Chủ đề 7 · Học kỳ 1

Hệ trục toạ độ trong không gian

Xác định toạ độ điểm, hình chiếu của điểm lên mặt phẳng và trục toạ độ; tính toạ độ vectơ, độ dài, trung điểm, trọng tâm; gắn hệ trục vào hình hộp chữ nhật, hình chóp có SA vuông góc với đáy để viết toạ độ các đỉnh.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 7

⚡ Nhớ nhanh

1Hệ trục Oxyz có ba trục đôi một vuông góc, ba vectơ đơn vị $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ .
2 $M (x; y; z) ⟺ O M = x i + y j + z k$ . Hình chiếu của M lên trục chỉ giữ một toạ độ, lên mặt phẳng toạ độ giữ hai toạ độ.
3Ngọn trừ gốc: $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ . Độ dài $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
4Trung điểm là trung bình cộng hai điểm; trọng tâm là trung bình cộng ba điểm.
5Gắn hệ trục: đặt gốc ở chỗ có ba đoạn đôi một vuông góc (đỉnh hộp chữ nhật, chân đường cao SA…).
6Thói quen chống sai: sau khi gắn trục, tính thử một đoạn (đường chéo) và so với hình học.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi từng toạ độ của M bằng ±: ba đoạn màu là ba bước đi dọc Ox, Oy, Oz. Chọn chiếu lên một mặt hay một trục để xem toạ độ nào giữ lại, toạ độ nào thành 0. Kéo trên hình để xoay.

Kéo trên hình để xoay.

Toạ độ điểm M (bấm để chọn, rồi ±):

Đi từ O: 2 theo Ox, 3 theo Oy, 2 theo Oz ⇒ M(2; 3; 2).

Hình chiếu lên Mặt (Oxy): giữ x, y, cho z = 0 ⇒ H(2; 3; 0).

Bẫy: chiếu lên mặt thì chỉ xoá một toạ độ (toạ độ của trục vuông góc với mặt); chiếu lên trục thì giữ đúng một toạ độ. Khoảng cách từ M đến mặt (Oxy) là |z| = 2.

1 🧊 Toạ độ điểm và hình chiếu

Cần nhớ

✦Điểm trên trục: Ox có dạng $(a; 0; 0)$ , Oy có dạng $(0; b; 0)$ , Oz có dạng $(0; 0; c)$ .
✦Điểm trên mặt phẳng toạ độ: (Oxy) có z = 0, (Oyz) có x = 0, (Oxz) có y = 0. Mẹo nhớ: mặt phẳng thiếu tên trục nào thì toạ độ theo trục đó bằng 0.
✦Hình vẽ chỉ là hình chiếu song song: trông Ox và Oy "chếch" nhưng thực tế ba trục vẫn đôi một vuông góc. Đừng đo góc trên hình.

Hình chiếu của M(a; b; c)

Lên	Toạ độ hình chiếu	Giữ lại
Trục Ox	(a; 0; 0)	chỉ a
Trục Oy	(0; b; 0)	chỉ b
Trục Oz	(0; 0; c)	chỉ c
Mặt phẳng (Oxy)	(a; b; 0)	a và b
Mặt phẳng (Oyz)	(0; b; c)	b và c
Mặt phẳng (Oxz)	(a; 0; c)	a và c

Dạng bài

Tìm hình chiếu của một điểm

1 Xác định hình chiếu lên trục hay lên mặt phẳng toạ độ.
2 Giữ nguyên các toạ độ của trục (hoặc mặt) đó, các toạ độ còn lại cho bằng 0.
3 Thử lại: hình chiếu phải thoả phương trình của mặt (z = 0 cho (Oxy)…) và vectơ từ M tới hình chiếu phải vuông góc với mặt đó.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hình chiếu lên trục Oy là (0; −2; 0) chứ không phải (3; −2; 0). Hai toạ độ còn lại phải bằng 0.

