Chủ đề 16 · Học kỳ 2

Công thức tính góc trong không gian

Tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng bằng toạ độ vectơ; nhớ đúng chỗ dùng côsin, chỗ dùng sin; đọc điều kiện vuông góc, song song từ tích vô hướng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 16

⚡ Nhớ nhanh

1Cả ba góc đều thuộc đoạn $[0°; 90°]$ , vì tử số luôn có trị tuyệt đối. Ra giá trị âm là đã quên.
2Hai đường thẳng (hai chỉ phương) và hai mặt phẳng (hai pháp tuyến): dùng côsin. Đường thẳng và mặt phẳng (chỉ phương và pháp tuyến): dùng sin.
3Quy tắc nhớ: cùng loại thì côsin, khác loại thì sin. Lý do: pháp tuyến vuông góc mặt phẳng nên góc giữa u và n là góc phụ của góc cần tìm.
4u · n = 0 ⇒ đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng (góc 0°). u cùng phương n ⇒ đường vuông góc mặt phẳng (góc 90°).
5Làm tròn đến độ: tính giá trị sin hoặc côsin rồi bấm hàm ngược trên máy (đặt đơn vị độ), không làm tròn giá trị trước.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi toạ độ chỉ phương u và pháp tuyến n bằng ±: góc φ giữa đường thẳng và mặt phẳng cộng góc với pháp tuyến luôn bằng 90°, nên góc đường – mặt dùng sin. Kéo trên hình để xoay.

Kéo trên hình để xoay.

|u·n| = 2, |u| = √9, |n| = √1

sin φ = |u·n| / (|u|·|n|) = 2/3 ⇒ φ ≈ 41,8°

Góc giữa Δ và pháp tuyến n: ψ ≈ 48,2° — cộng với φ đúng 90°.

Khác loại (đường – mặt) dùng sin; cùng loại (đường – đường, mặt – mặt) dùng cos. Bẫy: dùng cos ở đây sẽ ra ψ = 48,2°, góc phụ.

1 🧭 Ba công thức: côsin hay sin?

Ba loại góc: một bảng là đủ

Góc giữa	Dùng vectơ	Hàm
Hai đường thẳng d₁, d₂	$u_{1}$ , $u_{2}$ (hai chỉ phương)	côsin
Hai mặt phẳng (P), (Q)	$n_{P}$ , $n_{Q}$ (hai pháp tuyến)	côsin
Đường thẳng d và mặt phẳng (P)	$u_{d}$ và $n_{P}$	sin
Mọi trường hợp	Tử có trị tuyệt đối	Góc thuộc [0°; 90°]

Cần nhớ

✦ $cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ ∣ u _{2} ∣}$ và $cos ((P), (Q)) = \frac{∣ n _{P} \cdot n _{Q} ∣}{∣ n _{P} ∣ ∣ n _{Q} ∣}$ .
✦ $sin (d, (P)) = \frac{∣ u _{d} \cdot n _{P} ∣}{∣ u _{d} ∣ ∣ n _{P} ∣}$ . Dùng sin vì $cos (u, n) = cos (90° - φ) = sin φ$ .
✦Tích vô hướng: $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$ . Độ dài: $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ .
✦Dùng côsin cho đường–mặt thì ra đúng góc phụ của đáp số: sai mà nhìn vẫn hợp lý, cho nên phải nhớ lý do chứ đừng học vẹt.
✦Ra cos âm (ví dụ −12) không phải góc 120°: trị tuyệt đối ở tử đã loại trường hợp đó, góc đúng là 60°.

🟦 Cùng loại

Đường–đường dùng hai chỉ phương; mặt–mặt dùng hai pháp tuyến. Hai vectơ cùng loại thì giữ côsin.

🟧 Khác loại

Đường–mặt dùng một chỉ phương và một pháp tuyến: hai loại vectơ khác nhau nên đổi sang sin, vì hai góc phụ nhau.

