quả có thứ tự. Liệt kê theo tổng: tổng 8 có (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

Dạng bài

Xác suất có điều kiện bằng liệt kê

1 Liệt kê tất cả kết quả thoả điều kiện A và đếm n(A).
2 Trong danh sách đó, gạch các kết quả thoả B và đếm n(A ∩ B).
3 Chia n(A ∩ B) cho n(A).
4 Thử lại bằng 36 (hoặc |Ω|): P(A) = nA36 và P(A ∩ B) = nA ∩ B36 rồi chia cũng ra cùng số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy 236 = 118 là P(A ∩ B), mẫu số vẫn là cả 36 kết quả. Biết tổng bằng 8 thì mẫu số chỉ còn 5.

🎲

Làm mẫu

Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết tổng số chấm bằng 8, tính xác suất ít nhất một con ra mặt 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề cho số đếm thì đừng đổi sang xác suất: P(B | A) = (ô giao) / (tổng của hàng hoặc cột A).
✦Gạch dưới chữ đứng sau "biết", "nếu", "với điều kiện": đó là mẫu số.
✦Rút không hoàn lại: sau lần đầu, tử và mẫu đều giảm (rút át, còn 3 át trong 51 lá).
✦Kiểm độc lập nhanh: P(A ∩ B) có bằng P(A) · P(B) không? Hoặc thử P(B | A) = P(B).

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Nhầm P(A | B) với P(B | A). Phản ví dụ: lớp 30 bạn có 8 nữ giỏi Toán thì P(giỏi | nữ) = 818 nhưng P(nữ | giỏi) = 812.
✦Lấy P(A ∩ B) làm P(B | A). Phản ví dụ: 830 ≠ 818, chưa chia cho P(A).
✦Cho rằng P(B | A) + P(B | $A$ ) = 1. Phản ví dụ: 0,75 + 0,5 = 1,25. Đúng phải là P(B | A) + P( $B$ | A) = 1.
✦Cho rằng biết thêm thông tin thì xác suất luôn tăng. Phản ví dụ: biết "ra số lẻ" thì P(ra 6) = 0 < 16.
✦Nhầm xung khắc với độc lập. Phản ví dụ: A = {1}, B = {2} xung khắc mà P(B | A) = 0 ≠ P(B) = 16.
✦Rút không hoàn lại mà vẫn dùng 452 cho lá thứ hai. Đúng: biết lá đầu là át thì lá thứ hai là át có xác suất 351.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Phím tổ hợp nCr: tính n(A) và n(A ∩ B) trong bài chọn người, chọn bi, rồi chia hai số.
✦Giữ kết quả ở dạng phân số để so P(A ∩ B) với P(A) · P(B): phân số cho biết ngay bằng nhau hay không, thập phân dễ làm tròn lệch.
✦Bài làm tròn đến hàng phần trăm: tính P(A ∩ B) và P(A) riêng rồi chia bằng phím Ans, không làm tròn ở bước giữa.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🎯

Định nghĩa và đếm

1
Nhận biết
Với P(A) > 0, xác suất của B khi biết A đã xảy ra là
2
Nhận biết
Khi biết biến cố A đã xảy ra, không gian mẫu để tính P(B | A) thu hẹp thành
3
Thông hiểu Cho P(A) = 0,5 và P(A ∩ B) = 0,2. Khi đó P(B | A) = .
4
Thông hiểu Cho P(A) = 0,8 và P(A ∩ B) = 0,6. Khi đó P( $B$ | A) = .
5
Thông hiểu
Lớp có 40 học sinh, 25 bạn thích bóng đá, trong đó 10 bạn thích cả cờ vua. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Biết bạn đó thích bóng đá, xác suất bạn đó thích cờ vua là

📊

Đọc bảng dữ liệu

1
Nhận biết
Từ bảng đếm hai chiều, để tính P(B | A) ta lấy số ở ô (A, B) chia cho
2
Thông hiểu Khảo sát 200 học sinh (A: dùng ứng dụng ôn bài, B: đạt từ 8 điểm) cho bảng sau: $A A Tổng B 9040130 B 304070 Tổng 12080200$ Tính P(B | A). Đáp số:
3
Thông hiểu
Với bảng ở câu trước: $A A Tổng B 9040130 B 304070 Tổng 12080200$ Giá trị P(A | B) bằng
4
Thông hiểu Với bảng ở câu trước: $A A Tổng B 9040130 B 304070 Tổng 12080200$ Tính P(B | $A$ ). Đáp số:
5
Vận dụng
Với bảng ở câu trước: $A A Tổng B 9040130 B 304070 Tổng 12080200$ Kết luận nào đúng về A và B?

