Chủ đề 6 · Học kỳ 1

Vectơ trong không gian

Cộng, trừ, nhân vectơ với một số trong không gian; dùng quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp, hệ thức trung điểm, trọng tâm; tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc và tính góc.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 6

⚡ Nhớ nhanh

1Quy tắc của hình phẳng giữ nguyên trong không gian: quy tắc ba điểm $A B + B C = A C$ , quy tắc trừ $O B - O A = A B$ .
2Quy tắc hình hộp là cái mới: $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ . Ba vectơ phải chung gốc A và là ba cạnh của hình hộp.
3Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng, cùng độ dài, không cần chung gốc. Nhờ vậy mới dời vectơ đi để nối đuôi nhau.
4Trung điểm: $O A + O B = 2 O M$ . Trọng tâm tam giác: $O A + O B + O C = 3 O G$ . Trọng tâm tứ diện: hệ số 4.
5Tích vô hướng $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos (u, v)$ cho ra một số. Bằng 0 ⇔ vuông góc.
6Thói quen chống sai: luôn đưa hai vectơ về chung gốc trước khi lấy góc. Góc giữa $A B$ và $B C$ không phải góc B của tam giác.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm "Bước tiếp" để cộng nối đuôi ba vectơ chung gốc A, ra đúng đường chéo AC′. Bấm "Vectơ bằng nhau" để thấy vì sao dời được AA′ thành CC′. Kéo trên hình để xoay hình hộp.

Kéo trên hình để xoay.

Bước 0/3

Ba vectơ chung gốc A: $A B$ , $A D$ , $A A^{'}$ (ba cạnh của hình hộp).

1 🧭 Vectơ và phép toán cơ bản

Cần nhớ

✦Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Ví dụ: trong hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
✦Quy tắc ba điểm (nối đuôi): $A B + B C = A C$ . Quy tắc trừ: $M N - M P = P N$ (hai vectơ cùng gốc, hiệu nối hai ngọn, hướng về ngọn của số bị trừ).
✦ $A B + B C + C A = 0$ với mọi ba điểm A, B, C, không cần thẳng hàng.
✦Ba vectơ $a, b, c$ đồng phẳng khi $c = m a + n b$ (với $a, b$ không cùng phương). Trong mặt phẳng thì luôn thế, trong không gian thì không: ba cạnh cùng gốc của hình hộp không đồng phẳng.

Dạng bài

Rút gọn tổng, hiệu vectơ

1 Đổi mọi hiệu thành tổng (hoặc đưa về chung gốc) để dùng được quy tắc ba điểm.
2 Sắp các vectơ cho nối đuôi nhau. Vectơ nào chưa nối được thì thay bằng vectơ bằng nó (dời song song).
3 Gặp hai vectơ đối nhau (cùng độ dài, ngược hướng) thì cộng lại bằng $0$ .
4 Thử lại bằng một hình cụ thể, ví dụ hình lập phương cạnh 1 đặt toạ độ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho $C D = A B$ là sai: hai vectơ ấy ngược hướng, $C D = (- 1; 0; 0)$ còn $A B = (1; 0; 0)$ . Muốn bằng $A B$ phải là $D C$ .

🧭

Làm mẫu

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Rút gọn $A B + D D^{'} + C D$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hình phẳng và không gian: giống và khác

	Trong mặt phẳng	Trong không gian
Quy tắc ba điểm	Có	Y hệt
Cộng hai vectơ cùng gốc	Quy tắc hình bình hành	Y hệt
Cộng ba vectơ cùng gốc	Không có	Quy tắc hình hộp (mới)
Ba vectơ bất kì	Luôn đồng phẳng	Có thể không đồng phẳng

2 📦 Quy tắc hình hộp

Cần nhớ

✦Quy tắc hình hộp: $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ . Tổng ba cạnh chung gốc A là đường chéo của cả khối xuất phát từ A.
✦Cạnh đối bằng nhau: $A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}$ , $A D = B C = A^{'} D^{'}$ , $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
✦Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường: $A O = \frac{1}{2} A C^{'}$ .
✦Đường chéo xuất phát từ đỉnh khác thì có vectơ đi ngược chiều mang dấu trừ: $B D^{'} = - A B + A D + A A^{'}$ .

Dạng bài

Phân tích một vectơ theo ba cạnh cùng gốc

1 Đặt $a = A B$ , $b = A D$ , $c = A A^{'}$ (ba cạnh chung gốc A).
2 Tách vectơ cần tính thành các đoạn bằng quy tắc ba điểm, sao cho mỗi đoạn là một cạnh (hoặc một nửa cạnh).
3 Đoạn nào đi ngược chiều $a, b, c$ thì mang dấu trừ. Đoạn song song nhưng không chung gốc thì thay bằng vectơ bằng nó.
4 Thử lại bằng lập phương đơn vị: đặt toạ độ rồi so từng thành phần.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $D A = b$ là sai dấu. $D A$ đi từ D về A, ngược chiều $A D$ , nên bằng $- b$ . Sai dấu thì thử lại ra (1; 1; 0,5), không khớp.