2 ↗️ Góc giữa hai đường thẳng

Cần nhớ

✦Góc giữa d₁ và d₂ chỉ phụ thuộc hướng của chúng, không phụ thuộc điểm đi qua. Hai đường chéo nhau vẫn có góc.
✦d₁ ⊥ d₂ ⇔ u₁ · u₂ = 0. Ví dụ: u₁ = (1; 2; 2), u₂ = (2; 1; −2) có 2 + 2 − 4 = 0 nên vuông góc.
✦Hai chỉ phương cho cos(u₁, u₂) âm thì góc giữa hai đường vẫn lấy giá trị dương: cos = |…|. Ví dụ: u₁ = (1; 0; 0), u₂ = (−1; 1; 0) cho tích −1, nhưng góc giữa hai đường là 45°, không phải 135°.

Dạng bài

Tính góc giữa hai đường thẳng

1 Đọc hai chỉ phương u₁, u₂ (từ tham số hoặc chính tắc).
2 Tính tử |u₁ · u₂| và hai độ dài.
3 Chia ra cos φ rồi suy ra φ ∈ [0°; 90°].
4 Thử lại: φ thuộc [0°; 90°], cos φ không âm, và u₁ · u₂ = 0 chỉ khi φ = 90°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy góc giữa hai vectơ thay cho góc giữa hai đường thì có thể ra góc tù. Ví dụ u₁ = (1; 0; 0), u₂ = (−1; 1; 0): góc hai vectơ là 135° nhưng góc hai đường là 45°.

↗️

Làm mẫu

Tính góc giữa d₁ có chỉ phương u₁ = (1; 1; 0) và d₂ có chỉ phương u₂ = (0; 1; 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📐 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cần nhớ

✦Góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu của nó lên (P). Trong toạ độ: sin φ = |u · n|/(|u|·|n|).
✦u · n = 0 ⇒ sin φ = 0 ⇒ φ = 0°: d song song hoặc nằm trong (P).
✦u cùng phương n ⇒ sin φ = 1 ⇒ φ = 90°: d vuông góc (P).
✦Dùng côsin thì được cos φ = 0, tức 90°: kết luận ngược hẳn. Cùng một phép tính, hai kết luận trái nhau.

Dạng bài

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1 Đọc chỉ phương u của d và pháp tuyến n của (P).
2 Tính sin φ = |u · n|/(|u|·|n|).
3 Bấm hàm arcsin (đơn vị độ) rồi làm tròn đề yêu cầu.
4 Thử lại: cos(u, n) = sin φ, nên góc (u, n) bằng 90° − φ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng côsin cho ra arccos(89) ≈ 27°, chính là góc phụ. Đáp số 27° và 63° cùng xuất hiện trong phương án, bấm sai hàm là rơi vào bẫy.

📐

Làm mẫu

Tính góc giữa d có chỉ phương u = (2; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z − 5 = 0 (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Đọc ý nghĩa của kết quả (hai trường hợp đặc biệt)

1 Tính u · n trước, vì nó cho biết ngay hai trường hợp đặc biệt.
2 u · n = 0 ⇒ góc 0°. |u · n| = |u||n| (u ∥ n) ⇒ góc 90°.
3 Còn lại: tính sin rồi arcsin.

⚠️ Bẫy hay gặp: u · n = 0 không có nghĩa d vuông góc (P). Vuông góc là khi u cùng phương n.

🔍

Làm mẫu

Tính góc giữa d có chỉ phương u = (1; 1; 0) và mặt phẳng (P): z = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 📖 Góc giữa hai mặt phẳng

Cần nhớ

✦Góc giữa (P) và (Q) là góc không tù giữa hai pháp tuyến: cos φ = |n₁ · n₂|/(|n₁|·|n₂|).
✦(P) ⊥ (Q) ⇔ n₁ · n₂ = 0. (P) ∥ (Q) hoặc trùng ⇔ n₁ cùng phương n₂, khi đó góc 0°.
✦Hai mặt phẳng cắt nhau tạo bốn góc nhị diện từng đôi bù nhau; quy ước lấy góc không tù, nên φ ≤ 90°.
✦Mặt phẳng toạ độ (Oxy): z = 0 có pháp tuyến (0; 0; 1); (Oyz): x = 0 có (1; 0; 0); (Oxz): y = 0 có (0; 1; 0).