🧊

Làm mẫu

Cho M(3; −2; 4). Tìm hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oxy), lên trục Oy, và độ dài đoạn nối hai hình chiếu đó.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📏 Toạ độ vectơ và độ dài

Cần nhớ

✦ $A B$ là ngọn trừ gốc. Ví dụ: A(1; 2; 3), B(4; 6; 3) ⇒ $A B = (3; 4; 0)$ .
✦ $u = (a; b; c)$ có độ dài $∣ u ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Ví dụ: $∣ (3; 4; 0) ∣ = 9 + 16 = 5$ .
✦ $O M$ có cùng toạ độ với điểm M. Hai vectơ bằng nhau khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau.
✦Điểm N sao cho $A N = u$ có toạ độ $N = A + u$ , cộng từng thành phần.

Dạng bài

Tính toạ độ vectơ, độ dài đoạn thẳng

1 Lấy toạ độ ngọn trừ toạ độ gốc, làm từng thành phần.
2 Bình phương ba thành phần, cộng lại, lấy căn.
3 Rút gọn căn nếu có thể.
4 Thử lại: đổi chiều thành $B A$ thì ba thành phần đổi dấu hết, độ dài giữ nguyên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $A B = (x_{A} - x_{B}; \dots)$ là được $B A$ , ngược chiều. Ở đây sẽ ra (−2; −4; −4), sai dấu cả ba thành phần.

📏

Làm mẫu

Cho A(1; −2; 3) và B(3; 2; 7). Tính $A B$ và độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ⚖️ Trung điểm, trọng tâm, đỉnh thứ tư

Cần nhớ

✦Trung điểm I của AB: $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ . Ngược lại B = 2I − A.
✦Trọng tâm G của tam giác ABC: $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ , và tương tự cho $y_{G}$ , $z_{G}$ .
✦ABCD là hình bình hành ⇔ $A B = D C$ ⇔ $D = A + C - B$ . Hai đường chéo AC và BD có chung trung điểm.

Dạng bài

Tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành

1 Viết đúng thứ tự: ABCD là hình bình hành thì $A B = D C$ (đỉnh liên tiếp, hai cạnh đối).
2 Lập hệ: $x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D}$ và hai phương trình tương tự, hoặc dùng D = A + C − B.
3 Thử lại: $A B$ và $D C$ phải bằng nhau, hoặc trung điểm AC trùng trung điểm BD.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng $A B = C D$ cho "ABCD là hình bình hành" là sai chiều: ra D = C + $A B$ = (6; 4; −1), nhưng khi đó $D C = (- 2; - 1; 1)$ khác $A B = (2; 1; - 1)$ . Điểm (6; 4; −1) = B + C − A là đỉnh của hình bình hành ABDC, thứ tự khác.

⚖️

Làm mẫu

Cho A(1; 0; 2), B(3; 1; 1), C(4; 3; 0). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧱 Gắn hệ trục vào hình

Cần nhớ

✦Gốc phải đặt ở chỗ có ba đoạn đôi một vuông góc. Đặt bừa thì ba trục không vuông góc và mọi công thức toạ độ mất hiệu lực.
✦Hình hộp chữ nhật: gốc ở một đỉnh, ba trục theo ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó.
✦Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ : gốc ở A, $O x \equiv A B$ , $O y \equiv A D$ , $O z \equiv A S$ .
✦Chỉ có hai vectơ cùng gốc vuông góc thôi thì chưa đủ: phải có ba.

Chọn gốc ở đâu

Hình	Gốc và trục	Toạ độ các đỉnh
Hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ (AB = a, AD = b, AA′ = c)	Gốc A; Ox = AB, Oy = AD, Oz = AA′	B(a; 0; 0), D(0; b; 0), C(a; b; 0), A′(0; 0; c), C′(a; b; c)
Chóp S.ABCD, đáy chữ nhật AB = a, AD = b, SA = h, SA ⊥ đáy	Gốc A; Ox = AB, Oy = AD, Oz = AS	B(a; 0; 0), D(0; b; 0), C(a; b; 0), S(0; 0; h)
Chóp S.ABC, đáy vuông tại B (BA = a, BC = c), SA ⊥ đáy, SA = h	Gốc B; Ox = BA, Oy = BC, Oz // AS	A(a; 0; 0), C(0; c; 0), S(a; 0; h)
Chóp S.ABC, đáy đều cạnh 2, SA ⊥ đáy, SA = h	Gốc M là trung điểm BC; Ox = MC, Oy = MA, Oz // AS	B(−1; 0; 0), C(1; 0; 0), A(0; √3; 0), S(0; √3; h)