📦

Làm mẫu

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , M là trung điểm BB′. Biểu diễn $D M$ theo $a = A B$ , $b = A D$ , $c = A A^{'}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Ba kiểu cộng vectơ

Quy tắc	Dùng khi	Công thức
Ba điểm	Các vectơ nối đuôi nhau	$A B + B C = A C$
Hình bình hành	Hai vectơ chung gốc	$A B + A D = A C$
Hình hộp	Ba cạnh chung gốc	$A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$

3 ⚖️ Trung điểm và trọng tâm

Cần nhớ

✦M là trung điểm AB ⇔ $M A + M B = 0$ . Với mọi điểm O: $O A + O B = 2 O M$ .
✦G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ $G A + GB + GC = 0$ . Với mọi điểm O: $O A + O B + O C = 3 O G$ .
✦G là trọng tâm tứ diện ABCD (trung điểm đoạn nối trung điểm hai cạnh đối) ⇔ $G A + GB + GC + G D = 0$ . Với mọi O: $O A + O B + O C + O D = 4 O G$ .
✦Hệ số bằng số điểm: 2 điểm thì 2, 3 điểm thì 3, 4 điểm thì 4.

Dạng bài

Chứng minh đẳng thức với trung điểm, trọng tâm

1 Viết vectơ cần chứng minh bằng hai đường đi khác nhau qua trung điểm (quy tắc ba điểm).
2 Cộng hoặc trừ hai đường đi để các cặp $M A + M B$ , $N C + N D$ xuất hiện và triệt tiêu.
3 Rút ra đẳng thức.
4 Thử lại bằng toạ độ của một tứ diện cụ thể.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $O A + O B + O C + O D = 3 O G$ cho tứ diện là sai: có 4 điểm nên hệ số là 4. Thử O trùng G: vế trái $0$ , vế phải $4 O G = 0$ , cả hai hệ số đều khớp, nên phải thử O khác G mới bắt được lỗi.

⚖️

Làm mẫu

Cho tứ diện ABCD, M và N là trung điểm AB và CD. Chứng minh $A C + B D = 2 M N$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 📐 Tích vô hướng và góc

Cần nhớ

✦ $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos (u, v)$ . Kết quả là một số, không phải vectơ.
✦ $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ . Tính chất phân phối: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .
✦Góc giữa hai vectơ chỉ lấy khi chúng chung gốc. $A B$ và $B C$ nối đuôi: phải dời $B C$ về gốc A, hoặc dùng $A B \cdot B C = - B A \cdot B C$ .
✦ $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ .

Dạng bài

Tính tích vô hướng trên hình

1 Đưa hai vectơ về chung gốc và có độ dài, góc đã biết (60°, 90°…).
2 Vectơ nào chưa chung gốc thì phân tích qua các cạnh cùng gốc, rồi dùng tính chất phân phối.
3 Thay độ dài và cos của góc vào.
4 Thử lại bằng số: chọn cạnh bằng 2 rồi tính lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: $A B \cdot B C$ trong tam giác đều không bằng $\frac{a ^{2}}{2}$ : góc giữa hai vectơ nối đuôi là 120°, nên kết quả là $- \frac{a ^{2}}{2}$ .

📐

Làm mẫu

Tứ diện đều ABCD có cạnh a. Chứng minh $A B ⊥ C D$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tứ diện đều cạnh a: tích vô hướng các cặp cạnh

Cặp vectơ	Góc	Tích vô hướng
$A B, A C$ (chung gốc)	60°	$\frac{a ^{2}}{2}$
$A B, B C$ (nối đuôi)	120°	$- \frac{a ^{2}}{2}$
$A B, C D$ (cạnh đối)	90°	0
$A B, B A$	180°	$- a^{2}$

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Bài vectơ hình học khó chọn đáp án: đặt toạ độ cho lập phương đơn vị (hoặc tứ diện OABC vuông), tính từng thành phần cho đáp án nghi ngờ.
✦Cộng nhiều vectơ trên hình hộp: đổi mỗi vectơ về một trong ba cạnh $A B, A D, A A^{'}$ (nhớ dấu), rồi cộng hệ số.
✦Tứ diện đều: cạnh đối vuông góc, hai cạnh chung gốc cho tích vô hướng $\frac{a ^{2}}{2}$ , hai cạnh nối đuôi cho $- \frac{a ^{2}}{2}$ .
✦Thấy "trọng tâm" hay "trung điểm" thì đổi thẳng sang hệ thức $O A + O B + \dots = k O G$ (k = số điểm).