Dạng bài

Tính góc giữa hai mặt phẳng

1 Đọc hai pháp tuyến n₁, n₂ từ ba hệ số đầu.
2 Tính |n₁ · n₂|, |n₁|, |n₂| rồi cos φ.
3 Bấm arccos (đơn vị độ).
4 Thử lại: cos φ ≥ 0 và φ thuộc [0°; 90°].

⚠️ Bẫy hay gặp: Nếu pháp tuyến chọn ngược dấu, ví dụ n₂ = (0; 0; −1), tích vô hướng là −2 và cos = −23. Không kết luận góc tù 131°: tử có trị tuyệt đối nên góc vẫn là 48°.

📖

Làm mẫu

Tính góc giữa (P): x + 2y + 2z − 1 = 0 và mặt phẳng toạ độ (Oxy) (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Tính tích vô hướng u · n trước: bằng 0 thì xong ngay (đường–mặt: 0°; đường–đường hoặc mặt–mặt: 90°).
✦Chỉ phương và pháp tuyến tỉ lệ thì góc đường–mặt là 90°; hai pháp tuyến tỉ lệ thì góc mặt–mặt là 0°. Không cần tính độ dài.
✦Đề cho phương án là cặp góc phụ (27° và 63°): đừng chọn theo cảm giác, hãy nhớ đường–mặt = sin.
✦Các giá trị quen: cos φ = 12 ⇒ 60°; 1/√2 ⇒ 45°; √32 ⇒ 30°; 0 ⇒ 90°.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Dùng côsin cho đường–mặt, ra góc phụ. Phản ví dụ: u = (1; 1; 0), (P): z = 0 cho sin φ = 0, tức 0°; côsin cho 90°.
✦Quên trị tuyệt đối ở tử, ra cos âm rồi kết luận góc tù. Góc ở đây luôn thuộc [0°; 90°].
✦Hiểu u · n = 0 là "d vuông góc (P)". Đúng: d song song hoặc nằm trong (P). Vuông góc là u cùng phương n.
✦Lấy chỉ phương làm pháp tuyến hoặc ngược lại, nhất là đề cho d bằng tham số và (P) bằng phương trình tổng quát.
✦Làm tròn giá trị sin trước khi bấm hàm ngược: làm tròn 89 thành 0,9 thì arcsin cho 64,2° thay vì 62,7°, lệch tới 1,5°. Giữ nguyên phân số 89 rồi mới bấm.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): tích vô hướng và độ dài của hai vectơ, rồi tính tỉ số.
✦Đặt chế độ góc là độ (DEG) trước khi bấm hàm sin⁻¹, cos⁻¹; để nhầm radian thì ra số rất nhỏ.
✦Thử lại bằng cách bấm ngược: bấm sin của đáp số tìm được, so với tỉ số vừa tính.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Chọn côsin hay sin

1
Nhận biết
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng
2
Nhận biết
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn thuộc đoạn
3
Nhận biết
Nếu chỉ phương u của đường thẳng d và pháp tuyến n của mặt phẳng (P) thoả u · n = 0 thì
4
Thông hiểu
Đường thẳng d có chỉ phương u = (1; −2; 3) và mặt phẳng (P) có pháp tuyến n = (2; −4; 6). Góc giữa d và (P) bằng

↗️

Góc giữa hai đường thẳng

1
Thông hiểu Hai đường thẳng có chỉ phương u₁ = (1; 1; 0) và u₂ = (1; 0; 0) tạo góc độ.
2
Thông hiểu
Hai đường thẳng có chỉ phương u₁ = (1; 1; 0) và u₂ = (0; 1; 1) tạo góc
3
Thông hiểu
Hai đường thẳng có chỉ phương u₁ = (1; 0; 0) và u₂ = (−1; 1; 0). Góc giữa hai đường thẳng là
4
Thông hiểu
Đường thẳng d₁ có chỉ phương (1; m; 2) vuông góc với d₂ có chỉ phương (2; −1; 1) khi m bằng
5
Vận dụng Hai đường thẳng có chỉ phương u₁ = (2; −1; 2) và u₂ = (0; 0; 1). Số đo góc giữa chúng, làm tròn đến độ, là độ.