Dạng bài

Gắn hệ trục cho hình chóp

1 Tìm ba đoạn đôi một vuông góc có chung một điểm, đặt gốc tại điểm đó.
2 Gán ba trục theo ba đoạn ấy, rồi viết toạ độ các đỉnh nằm trên trục và trong mặt phẳng toạ độ trước.
3 Đỉnh còn lại có toạ độ là hình chiếu của nó lên ba trục (ví dụ C của hình chữ nhật có cả x lẫn y).
4 Thử lại: tính một đường chéo bằng toạ độ và bằng Pytago, hai kết quả phải trùng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Gắn gốc ở tâm đáy cho chóp này là không tiện: ba trục vẫn đặt được song song với AB, AD, AS nhưng toạ độ các đỉnh ra phân số, ví dụ A(−1,5; −2; 0), dễ sai hơn nhiều so với gốc A.

🧱

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, $S A ⊥ (A B C D)$ , SA = 12. Gắn hệ trục và viết toạ độ các đỉnh.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hình chiếu: trục giữ 1 toạ độ, mặt giữ 2 toạ độ, còn lại bằng 0. Không cần vẽ hình.
✦Kiểm trung điểm nhanh: $A I$ phải bằng nửa $A B$ (cộng nhầm dấu khi có toạ độ âm là lỗi thường gặp).
✦Gắn hệ trục: C của hình chữ nhật luôn có cả hai toạ độ (a; b; 0). S nằm trên trục Oz nên chỉ có toạ độ cuối.
✦Đề cho độ dài cạnh bằng số đẹp (3-4-5, 2-3-6-7…) thì kiểm đường chéo bằng căn tổng bình phương để bắt lỗi gắn toạ độ.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết $A B = (x_{A} - x_{B}; \dots)$ . Đúng là ngọn trừ gốc. Phản ví dụ: A(1; 0; 0), B(3; 0; 0) cho $A B = (2; 0; 0)$ chứ không phải (−2; 0; 0).
✦Quên chia 2 (trung điểm) hoặc chia 3 (trọng tâm): trung điểm của A(2; 0; 4) và B(4; 6; 0) là (3; 3; 2) chứ không phải (6; 6; 4).
✦Cho điểm thuộc (Oxy) có z tuỳ ý. Đúng: thuộc (Oxy) thì z = 0.
✦Hình chiếu lên trục mà giữ hai toạ độ: hình chiếu của (3; −2; 4) lên Oy là (0; −2; 0), không phải (3; −2; 0).
✦Gắn hệ trục ở đâu cũng được. Sai: gốc phải có ba đoạn đôi một vuông góc.
✦Đo góc trên hình vẽ để kết luận Ox không vuông góc Oy.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): nhập hai điểm, trừ nhau để có $A B$ , dùng phép lấy độ dài (Abs) để thử lại AB.
✦Trung điểm, trọng tâm: dùng chế độ tính thường, cộng từng toạ độ rồi chia 2 hoặc chia 3 để so với đáp án.
✦Kiểm đỉnh thứ tư hình bình hành: cho máy tính $A B - D C$ , phải ra $0$ .

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧊

Toạ độ điểm và hình chiếu

1
Nhận biết
Điểm nằm trên trục Oy có dạng
2
Thông hiểu
Hình chiếu của M(2; −3; 5) lên mặt phẳng (Oxy) là
3
Thông hiểu
Hình chiếu của M(2; −3; 5) lên trục Oy là
4
Thông hiểu
Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?
5
Vận dụng Cho M(3; −4; 12). Gọi M₁ là hình chiếu của M lên (Oyz), M₂ là hình chiếu của M lên Ox. Tính độ dài M₁M₂. Đáp số:

📏

Toạ độ vectơ và độ dài

1
Nhận biết
Cho A(2; 1; −3) và B(4; −1; 0). Toạ độ $A B$ là
2
Thông hiểu
Độ dài của vectơ $u = (2; - 3; 6)$ bằng
3
Thông hiểu Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 7). Độ dài AB bằng
4
Thông hiểu
Cho A(1; 2; 3) và $A N = (- 1; 2; 4)$ . Toạ độ điểm N là
5
Vận dụng Cho A(1; 2; 3) và B(3; −2; 5). Điểm C(0; 0; c) thoả CA = CB. Đáp số: c =

⚖️

Trung điểm, trọng tâm, hình bình hành

1
Nhận biết
Trung điểm của đoạn thẳng nối A(2; 0; 4) và B(4; 6; 0) có toạ độ
2
Thông hiểu
Trọng tâm G của tam giác ABC với A(1; 2; 3), B(4; −1; 0), C(1; 5; 3) có toạ độ
3
Thông hiểu I(2; 1; 1) là trung điểm của AB với A(−1; 3; 5). Tính tổng ba toạ độ của B. Đáp số:
4
Vận dụng ABCD là hình bình hành với A(1; 0; 2), B(3; 1; 1), C(4; 3; 0). Tính tổng ba toạ độ của D. Đáp số:
5
Vận dụng
Tam giác ABC có A(0; 1; 2), B(3; 3; 1) và trọng tâm G(1; 2; 3). Toạ độ C là

🧱

Gắn hệ trục

1
Nhận biết
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $S A ⊥ (A B C D)$ . Nên đặt gốc toạ độ tại
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2, AD = 5, SA = 6, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gắn A(0; 0; 0), Ox theo AB, Oy theo AD, Oz theo AS. Toạ độ C là
3
Thông hiểu Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 2, AD = 3, AA′ = 6. Đường chéo AC′ dài
4
Vận dụng
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh 3, gắn A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), A′(0; 0; 3). Trọng tâm tam giác A′BD có toạ độ
5
Vận dụng Hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, BA = 1, BC = 2, $S A ⊥ (A B C)$ , SA = 2. Độ dài SC bằng

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Hình chiếu của M(3; −1; 4) lên mặt phẳng (Oyz) và lên trục Oy lần lượt là
2
Vận dụng
ABCD là hình bình hành với A(1; −1; 0), B(2; 1; 3), D(0; −2; −1). Toạ độ C là
3
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, $S A ⊥ (A B C D)$ , SA = 2. Gắn A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), S(0; 0; 2). Trung điểm M của SC có toạ độ

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, $S A ⊥ (A B C D)$ , SA = 12. Gắn hệ trục có A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 4; 0), S(0; 0; 12).

a)Toạ độ điểm C là (3; 4; 0).

b) $S C = (3; 4; 12)$ .

c)Trung điểm của SC có toạ độ (3; 4; 6).

d)SC = 13.
2
Vận dụng
Cho tam giác ABC có A(1; 2; 3), B(4; −1; 0), C(1; 5; 3).

a) $A B = (3; - 3; - 3)$ .

b)Trọng tâm tam giác ABC là G(2; 2; 2).

c)AB = BC.

d)Hình bình hành ABCD có D(4; 2; 0).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Điểm M có hình chiếu lên mặt phẳng (Oxy) là A(2; −3; 0) và hình chiếu lên trục Oz là B(0; 0; 6). Tính độ dài OM. Đáp số:
2
Vận dụng Cho A(0; −4; 2) và B(4; 0; 0), I là trung điểm AB. Tính độ dài OI. Đáp số:
3
Vận dụng Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh 6, gắn A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 6; 0), A′(0; 0; 6). Tính tổng ba toạ độ của trọng tâm tam giác B′CD′. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính toạ độ vectơ, trung điểm, trọng tâm hoặc hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, trục toạ độ.
•Phần II hay có đề dẫn về hình chóp hoặc hình hộp đã gắn hệ trục: cho toạ độ vài đỉnh rồi mỗi ý hỏi toạ độ một điểm, một vectơ hoặc một độ dài.
•Phần III có thể hỏi độ dài một đoạn, tổng toạ độ của đỉnh thứ tư hình bình hành hoặc toạ độ trọng tâm. Dễ sai ở dấu khi có toạ độ âm.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