Chủ đề 14 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng khi biết điểm và vectơ pháp tuyến hoặc ba điểm; tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song; xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 14

⚡ Nhớ nhanh

1Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ : chỉ ba hệ số đầu, số D không tham gia.
2Viết phương trình cần đúng hai thứ: một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến. Ba điểm chỉ là một cách để tìm pháp tuyến.
3Đề cho ba điểm A, B, C: pháp tuyến $n = [A B, A C]$ (tích có hướng). Thử lại bằng tích vô hướng với $A B$ và $A C$ , phải bằng 0.
4Khoảng cách: $d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ . Tử có trị tuyệt đối.
5Hai mặt phẳng có pháp tuyến cùng phương thì song song hoặc trùng: phải so thêm số D sau khi đưa về cùng pháp tuyến.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi toạ độ pháp tuyến n bằng ±: mặt phẳng qua M₀ xoay theo, phương trình viết lại ngay. Đổi điểm P: thay P vào vế trái để biết P nằm phía nào, và khoảng cách từ P tới mặt hiện cả trên hình lẫn bằng số.

Kéo trên hình để xoay.

n M₀(1; −1; 1)

Cần đúng hai thứ: một điểm M₀(1; −1; 1) và pháp tuyến n = (2; −1; 2).

2(x − 1) − (y + 1) + 2(z − 1) = 0

⇔ 2x − y + 2z − 5 = 0

Thay P(1; 2; 3): 2·1 + (−1)·2 + 2·3 − 5 = 1 > 0 ⇒ P ở phía pháp tuyến chĩa tới.

d(P, (P)) = |1| / √9 = 1/3

Nhân cả phương trình với một số khác 0 thì mặt phẳng không đổi: n = (2; −1; 2) hay (4; −2; 4) đều là pháp tuyến. Độ dài n không quan trọng, chỉ hướng.

1 🧭 Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát

Cần nhớ

✦Vectơ pháp tuyến là vectơ khác $0$ và vuông góc với mặt phẳng. Một mặt phẳng có vô số pháp tuyến, chúng đều cùng phương.
✦Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0), pháp tuyến $n = (A; B; C)$ . Ví dụ: (P): 2x − 3y + z − 1 = 0 có $n = (2; - 3; 1)$ .
✦Mặt phẳng qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ với pháp tuyến $n = (A; B; C)$ : A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Lý do: mọi điểm M của mặt phẳng đều có $M_{0} M ⊥ n$ .
✦Nhân cả phương trình với số k ≠ 0 thì được phương trình của cùng mặt phẳng: x + 2y − z + 3 = 0 và 2x + 4y − 2z + 6 = 0 là một.
✦Mặt phẳng toạ độ: (Oxy): z = 0, (Oyz): x = 0, (Oxz): y = 0.

Đề cho gì thì lấy pháp tuyến ở đâu

Đề cho	Pháp tuyến	Ghi chú
Một điểm và $n$	Có sẵn	Thay thẳng vào công thức
Ba điểm A, B, C	$[A B, A C]$	Ba điểm phải không thẳng hàng
Song song với (Q)	Lấy luôn $n_{Q}$	Số D phải tính lại
Vuông góc với đường thẳng d	Lấy luôn $u_{d}$	Pháp tuyến cùng phương với chỉ phương
Trung trực của đoạn AB	$A B$	Đi qua trung điểm của AB

Dạng bài

Viết phương trình khi biết điểm và pháp tuyến

1 Xác định điểm M₀ thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến n = (A; B; C).
2 Thay vào A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
3 Khai triển, gom về dạng Ax + By + Cz + D = 0.
4 Thử lại: thay toạ độ M₀ vào, vế trái phải bằng 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết 2x − y + 3z − 3 = 0 là sai dấu số hạng tự do: thay M được 2 − 2 − 3 − 3 = −6 ≠ 0. Số D luôn tính bằng cách thay điểm, đừng đoán.

🧭

Làm mẫu

Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 2; −1) và có pháp tuyến n = (2; −1; 3).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🔺 Mặt phẳng qua ba điểm, đoạn chắn

Cần nhớ

✦Tích có hướng: $[u, v] = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}; u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}; u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})$ . Kết quả vuông góc với cả hai vectơ.
✦Mặt phẳng qua A, B, C: lấy $n = [A B, A C]$ rồi viết phương trình qua A.
✦Phương trình đoạn chắn: mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (abc ≠ 0) là x/a + y/b + z/c = 1.
✦Ví dụ: cắt các trục tại 1, 2, 3 thì x/1 + y/2 + z/3 = 1, nhân 6 ra 6x + 3y + 2z − 6 = 0. Nhận ra ba điểm nằm trên ba trục là bỏ được cả phép tích có hướng.

Dạng bài

Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm

1 Tính hai vectơ cùng gốc: $A B$ và $A C$ .
2 Tính $n = [A B, A C]$ . Kiểm ngay $n \cdot A B = 0$ và $n \cdot A C = 0$ .
3 Viết phương trình qua A với pháp tuyến n rồi khai triển.
4 Thử lại bằng cách thay cả ba điểm vào phương trình.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính tích có hướng sai một dấu là hỏng cả bài mà không báo lỗi. Hai phép tích vô hướng ở bước 2 là cách duy nhất để bắt lỗi sớm, đừng bỏ.

🔺

Làm mẫu

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) với A(1; 2; 0), B(3; 1; 1), C(0; 3; 2).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Viết phương trình mặt phẳng song song hoặc trung trực

1 Song song với (Q): lấy luôn pháp tuyến của (Q). Trung trực của AB: lấy $A B$ làm pháp tuyến và qua trung điểm của AB.
2 Viết phương trình qua điểm đã biết rồi khai triển.
3 Với song song: kiểm số D khác số D của (Q), nếu bằng thì ra chính (Q).

⚠️ Bẫy hay gặp: Mặt phẳng trung trực không đi qua A hay B. Chọn nhầm A làm điểm đi qua thì mặt phẳng chỉ còn vuông góc AB, không còn cách đều hai đầu.

⚖️

Làm mẫu

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 2; 3), B(3; 0; 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📏 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Cần nhớ

✦ $d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{M} + B y _{M} + C z _{M} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ . Tử là vế trái phương trình tại M, mẫu là độ dài pháp tuyến.
✦Dấu bên trong trị tuyệt đối cho biết M ở phía nào: hai điểm cho tử cùng dấu thì cùng phía, trái dấu thì mặt phẳng nằm giữa.
✦Hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D₁ = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D₂ = 0 (cùng A, B, C): d = |D₁ − D₂|/√(A² + B² + C²).
✦Mặt phẳng toạ độ: d(M, (Oxy)) = |z_M|, d(M, (Oyz)) = |x_M|, d(M, (Oxz)) = |y_M|.

Dạng bài

Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

1 Đọc A, B, C, D từ phương trình (đưa hết về một vế).
2 Tính tử: thay toạ độ M vào vế trái rồi lấy trị tuyệt đối.
3 Tính mẫu √(A² + B² + C²) rồi chia.
4 Thử lại bằng cách so với d(O, (P)) = |D|/mẫu khi M = O.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên trị tuyệt đối thì có thể ra khoảng cách âm, ví dụ thay M(0; 0; 0) vào x + 2y + 2z − 9 = 0 được −9, chia 3 ra −3. Khoảng cách là 3, không bao giờ âm.

📏

Làm mẫu

Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến (P): 2x − y + 2z − 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

1 Đưa hai phương trình về cùng (A; B; C), chia hoặc nhân cho đúng.
2 Lấy một điểm thuộc mặt phẳng này, tính khoảng cách tới mặt phẳng kia (hoặc dùng |D₁ − D₂|/mẫu).
3 Thử lại bằng cách lấy một điểm khác.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng |D₁ − D₂| khi hai phương trình chưa cùng hệ số: 2x − y + 2z − 5 = 0 và 4x − 2y + 4z + 14 = 0 phải chia phương trình sau cho 2 thành 2x − y + 2z + 7 = 0, khi đó d = |−5 − 7|/3 = 4. Không chia thì ra |−5 − 14|/3, sai.

↔️

Làm mẫu

Tính khoảng cách giữa (P): 2x − 2y + z − 3 = 0 và (Q): 2x − 2y + z + 6 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔀 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bốn tình huống (xét n₁ = (A₁; B₁; C₁), n₂ = (A₂; B₂; C₂))

Quan hệ	Điều kiện	Ví dụ
Cắt nhau	n₁, n₂ không cùng phương	x + y + z = 0 và x − y = 0
Song song	n₁ cùng phương n₂ và D không cùng tỉ lệ	2x − y + 2z − 5 = 0 và 2x − y + 2z + 7 = 0
Trùng nhau	Cả bốn hệ số cùng tỉ lệ	x + 2y − z + 3 = 0 và 2x + 4y − 2z + 6 = 0
Vuông góc	n₁ · n₂ = 0	x + y + z − 1 = 0 và x − 2y + z + 4 = 0

Dạng bài

Xét vị trí hai mặt phẳng

1 Viết hai pháp tuyến n₁, n₂. Có cùng phương không (các tỉ số A₁/A₂, B₁/B₂, C₁/C₂ có bằng nhau không)?
2 Không cùng phương: cắt nhau, rồi tính n₁ · n₂ xem có vuông góc không.
3 Cùng phương: so tỉ số đó với D₁/D₂. Bằng thì trùng, khác thì song song.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy pháp tuyến cùng phương rồi kết luận "trùng" hoặc "song song" ngay là bỏ bước cuối. Phản ví dụ: x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z − 5 = 0 song song (vì 2·(−1) = −2 ≠ −5), còn x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z − 2 = 0 trùng.

🔀

Làm mẫu

Xét vị trí của (P): 2x − y + 2z − 5 = 0 và (Q): 4x − 2y + 4z − 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

⚖️ Song song

Pháp tuyến cùng phương, D khác tỉ lệ. Hai mặt phẳng không có điểm chung, khoảng cách giữa chúng không đổi.

🟰 Trùng nhau

Phương trình này bằng k lần phương trình kia, kể cả D. Nhìn khác nhau nhưng là một mặt phẳng.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề cho đáp án là các phương trình: thay điểm đề cho vào từng đáp án ngay, loại hết đáp án không thoả. Nhanh hơn tính tích có hướng.
✦Song song với (Q) thì giữ nguyên A, B, C, chỉ đổi D. Tính D bằng cách thay điểm vào.
✦Khoảng cách: chọn A, B, C sao cho mẫu đẹp (1, 2, 2 cho mẫu 3; 2, 3, 6 cho mẫu 7) thì đề thường cho đáp số nguyên.
✦Ba điểm nằm trên ba trục: viết thẳng phương trình đoạn chắn, không cần tích có hướng.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Coi pháp tuyến của Ax + By + Cz + D = 0 là (A; B; C; D). Đúng: chỉ ba số đầu. 2x − y + 2z − 5 = 0 và 2x − y + 2z + 7 = 0 cùng pháp tuyến nên song song.
✦Quên trị tuyệt đối ở tử công thức khoảng cách. Gặp kết quả âm là biết ngay đã quên.
✦Pháp tuyến cùng phương rồi kết luận "trùng". Phản ví dụ: x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z − 5 = 0 song song vì 2·(−1) ≠ −5.
✦Khai triển sai dấu số D: mặt phẳng qua M(1; 1; 1) với n = (1; 2; 3) là x + 2y + 3z − 6 = 0, không phải +6 (thay M được 12 ≠ 0).
✦Dùng |D₁ − D₂|/mẫu khi hai phương trình chưa cùng hệ số. Phải đưa về cùng (A; B; C) trước.
✦Không thử lại tích có hướng: một dấu sai ở n làm sai cả phương trình. Luôn kiểm n · AB = 0 và n · AC = 0.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): nhập hai vectơ AB, AC rồi bấm tích có hướng để lấy pháp tuyến; bấm tích vô hướng để kiểm bằng 0.
✦Cũng ở chế độ này lấy độ dài vectơ để có mẫu √(A² + B² + C²).
✦Chế độ giải hệ phương trình ba ẩn: thay ba điểm vào Ax + By + Cz = −D (cho D = 1) để tìm A, B, C. Dùng chức năng tính giá trị biểu thức để thay điểm vào vế trái khi thử lại.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Đọc vectơ pháp tuyến

1
Nhận biết
Mặt phẳng 2x − 3y + z − 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
2
Nhận biết
Mặt phẳng nào dưới đây nhận n = (1; 2; 3) làm một vectơ pháp tuyến?
3
Thông hiểu Mặt phẳng 4x − 2y + 6z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến dạng (2; −1; k). Khi đó k = .
4
Thông hiểu
Mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) và có pháp tuyến n = (1; 2; 3) có phương trình

📝

Viết phương trình mặt phẳng

1
Thông hiểu
Mặt phẳng đi qua M(1; 2; −1) và có pháp tuyến n = (2; −1; 3) có phương trình
2
Thông hiểu
Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −1) có phương trình
3
Thông hiểu
Mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) và song song với (Q): 2x − y + 2z − 5 = 0 có phương trình
4
Thông hiểu
Mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và vuông góc với đường thẳng AB, với A(0; 1; 2), B(2; 0; 4), có phương trình
5
Vận dụng
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 2; 3), B(3; 0; 1) có phương trình
6
Vận dụng Mặt phẳng đi qua A(1; 2; 0), B(3; 1; 1), C(0; 3; 2) có dạng 3x + 5y − z + D = 0. Khi đó D =

📏

Khoảng cách

1
Nhận biết
Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng x + 2y + 2z − 9 = 0 bằng
2
Thông hiểu Khoảng cách từ M(2; 1; −1) đến mặt phẳng x + 2y − 2z + 3 = 0 bằng .
3
Thông hiểu
Khoảng cách từ M(1; −2; 3) đến mặt phẳng 2x − 2y + z − 1 = 0 bằng
4
Vận dụng Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 2x − 2y + z − 3 = 0 và 2x − 2y + z + 6 = 0 bằng .
5
Vận dụng
Mặt phẳng song song với (P): x + 2y − 2z + 1 = 0 và cách (P) một khoảng bằng 2 có phương trình

🔀

Vị trí tương đối

1
Thông hiểu
Hai mặt phẳng x + y + z − 1 = 0 và x − 2y + z + 4 = 0
2
Thông hiểu
Hai mặt phẳng x + 2y − z + 3 = 0 và 2x + 4y − 2z + 6 = 0
3
Thông hiểu
Hai mặt phẳng 2x − y + 2z − 5 = 0 và 4x − 2y + 4z − 7 = 0
4
Vận dụng Mặt phẳng x + 2y + mz − 1 = 0 song song với 2x + 4y − 6z + 5 = 0 khi m =
5
Vận dụng Mặt phẳng mx + y − z + 2 = 0 vuông góc với x + 2y + 3z − 1 = 0 khi m = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 1) có phương trình
2
Vận dụng
Mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và vuông góc với cả hai mặt phẳng (α): x + y + z = 0 và (β): x − y = 0 có phương trình
3
Vận dụng
Trên trục Oz, điểm M cách mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 5 = 0 một khoảng bằng 1 là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(2; 0; 1), C(0; 1; 2).

a)Vectơ AB = (1; −1; 1).

b)Vectơ n = (2; 3; −1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

c)Mặt phẳng (ABC) có phương trình 2x + 3y + z − 5 = 0.

d)Mặt phẳng đi qua gốc O và song song với (ABC) có phương trình 2x + 3y + z − 5 = 0.
2
Vận dụng
Cho hai mặt phẳng (P): 2x − 2y + z − 3 = 0 và (Q): 2x − 2y + z + 6 = 0.

a)Vectơ pháp tuyến n = (2; −2; 1) có độ dài bằng 3.

b)Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

c)Khoảng cách từ gốc O đến (P) bằng 1.

d)Khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng 2.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 2x + 2y − z + 1 = 0 và 2x + 2y − z − 11 = 0 bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Tìm m để hai mặt phẳng x + my + 2z − 1 = 0 và 2x − y + z + 3 = 0 vuông góc với nhau. Đáp số: m =
3
Vận dụng Điểm M(a; 0; 0) với a > 0 nằm trên trục Ox và cách mặt phẳng 2x − 2y + z − 6 = 0 một khoảng bằng 2. Đáp số: a =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu viết phương trình mặt phẳng từ ba điểm, từ điểm và pháp tuyến, hoặc mặt phẳng song song hay vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh ba điểm A, B, C: vectơ, pháp tuyến, phương trình mặt phẳng, khoảng cách. Ý dễ mất điểm là sai dấu số D hoặc quên chia cho độ dài pháp tuyến.
•Phần III có thể hỏi khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng hoặc giữa hai mặt phẳng song song, hoặc tìm tham số m để hai mặt phẳng song song hay vuông góc.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương trình đường thẳng trong không gian