📐

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1
Thông hiểu
Góc giữa đường thẳng có chỉ phương u = (1; 1; 0) và mặt phẳng z = 0 bằng
2
Thông hiểu Đường thẳng có chỉ phương u = (2; 2; 1) và mặt phẳng z = 0 tạo góc, làm tròn đến độ, bằng độ.
3
Thông hiểu
Đường thẳng d có chỉ phương (1; 1; 1) và mặt phẳng x + y + z = 0. Góc giữa d và mặt phẳng bằng
4
Vận dụng
Góc giữa đường thẳng có chỉ phương u = (2; 1; 2) và mặt phẳng x + 2y + 2z − 5 = 0, làm tròn đến độ, là
5
Vận dụng
Cho A(1; 1; 1), B(2; 3; 3). Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy), làm tròn đến độ, là
6
Vận dụng Đường thẳng có chỉ phương u = (m; 1; 2) tạo với mặt phẳng có pháp tuyến n = (1; −2; 3) góc 0° khi m =

📖

Góc giữa hai mặt phẳng

1
Thông hiểu
Góc giữa hai mặt phẳng x + y + z = 0 và x − y = 0 bằng
2
Thông hiểu Góc giữa hai mặt phẳng x + y − 1 = 0 và y + z + 2 = 0 bằng độ.
3
Vận dụng
Góc giữa hai mặt phẳng x + 2y + 2z − 1 = 0 và z = 0, làm tròn đến độ, là
4
Vận dụng Hai mặt phẳng x + my − 3 = 0 (m > 0) và x − 5 = 0 tạo góc 45°. Khi đó m = .
5
Vận dụng
Góc giữa mặt phẳng x + y + z − 3 = 0 và mặt phẳng (Oxy), làm tròn đến độ, là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Góc giữa hai đường thẳng d₁: {x = 1 + ty = 2z = 3 − t và d₂: {x = 3 + sy = sz = 1 bằng
2
Vận dụng
Góc giữa đường thẳng có chỉ phương u = (1; −2; 2) và mặt phẳng 2x + y + 2z − 1 = 0, làm tròn đến độ, là
3
Vận dụng
Góc giữa hai mặt phẳng 2x − y + 2z − 3 = 0 và x + 2y − 2z + 1 = 0, làm tròn đến độ, là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho đường thẳng d: {x = ty = 1 + 2tz = 2 − 2t và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z − 3 = 0.

a)Một vectơ chỉ phương của d là u = (1; 2; −2).

b)Tích vô hướng của u và pháp tuyến n của (P) bằng 0.

c)Góc giữa d và (P) bằng 90°.

d)d nằm trong (P).
2
Vận dụng
Cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z − 1 = 0 và mặt phẳng (Q): z = 0 (mặt phẳng Oxy).

a)Vectơ pháp tuyến n_P = (1; 2; 2) có độ dài bằng 3.

b)cos của góc giữa (P) và (Q) bằng 13.

c)Góc giữa (P) và (Q), làm tròn đến độ, bằng 48°.

d)Góc giữa đường thẳng Oz và mặt phẳng (P), làm tròn đến độ, cũng bằng 48°.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hai đường thẳng có chỉ phương u₁ = (1; −1; 0) và u₂ = (−1; 0; −1). Số đo góc giữa chúng là bao nhiêu độ? Đáp số:
2
Vận dụng Đường thẳng có chỉ phương u = (1; 2; 2) và mặt phẳng 3x + 4y − 5 = 0. Số đo góc giữa chúng, làm tròn đến độ, là bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Hai mặt phẳng x − 2y + 2z − 1 = 0 và 3y − 4z + 2 = 0. Số đo góc giữa chúng, làm tròn đến độ, là bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng hoặc giữa hai mặt phẳng từ toạ độ; phương án nhiễu hay là góc phụ hoặc góc tù.
•Phần II hay có một câu đúng/sai về đường thẳng và mặt phẳng cho sẵn: chỉ phương, tích vô hướng, song song hay nằm trong, góc. Ý dễ mất điểm là nhầm sin với côsin hoặc nhầm 0° với 90°.
•Phần III có thể hỏi số đo góc làm tròn đến độ: giữ nguyên phân số trong máy, bấm hàm ngược ở chế độ độ.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương trình mặt cầu