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng ba vectơ trong không gian luôn đồng phẳng. Phản ví dụ: $A B, A D, A A^{'}$ của hình hộp.
✦Nghĩ $A B + B C + C A \neq = 0$ khi A, B, C không thẳng hàng. Đúng: luôn bằng $0$ .
✦Tưởng hai vectơ bằng nhau phải chung gốc. Phản ví dụ: $A A^{'} = C C^{'}$ .
✦Cộng $A B + A D$ rồi dừng, quên $A A^{'}$ : được $A C$ chứ không phải $A C^{'}$ .
✦Lấy góc của hai vectơ nối đuôi như góc của hình: $A B \cdot B C$ trong tam giác đều có góc 120°, kết quả âm.
✦Quên $cos$ khi tính tích vô hướng: $A B \cdot A C = a^{2}$ là sai, đúng là $\frac{a ^{2}}{2}$ .

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): đặt toạ độ cho hình cụ thể rồi cho máy cộng vectơ, tính tích vô hướng, độ dài để thử lại đáp án.
✦Thử lại đẳng thức: chọn tứ diện hoặc hình hộp có toạ độ cụ thể, tính hai vế và so sánh.
✦Bài tự luận vẫn phải trình bày bằng quy tắc, máy chỉ để kiểm.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Phép toán vectơ cơ bản

1
Nhận biết
Với ba điểm A, B, C bất kì, $A B + B C$ bằng
2
Thông hiểu
Với ba điểm A, B, C bất kì, $A B + B C + C A$ bằng
3
Thông hiểu
Với ba điểm M, N, P, hiệu $M N - M P$ bằng
4
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Vectơ nào bằng $A A^{'}$ ?
5
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Ba vectơ $A B$ , $A D$ , $A A^{'}$

📦

Quy tắc hình hộp

1
Nhận biết
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tổng $A B + A D + A A^{'}$ bằng
2
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tổng $A B + B C + C C^{'}$ bằng
3
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Hiệu $A C^{'} - A D$ bằng vectơ nào sau đây?
4
Vận dụng Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , M là trung điểm CC′. Biết $A M = x A B + y A D + z A A^{'}$ . Tính x + y + z. Đáp số:
5
Vận dụng
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có tâm O (giao các đường chéo). Vectơ $A O$ bằng

⚖️

Trung điểm, trọng tâm

1
Nhận biết
M là trung điểm AB, O là điểm bất kì. Khi đó $O A + O B$ bằng
2
Thông hiểu
G là trọng tâm tam giác ABC, O là điểm bất kì. Khi đó $O A + O B + O C$ bằng
3
Thông hiểu G là trọng tâm tứ diện ABCD, O là điểm bất kì. Biết $O A + O B + O C + O D = k O G$ . Đáp số: k =
4
Vận dụng
Cho tứ diện ABCD, M và N là trung điểm AB và CD. Vectơ $A C + B D$ bằng
5
Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Vectơ $G A + GB + GC$ bằng

📐

Tích vô hướng

1
Nhận biết
Tích vô hướng $u \cdot v$ bằng
2
Thông hiểu Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Tính $A B \cdot A C$ . Đáp số:
3
Thông hiểu
Hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh a. Tích vô hướng $A B \cdot A C^{'}$ bằng
4
Vận dụng
Tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tích vô hướng $A B \cdot B C$ bằng
5
Thông hiểu Tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai vectơ $A B$ và $C D$ bằng bao nhiêu độ? Đáp số:

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Vectơ $B D^{'}$ bằng
2
Vận dụng
Cho tứ diện ABCD, M và N là trung điểm AB và CD, G là trung điểm MN. Với điểm P bất kì, $P A + P B + P C + P D$ bằng
3
Vận dụng
Tứ diện đều ABCD có cạnh a, M là trung điểm CD. Tích vô hướng $A B \cdot A M$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

a) $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .

b)Ba vectơ $A B$ , $A D$ , $A A^{'}$ đồng phẳng.

c) $A B + B C + C C^{'} = A D^{'}$ .

d) $B D^{'} + A B = A D + A A^{'}$ .
2
Vận dụng
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.

a) $A B \cdot A C = \frac{a ^{2}}{2}$ .

b) $A B \cdot B C = \frac{a ^{2}}{2}$ .

c) $A B \cdot C D = 0$ .

d)Độ dài $M N = \frac{a}{2}$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng 2. Tính $A C^{'} \cdot A B$ . Đáp số:
2
Vận dụng Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , N là trung điểm CD′. Biết $A N = x A B + y A D + z A A^{'}$ . Tính x + y + z. Đáp số:
3
Vận dụng Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2; M và N là trung điểm AB và CD. Tính độ dài MN, làm tròn đến hàng phần mười. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu rút gọn tổng vectơ trên hình hộp, hình chóp (quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp) hoặc câu về trung điểm, trọng tâm.
•Phần II hay có một đề dẫn về hình hộp hoặc tứ diện đều, mỗi ý hỏi một đẳng thức vectơ hoặc một tích vô hướng. Ý dễ mất điểm là dấu (góc 120° của hai vectơ nối đuôi).
•Phần III có thể hỏi độ dài một đoạn qua vectơ hoặc hệ số khi phân tích một vectơ theo ba cạnh cùng gốc.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hệ trục toạ độ trong không gian