Chủ đề 5 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn

Lập hàm một biến từ bài toán thực tế (rào vườn, gấp hộp, lợi nhuận, chuyển động), tìm điều kiện của biến rồi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và trả lời đúng thứ đề hỏi.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 5

⚡ Nhớ nhanh

1Bốn bước: chọn biến · lập hàm một biến · tìm điều kiện của biến · tối ưu rồi trả lời đúng thứ đề hỏi.
2Điều kiện của biến lấy từ ý nghĩa: độ dài > 0, số đếm là số nguyên không âm. Bỏ bước này thì nghiệm toán học vẫn ra mà đáp số vô nghĩa.
3Chỉ có một điểm tới hạn trong khoảng và y′ đổi dấu tại đó thì nó là điểm tối ưu. Biến bị chặn trên đoạn thì vẫn phải so với hai đầu mút.
4Kinh tế: chi phí biên là C′(x), lợi nhuận P = R − C đạt lớn nhất khi R′ = C′. Chuyển động: v = s′, a = v′ = s″.
5Biến phải nguyên thì tìm điểm tối ưu của hàm liên tục rồi so hai số nguyên kề bên.
6Thói quen chống sai: thử lại bằng hai giá trị hai bên đáp số, và đọc lại xem đề hỏi x hay giá trị hàm.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo x (cạnh hình vuông cắt ở góc) trên đồ thị phía dưới: tấm bìa bị cắt, hộp gấp lại, điểm V(x) chạy theo. V tăng rồi giảm, lớn nhất ở x = a/6.

Kéo ngang trên đồ thị (nửa dưới) để đổi x.

x = 1 cm

V = x·(a − 2x)² = 1·10² = 100 cm³

1. Chọn biến: x là cạnh hình vuông cắt ở góc. Điều kiện 0 < x < 6 (cắt quá a/2 thì không còn đáy).

2. Lập hàm: V(x) = x(12 − 2x)².

3. Đạo hàm: V′(x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại, ngoài điều kiện).

Kết luận: V lớn nhất = 128 cm³ khi x = a/6 = 2 cm.

x nhỏ quá: đáy rộng nhưng hộp nông. Tăng x thì V còn tăng.

1 🪜 Bốn bước giải bài tối ưu

Cần nhớ

✦Chọn biến cho đại lượng thay đổi, đưa mọi thứ về một biến. Ví dụ: rào vườn dựa tường với 80 m lưới, gọi x là cạnh vuông góc với tường thì cạnh song song dài 80 − 2x.
✦Điều kiện của biến: mọi độ dài phải dương. Ví dụ trên: x > 0 và 80 − 2x > 0 ⇒ 0 < x < 40.
✦Một điểm tới hạn trong khoảng, y′ đổi dấu + → − ⇒ đó là GTLN. Ví dụ: S(x) = x(80 − 2x) có S′ = 80 − 4x đổi dấu tại x = 20.
✦Hai số dương có tổng cố định thì tích lớn nhất khi hai số bằng nhau. Ví dụ: x + y = 20 ⇒ xy ≤ 100, dấu bằng khi x = y = 10.

Dạng bài

Giải bài tối ưu hình học bằng bốn bước

1 Gọi biến x, biểu diễn các đại lượng còn lại theo x.
2 Lập hàm cần tối ưu và ghi điều kiện của x.
3 Tính đạo hàm, giải f′ = 0, đối chiếu điều kiện, lập bảng biến thiên.
4 Trả lời đúng thứ đề hỏi (x, giá trị lớn nhất, hay kích thước) và thử lại hai bên đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn ba cạnh bằng nhau x = 803 ≈ 26,7 m rồi cho là tối ưu thì S ≈ 711 m² < 800 m². Có bờ tường miễn phí thì cạnh dọc tường phải dài gấp đôi cạnh kia, không phải hình vuông.

🪜

Làm mẫu

Rào một mảnh vườn chữ nhật dựa vào bờ tường (không rào cạnh sát tường) bằng 80 m lưới. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📦 Bài hình học: hộp, bể, hình trụ

Cần nhớ

✦Gấp hộp không nắp từ bìa vuông cạnh a, cắt bốn góc cạnh x: V(x) = x(a − 2x)², điều kiện 0 < x < a/2. Ví dụ: a = 12 ⇒ 0 < x < 6.
✦Hai thái cực đều tệ: x → 0 hộp quá nông, x → a/2 hộp quá hẹp. V = 0 ở hai đầu nên điểm tốt nhất nằm ở giữa.
✦Thể tích cho trước, hỏi vật liệu ít nhất: rút một biến từ thể tích rồi mới lập diện tích. Ví dụ: đáy vuông cạnh a, cao h, a²h = V ⇒ h = V/a².

Hộp trụ có thể tích V cho trước, ít vật liệu nhất

Loại	Diện tích vật liệu	Kết quả
Không nắp	S = πr² + 2πrh	h = r
Có nắp	S = 2πr² + 2πrh	h = 2r

Dạng bài

Gấp hộp từ tấm bìa, thể tích lớn nhất

1 Gọi x là cạnh góc cắt; đáy là hình vuông cạnh a − 2x, cao x.
2 V(x) = x(a − 2x)², điều kiện 0 < x < a/2.
3 V′ = (a − 2x)(a − 6x). Giải V′ = 0, loại nghiệm x = a/2 (ngoài khoảng).
4 Thử lại hai giá trị hai bên đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhận x = 6 vì V′(6) = 0 là sai: khi đó đáy 12 − 2·6 = 0 và V(6) = 0, không còn hộp nào. Phải loại nghiệm không thuộc 0 < x < 6.

📦

Làm mẫu

Từ tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh x rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Thể tích cố định, vật liệu ít nhất

1 Rút chiều cao từ thể tích: h = V/(diện tích đáy).
2 Lập diện tích vật liệu S theo một biến, ghi điều kiện (độ dài > 0).
3 Giải S′ = 0, lập bảng biến thiên, chọn điểm S nhỏ nhất.
4 Tính các kích thước còn lại và thử lại hai bên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thêm một nắp a² (S = 2a² + 128/a) cho bể không nắp thì ra a = ∛32 ≈ 3,17, lệch khỏi a = 4. Đề nói "không nắp" là chỉ có một đáy.

🧊

Làm mẫu

Bể cá không nắp đáy vuông thể tích 32 dm³. Tìm cạnh đáy để tốn ít vật liệu (diện tích) nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📈 Kinh tế và chuyển động

Cần nhớ

✦Chi phí biên là C′(x), doanh thu biên là R′(x). Lợi nhuận P = R − C. Ví dụ: C(x) = x² + 10x + 400 ⇒ C′(x) = 2x + 10.
✦P lớn nhất ở chỗ P′ = 0 ⇔ R′ = C′: doanh thu biên bằng chi phí biên.
✦Chuyển động: vận tốc v = s′, gia tốc a = v′ = s″. Ví dụ: s = t³ − 6t² + 9t ⇒ v = 3t² − 12t + 9, a = 6t − 12.
✦Vận tốc âm chỉ có nghĩa vật đi ngược chiều dương, không có nghĩa là "chậm".

Dạng bài

Tối đa lợi nhuận

1 Viết doanh thu R(x) và chi phí C(x), lợi nhuận P = R − C; ghi miền của x.
2 Giải P′ = 0, đối chiếu miền.
3 So P tại điểm tới hạn và hai đầu mút của miền.
4 Thử lại bằng điều kiện R′ = C′ và hai giá trị hai bên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn x = 60 (sản xuất tối đa) vì "càng nhiều càng lời" là sai: P(60) = −400, lỗ. Doanh thu tăng đều 70 mỗi sản phẩm nhưng chi phí tăng nhanh hơn.

📈

Làm mẫu

Một xưởng sản xuất x sản phẩm mỗi ngày (0 ≤ x ≤ 60), chi phí C(x) = x² + 10x + 400 (nghìn đồng), bán mỗi sản phẩm 70 nghìn đồng. Tìm x để lợi nhuận lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Bài chuyển động: vận tốc lớn nhất, nhỏ nhất

1 Tính v = s′ và a = v′.
2 Tìm v lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn thời gian: giải v′ = a = 0, rồi so với hai đầu mút.
3 Đọc dấu: v âm là đi ngược chiều.
4 Thử lại bằng hai giá trị t hai bên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ vận tốc nhỏ nhất bằng 0 vì "vận tốc không âm" là sai: v(3) = −3 < 0, dấu âm chỉ là đi ngược chiều dương.

🚀

Làm mẫu

Vật chuyển động với s(t) = t³ − 9t² + 24t (m), 0 ≤ t ≤ 6 (giây). Tìm vận tốc nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔢 Biến nguyên và điều kiện của biến

Điều kiện của biến lấy từ đâu

Tình huống	Điều kiện	Nếu bỏ qua
Cắt góc bìa vuông cạnh a	0 < x < a/2	Hộp có đáy bằng 0 hoặc âm
Chia sợi dây dài ℓ làm hai đoạn	0 < x < ℓ	Đoạn dài hơn cả sợi dây
Số sản phẩm, số người, số lần	x nguyên, x ≥ 0	Đáp số 12,7 sản phẩm
Thời gian chuyển động trong [0; T]	0 ≤ t ≤ T	Tính ngoài khoảng đề cho

Cần nhớ

✦Biến là số nguyên: tìm điểm tối ưu của hàm liên tục, rồi so hai số nguyên kề bên. Ví dụ: tối ưu ở x = 6,25 thì so P(6) và P(7).
✦Với tam thức bậc hai thì số nguyên gần đỉnh nhất là đáp số; với hàm khác phải tính cả hai rồi mới chọn.
✦Đáp số làm tròn thì tính bằng số chính xác, làm tròn một lần ở cuối. Ví dụ: √20 ≈ 4,47.
✦Trả lời kèm đơn vị đề cho (nghìn đồng, m², cm³).

Dạng bài

Tối ưu khi biến phải nguyên

1 Coi x là số thực, tìm điểm tối ưu x₀ của hàm liên tục.
2 Nếu x₀ không nguyên, xét hai số nguyên kề x₀.
3 Tính hàm tại hai số nguyên đó, chọn số cho giá trị tốt hơn.
4 Thử lại bằng hai số nguyên xa hơn về hai phía.

⚠️ Bẫy hay gặp: Trả lời x = 6,25 hay P = 58,125 là sai: số máy phải nguyên, và giá trị lớn nhất khi đó là 58 chứ không phải P(6,25) = 58,125.

🔢

Làm mẫu

Lợi nhuận một cửa hàng là P(x) = −2x² + 25x − 20 (triệu đồng), x là số máy bán ra (nguyên, x ≥ 0). Tìm x để P lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Gạch chân đề hỏi gì trước khi giải: giá trị lớn nhất, hay x tại đó, hay giá phải bán.
✦Tổng cố định, hỏi tích lớn nhất ⇒ hai số bằng nhau (khi không có ràng buộc khác).
✦Có một cạnh miễn phí (bờ tường, bờ sông) ⇒ cạnh dọc bờ dài gấp đôi cạnh kia.
✦Hộp trụ thể tích cố định, ít vật liệu nhất: không nắp h = r, có nắp h = 2r.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Bỏ điều kiện của biến. Phản ví dụ: gấp hộp từ bìa 12 cm, x = 6 làm đáy bằng 0.
✦Cho rằng tối ưu luôn là hình vuông. Phản ví dụ: rào ba cạnh với 80 m lưới, ba cạnh bằng nhau cho 711 m² < 800 m².
✦Dừng ở đỉnh mà quên miền bị chặn. Ví dụ: P(x) = −x² + 40x − 300 trên [0; 15] có đỉnh x = 20 nằm ngoài, GTLN ở đầu mút P(15) = 75.
✦Để số thập phân cho đại lượng đếm được (12,7 sản phẩm) mà không so hai số nguyên kề bên.
✦Nhầm hộp trụ có nắp với không nắp: h = 2r và h = r.
✦Trả lời x khi đề hỏi thể tích, hoặc ngược lại.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập V(x), P(x), cho x chạy trong miền điều kiện, nhìn cột giá trị để thấy điểm lớn nhất và so với đáp số.
✦Giải phương trình bậc hai cho f′ = 0; biến nguyên thì thế hai số nguyên kề bên bằng CALC.
✦Máy chỉ để thử lại số. Phần lập hàm và điều kiện của biến phải tự viết.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🪜

Bốn bước, bài rào vườn và hai số

1
Nhận biết
Trong bài toán tối ưu thực tế, bước dễ bị bỏ quên nhất là
2
Thông hiểu Hai số dương có tổng bằng 30. Tích lớn nhất của chúng bằng .
3
Thông hiểu
Rào mảnh vườn chữ nhật dựa vào bờ tường bằng 120 m lưới (không rào cạnh sát tường). Diện tích lớn nhất khi cạnh song song với tường dài
4
Thông hiểu
Rào một hình chữ nhật cả bốn cạnh bằng 100 m lưới. Diện tích lớn nhất bằng
5
Vận dụng Hai số x, y không âm có x + y = 12. Giá trị của x làm x²y lớn nhất là x = .

📦

Hộp, bể, hình trụ

1
Thông hiểu
Từ tấm bìa hình vuông cạnh 24 cm, cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh x rồi gấp thành hộp không nắp. Thể tích lớn nhất khi x bằng
2
Thông hiểu Với hộp ở câu trên, thể tích lớn nhất bằng cm³.
3
Thông hiểu
Hộp đáy vuông không nắp có thể tích 108 dm³. Để tốn ít vật liệu nhất thì cạnh đáy bằng
4
Vận dụng
Làm một thùng hình trụ có nắp có thể tích V cho trước, tốn ít vật liệu nhất. Khi đó chiều cao h và bán kính r thoả
5
Thông hiểu Trong các hình chữ nhật có diện tích 36 m², chu vi nhỏ nhất bằng m.

📈

Kinh tế và chuyển động

1
Nhận biết
Vật chuyển động với quãng đường s(t). Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là
2
Thông hiểu Vật ném lên cao có độ cao h(t) = 20t − 5t² (m), t tính bằng giây (0 ≤ t ≤ 4). Độ cao lớn nhất bằng m.
3
Thông hiểu
Chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = x² + 10x + 400 (nghìn đồng). Chi phí biên tại x = 30 bằng
4
Vận dụng Xưởng có C(x) = x² + 10x + 400 (nghìn đồng), 0 ≤ x ≤ 60, bán mỗi sản phẩm 90 nghìn đồng. Lợi nhuận lớn nhất khi x = .
5
Vận dụng
Vật chuyển động với s(t) = t³ − 6t² + 9t (m, t giây). Vận tốc triệt tiêu tại t = 1 và t = 3. Gia tốc của vật tại t = 3 là

🔢

Biến nguyên và điều kiện của biến

1
Nhận biết
Tìm được số sản phẩm tối ưu của hàm liên tục là x = 12,7 trong khi x phải là số nguyên. Cần làm gì?
2
Thông hiểu Lợi nhuận là P(x) = −3x² + 40x − 50 (triệu đồng), x là số máy bán ra (nguyên, x ≥ 0). P lớn nhất khi x = .
3
Thông hiểu
Với P(x) = −3x² + 40x − 50, x nguyên, giá trị lớn nhất của P là
4
Vận dụng Giá vé 50 nghìn đồng thì có 200 người xem. Mỗi lần giảm giá 3 nghìn đồng thì có thêm 30 người. Giảm giá k lần (k nguyên) để doanh thu lớn nhất thì k = .
5
Nhận biết
Cắt bốn góc của tấm bìa hình vuông cạnh 10 cm, mỗi góc là hình vuông cạnh x rồi gấp hộp. Điều kiện của x là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Quả bóng được ném lên có độ cao h(t) = 30t − 5t² (m), t tính bằng giây. Độ cao lớn nhất bằng
2
Vận dụng
Bể cá không nắp đáy vuông thể tích 4 m³. Diện tích vật liệu (đáy và bốn mặt bên) nhỏ nhất bằng
3
Vận dụng
Lợi nhuận một cửa hàng là P(x) = −x² + 40x − 300 (triệu đồng) với x là số sản phẩm (nghìn cái) và cửa hàng chỉ sản xuất được tối đa 15 nghìn cái (0 ≤ x ≤ 15). Lợi nhuận lớn nhất bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Từ tấm tôn hình vuông cạnh 18 dm, cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh x dm rồi gấp thành hộp không nắp. Thể tích hộp là V(x) = x(18 − 2x)².

a)Điều kiện của x là 0 < x < 9.

b)Thể tích lớn nhất khi x = 9.

c)Thể tích lớn nhất bằng 432 dm³.

d)V(4) > V(3).
2
Vận dụng
Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t³ − 9t² + 24t (s tính bằng mét, t giây, 0 ≤ t ≤ 6).

a)Vận tốc của vật là v(t) = 3t² − 18t + 24.

b)Vật đổi chiều chuyển động tại t = 2 và t = 4.

c)Vận tốc nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian trên bằng 0.

d)Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian trên đạt tại t = 3.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Từ tấm bìa hình vuông cạnh 30 cm, cắt bốn góc bốn hình vuông cạnh x rồi gấp thành hộp không nắp. Thể tích lớn nhất của hộp (cm³) bằng .
2
Vận dụng Khách sạn có 40 phòng. Giá 400 nghìn đồng/đêm thì kín phòng. Cứ tăng giá 25 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Để doanh thu lớn nhất, giá một phòng (nghìn đồng) là .
3
Vận dụng Thùng hình trụ không nắp có thể tích 27π dm³, tốn ít vật liệu nhất khi bán kính đáy r = dm.

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có một bài thực tế ngắn: gấp hộp, rào vườn, tìm độ cao hay vận tốc lớn nhất, hoặc lợi nhuận trên một miền bị chặn.
•Phần II hay có một bài thực tế cho hàm sẵn: ý dễ mất điểm là x ở đầu mút (đáy bằng 0) và nhầm điểm x với giá trị lớn nhất.
•Phần III có thể là bài tối ưu có số nguyên (giá phòng, giá vé, số sản phẩm): nhớ so hai số nguyên kề bên và trả lời đúng đơn vị đề hỏi.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Vectơ trong không gian