✖️

Công thức nhân và độc lập

1
Nhận biết
Hai biến cố A, B (cùng có xác suất khác 0) là độc lập khi và chỉ khi
2
Thông hiểu Cho P(A) = 0,6 và P(B | A) = 0,5. Khi đó P(A ∩ B) = .
3
Thông hiểu
Hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy lần lượt hai bi, không hoàn lại. Xác suất cả hai bi đều đỏ là
4
Vận dụng Hai biến cố A, B độc lập, P(A) = 0,5 và P(B) = 0,4. Khi đó P(A ∪ B) = .
5
Vận dụng Cho P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 và P(A ∪ B) = 0,7. Khi đó P(A | B) = .
6
Vận dụng
Gieo một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm chẵn", B: "số chấm lớn hơn 3". Khẳng định nào đúng?

🎲

Thu hẹp không gian mẫu

1
Thông hiểu
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết tổng số chấm bằng 8, xác suất để có ít nhất một con ra mặt 3 là
2
Thông hiểu Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết tổng số chấm không nhỏ hơn 10, xác suất hai con ra số chấm bằng nhau là (làm tròn đến hàng phần trăm) .
3
Vận dụng
Rút lần lượt hai lá bài không hoàn lại từ bộ 52 lá. Biết lá thứ nhất là át, xác suất lá thứ hai cũng là át bằng
4
Vận dụng Gieo ba đồng xu cân đối. Biết có ít nhất một đồng ngửa, xác suất cả ba đồng đều ngửa là (làm tròn đến hàng phần trăm) .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Lớp có 45 học sinh, trong đó 27 bạn nữ. Có 9 bạn nữ và 3 bạn nam tham gia CLB Robot. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Biết bạn đó là nữ, xác suất bạn đó tham gia CLB Robot bằng
2
Vận dụng
Cho hai biến cố A, B với P(A) = 0,6; P(B) = 0,5 và P(A ∪ B) = 0,7. Giá trị P(B | A) bằng
3
Thông hiểu
Hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt hai bi không hoàn lại. Biết bi thứ nhất đỏ, xác suất bi thứ hai xanh bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Khảo sát 100 người về một sản phẩm, thu được bảng: $Nam Nữ Tổng Th ı ˊ ch 282149 Kh o ˆ ng 123951 Tổng 4060100$ Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó.

a)Xác suất người được chọn thích sản phẩm là 0,49.

b)Biết người được chọn là nam, xác suất người đó thích sản phẩm là 0,7.

c)Biết người được chọn thích sản phẩm, xác suất người đó là nam là 0,7.

d)Giới tính và việc thích sản phẩm là hai biến cố độc lập.
2
Vận dụng
Cho hai biến cố A, B với P(A) = 0,5; P(B) = 0,4 và P(A ∪ B) = 0,6.

a)P(A ∩ B) = 0,3.

b)P(B | A) = 0,4.

c)P(A | B) = 0,75.

d)A và B là hai biến cố độc lập.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy lần lượt hai bi không hoàn lại. Xác suất cả hai bi đều đỏ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:
2
Vận dụng Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết có ít nhất một con ra mặt 6, tính xác suất để tổng số chấm không nhỏ hơn 10 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:
3
Vận dụng Lớp có 40 học sinh: 24 bạn thích Toán, 20 bạn thích Lý, 8 bạn không thích môn nào trong hai môn. Chọn ngẫu nhiên một bạn thích Toán, xác suất bạn đó cũng thích Lý là bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính P(B | A) từ số đếm (lớp học, hộp bi) hoặc từ P(A), P(B), P(A ∪ B). Bẫy hay có là đảo vai P(A | B) và P(B | A).
•Phần II hay có một câu cho bảng hai chiều hoặc vài xác suất, 4 ý đi từ xác suất đơn, xác suất có điều kiện, rồi hỏi độc lập. Ý dễ mất điểm là chia nhầm mẫu số.
•Phần III có thể hỏi xác suất liên tiếp không hoàn lại hoặc xác suất có điều kiện kèm làm tròn đến hàng phần trăm: đếm kết quả thoả điều kiện trước rồi mới chia.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes