Chủ đề 15 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Phương trình đường thẳng trong không gian

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, tìm vectơ chỉ phương trong các tình huống thường gặp, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 15

⚡ Nhớ nhanh

1Viết phương trình đường thẳng cần đúng hai thứ: một điểm và một vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ .
2Tham số: {x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct, dùng được trong mọi trường hợp. Chính tắc (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c chỉ viết được khi a, b, c đều khác 0.
3Mỗi đường thẳng có vô số phương trình: đổi điểm gốc hoặc nhân chỉ phương với số khác 0 vẫn là cùng một đường.
4Hai đường thẳng: so chỉ phương trước. Cùng phương thì trùng hoặc song song (thử một điểm). Không cùng phương thì cắt hoặc chéo nhau (giải hệ với hai tham số t và s khác nhau).
5Đường vuông góc mặt phẳng thì chỉ phương lấy luôn pháp tuyến. Giao tuyến hai mặt phẳng thì chỉ phương là tích có hướng của hai pháp tuyến.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm 4 mẫu cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau và đọc hai bước xét bên cạnh. Ở mẫu chéo nhau, xoay hình để thấy có góc nhìn hai đường trông như cắt nhau mà thật ra không có điểm chung.

Kéo trên hình để xoay.

d₁: x = t, y = 0, z = 1 · u₁ = (1; 0; 0)

d₂: x = s, y = 1 + s, z = −1 + s · u₂ = (1; 1; 1)

Bước 1. [u₁, u₂] = (0; −1; 1) ≠ 0 ⇒ không cùng phương: cắt hoặc chéo.

Bước 2. M₁M₂ = (0; 1; −2), [u₁, u₂]·M₁M₂ = −3 ≠ 0 ⇒ không đồng phẳng ⇒ chéo nhau.

⇒ d₁, d₂ CHÉO NHAU

Khoảng cách: |[u₁, u₂]·M₁M₂| / |[u₁, u₂]| = 3/√2 ≈ 2,12 (đoạn cam trên hình)

Xoay hình: có góc nhìn hai đường trông như cắt nhau, nhưng xoay tiếp sẽ thấy chúng lệch tầng. Đừng tin hình phẳng, hãy tính.

1 ➡️ Vectơ chỉ phương, phương trình tham số và chính tắc

Cần nhớ

✦Vectơ chỉ phương $u \neq = 0$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. Có vô số vectơ chỉ phương, chúng đều cùng phương.
✦Tham số: mọi điểm M của d có $M_{0} M = t u$ . Ví dụ: d qua A(1; 2; 3), u = (2; −1; 3) là {x = 1 + 2ty = 2 − tz = 3 + 3t
✦Chính tắc: $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ (a, b, c ≠ 0). Mẫu số là chỉ phương, tử số là điểm với dấu đổi.
✦Qua hai điểm A, B: lấy $u = A B$ . Ví dụ: A(0; 1; 2), B(2; 1; 4) có $A B = (2; 0; 2)$ , thành phần giữa bằng 0 nên không viết được dạng chính tắc.
✦Trục toạ độ: Oz qua O với u = (0; 0; 1), phương trình {x = 0y = 0z = t

Dạng bài

Đọc điểm và chỉ phương, thử một điểm

1 Với dạng tham số: hệ số của t là chỉ phương, hằng số là điểm (ứng với t = 0).
2 Với dạng chính tắc: mẫu số là chỉ phương, tử số đổi dấu cho điểm.
3 Để kiểm một điểm có thuộc d không: từ một toạ độ tìm t, rồi thay t vào hai toạ độ còn lại.
4 Thử lại bằng cách cho t một giá trị khác và kiểm điểm mới có thoả dạng chính tắc.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ khớp một toạ độ rồi kết luận thuộc d là sai: phải khớp cả ba. Ví dụ M(4; −1; 6) cho x ứng t = 2 nhưng y = −3 ≠ −1, nên M không thuộc d.

➡️

Làm mẫu

Cho d: {x = 2 + ty = 1 − 2tz = 3t. Tìm k để M(4; −3; k) thuộc d.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✏️ Viết phương trình đường thẳng

Đề cho gì thì lấy chỉ phương ở đâu

Đề cho	Chỉ phương	Ghi chú
Qua hai điểm A, B	$A B$	Lấy hiệu toạ độ, B trừ A
Song song với đường d′	Lấy luôn $u_{d'}$	Điểm gốc đổi theo đề
Vuông góc mặt phẳng (P)	Lấy luôn $n_{P}$	Chỉ phương cùng phương pháp tuyến
Giao tuyến của (P), (Q)	$[n_{P}, n_{Q}]$	Cần thêm một điểm chung của (P) và (Q)

Dạng bài

Viết phương trình đường thẳng vuông góc mặt phẳng

1 Chỉ phương lấy bằng pháp tuyến của mặt phẳng.
2 Ghép điểm đề cho và chỉ phương vào dạng tham số.
3 Thử lại: cho t = 1, điểm tìm được phải thoả dạng chính tắc (nếu cả ba thành phần khác 0).

⚠️ Bẫy hay gặp: Dấu ở y: chỉ phương có thành phần −1 nên tham số là 2 − t và mẫu của chính tắc là −1, không phải 1. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất.

⬆️

Làm mẫu

Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1; 2; 3) và vuông góc với (P): 2x − y + 3z − 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng

1 Tính chỉ phương u = [n₁, n₂] và kiểm vuông góc với cả n₁, n₂.
2 Tìm một điểm chung: cho một ẩn một giá trị đơn giản rồi giải hệ hai ẩn.
3 Viết tham số, thử lại bằng điểm với t = 1 thay vào cả hai mặt phẳng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Điểm chung phải thoả cả hai mặt phẳng. Chọn điểm chỉ thoả một mặt phẳng thì ra đường song song với giao tuyến chứ không phải giao tuyến.

✂️

Làm mẫu

Viết phương trình giao tuyến của (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + 2z = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔀 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bốn vị trí của hai đường thẳng

Vị trí	Hai chỉ phương	Điểm chung
Trùng nhau	Cùng phương	Vô số
Song song	Cùng phương	Không có
Cắt nhau	Không cùng phương	Đúng một
Chéo nhau	Không cùng phương	Không có

Dạng bài

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 So hai chỉ phương u₁, u₂: có cùng phương (tỉ lệ ba thành phần) không?
2 Cùng phương: lấy một điểm của d₁ thử vào d₂. Thuộc thì trùng, không thuộc thì song song.
3 Không cùng phương: đặt hai tham số t, s rồi giải hệ ba phương trình. Có nghiệm là cắt (thay ra giao điểm), vô nghiệm là chéo nhau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Không có điểm chung không có nghĩa là song song: còn khả năng chéo nhau. Cùng phương mới là song song; không cùng phương mà hệ vô nghiệm thì chéo.

🔀

Làm mẫu

Xét vị trí của d₁: {x = 1 + ty = 2tz = 3 − t và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + 4sz = 2 − 2s.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm giao điểm của hai đường cắt nhau

1 Đặt hai tham số khác nhau (t cho d₁, s cho d₂).
2 Giải hai phương trình bất kỳ để tìm t, s.
3 Thay vào phương trình thứ ba để kiểm: không thoả là chéo nhau.
4 Thay t vào d₁ (hoặc s vào d₂) ra giao điểm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giải hai phương trình đầu rồi dừng là thiếu: trong không gian hệ phải thoả cả ba. Ví dụ d: x = 1 + t, y = t, z = 0 và d′: x = s, y = 1 − s, z = 1 có hai phương trình đầu giải ra t = 0, s = 1, nhưng phương trình thứ ba 0 = 1 vô lý ⇒ chéo nhau.

✖️

Làm mẫu

Tìm giao điểm của d₁: {x = 1 + ty = 2 − tz = 3 và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + sz = 3 − s.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎯 Đường thẳng và mặt phẳng

Cần nhớ

✦Giao điểm của d và (P): thay x, y, z (theo t) vào phương trình (P), giải ra t, rồi thay lại. Có đúng một nghiệm t là cắt nhau.
✦Phương trình theo t vô nghiệm (dạng 0·t = số khác 0) ⇒ d song song (P). Nghiệm với mọi t (0·t = 0) ⇒ d nằm trong (P).
✦Kiểm nhanh: u · n = 0 thì d song song hoặc nằm trong (P); u · n ≠ 0 thì d cắt (P).
✦Hình chiếu của M lên (P): đường qua M với chỉ phương n cắt (P) tại H, H là hình chiếu.

Dạng bài

Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

1 Viết d dạng tham số.
2 Thay x, y, z theo t vào phương trình (P), rút gọn được phương trình một ẩn t.
3 Giải ra t rồi thay vào d lấy toạ độ giao điểm.
4 Thử lại: toạ độ giao điểm thoả (P).

⚠️ Bẫy hay gặp: Rút gọn sai hệ số t là lỗi hay gặp: ở trên 2t − t + t = 2t, không phải 3t. Kiểm bằng cách thay ngược t vào (P).

🎯

Làm mẫu

Tìm giao điểm của d: {x = 1 + 2ty = −tz = 2 + t và (P): x + y + z − 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề cho các phương án là phương trình: thay điểm đề cho vào từng phương án, rồi so chỉ phương. Loại nhanh phương án sai.
✦Hai chỉ phương: cùng phương thì không cần giải hệ, chỉ thử một điểm (trùng hay song song).
✦Tích có hướng ra tỉ lệ nhỏ thì rút gọn cho chỉ phương đẹp, ví dụ (0; 3; 3) rút thành (0; 1; 1).
✦Chỉ phương có thành phần 0 thì loại ngay đáp án chính tắc có mẫu 0.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Dùng chung một tham số t cho cả hai đường khi giải giao điểm. Đúng: dùng hai tham số t và s.
✦Kết luận "song song" chỉ vì không có điểm chung. Còn khả năng chéo nhau. Phản ví dụ: d: x = 1 + t, y = t, z = 0 và d′: x = s, y = 1 − s, z = 1.
✦Đọc điểm thành chỉ phương trong dạng chính tắc: x − 12 = y/(−1) = z + 34 có chỉ phương (2; −1; 4), không phải (1; 0; −3).
✦Mất dấu trừ ở chỉ phương: vuông góc x − 2y + z + 5 = 0 có chỉ phương (1; −2; 1), không phải (1; 2; 1).
✦Viết chính tắc khi có thành phần chỉ phương bằng 0: u = (1; 0; 2) không có mẫu cho y, phải dùng tham số.
✦Giải hai phương trình đầu rồi kết luận "cắt nhau" mà quên phương trình thứ ba.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vector (VCT): tích có hướng của hai pháp tuyến để lấy chỉ phương giao tuyến; tích vô hướng để kiểm vuông góc.
✦Chế độ giải hệ phương trình (hai hoặc ba ẩn): giải nhanh hệ t, s khi xét cắt hay chéo.
✦Tính giá trị biểu thức: thay t vào ba toạ độ để kiểm điểm thuộc đường.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➡️

Đọc điểm và chỉ phương

1
Nhận biết
Đường thẳng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{4}$ có một vectơ chỉ phương là
2
Nhận biết
Đường thẳng {x = 1 + 2ty = −3tz = 5 có một vectơ chỉ phương là
3
Nhận biết
Phương trình tham số của trục Oy là
4
Thông hiểu
Đường thẳng đi qua A(0; 1; 2) và B(2; 1; 4) có một vectơ chỉ phương là
5
Thông hiểu Đường thẳng {x = 2 + ty = 1 − 2tz = 3t đi qua điểm M(4; −3; k). Khi đó k = .
6
Thông hiểu
Đường thẳng có chỉ phương nào sau đây thì không viết được phương trình chính tắc?

✏️

Viết phương trình đường thẳng

1
Thông hiểu
Đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x − y + 3z − 1 = 0 có phương trình
2
Thông hiểu
Đường thẳng đi qua M(1; −1; 2) và song song với d: {x = 3 + 2ty = 1 − tz = t có phương trình
3
Thông hiểu Đường thẳng AB với A(1; 2; 3), B(3; 0; 4) có phương trình x = 1 + 2t, y = 2 − 2t, z = 3 + t. Điểm C(7; −4; c) thuộc AB. Khi đó c = .
4
Vận dụng
Giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + 2z = 0 có một vectơ chỉ phương là
5
Vận dụng Đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) với chỉ phương u = (1; m; −2) đi qua B(3; 6; −1). Khi đó m = .

🔀

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1
Thông hiểu
Cho d₁: {x = 1 + ty = 2tz = 3 − t và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + 4sz = 2 − 2s. Hai đường thẳng này
2
Thông hiểu
Cho d₁: {x = 1 + ty = tz = 0 và d₂: {x = sy = 1 − sz = 1. Hai đường thẳng này
3
Vận dụng
Cho d₁: {x = 1 + ty = 2 − tz = 3 và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + sz = 3 − s. Hai đường thẳng này
4
Vận dụng
Cho d₁: {x = 1 + ty = 1 + 2tz = 1 + 3t và d₂: {x = 3 + 2sy = 5 + 4sz = 7 + 6s. Hai đường thẳng này
5
Vận dụng Cho d₁: {x = 1 + ty = 2 + 2tz = 3 − t và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + msz = 2 − 2s. Hai đường song song khi m = .
6
Vận dụng Cho d₁: {x = 1 + ty = 2 − tz = 3 và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + sz = m − s. Hai đường cắt nhau khi m = .

🎯

Đường thẳng và mặt phẳng

1
Thông hiểu
Giao điểm của d: {x = 1 + 2ty = −tz = 2 + t và mặt phẳng (P): x + y + z − 7 = 0 là
2
Thông hiểu Gọi M là giao điểm của d: {x = 2 + ty = 1 − tz = 2t và (P): x + y + z − 5 = 0. Cao độ của M bằng .
3
Vận dụng Đường thẳng d: {x = 1 + ty = 2 − tz = mt song song với mặt phẳng (P): x + 2y + z − 1 = 0 khi m = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d: {x = 1 + 2ty = −tz = 3 + t?
2
Vận dụng
Đường thẳng giao tuyến của (P): x − y + z = 0 và (Q): 2x + y − z − 3 = 0 có một vectơ chỉ phương là
3
Vận dụng
Đường thẳng d: {x = 1 + mty = 2 − tz = 3 + 2t vuông góc với mặt phẳng 2x − y + 2z + 1 = 0 khi m bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho đường thẳng d: {x = 1 + 2ty = −1 + tz = 2 − t và các mặt phẳng.

a)Một vectơ chỉ phương của d là (2; 1; −1).

b)Điểm B(1; 1; 2) thuộc d.

c)d cắt mặt phẳng x + y + z − 4 = 0 tại M(3; 0; 1).

d)d nằm trong mặt phẳng x + y + 3z − 5 = 0.
2
Vận dụng
Cho d₁: {x = 1 + ty = 2 − tz = 3 và d₂: {x = 2 + 2sy = 1 + sz = 3 − s.

a)Điểm M(2; 1; 3) thuộc cả d₁ và d₂.

b)d₁ và d₂ song song.

c)d₁ và d₂ chéo nhau.

d)Vectơ (1; 1; 3) vuông góc với cả hai chỉ phương của d₁ và d₂.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Đường thẳng d: {x = 1 + 2ty = −1 + tz = 3 − t cắt mặt phẳng x + y + 2z − 9 = 0 tại M. Hoành độ của M bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Cho d₁: {x = 1 + ty = 2 − tz = m và d₂: {x = 2 + sy = −2 + 2sz = 3 + 2s. Hai đường thẳng cắt nhau khi m bằng bao nhiêu? Đáp số: m =
3
Vận dụng Gọi H là hình chiếu vuông góc của M(1; 2; 3) lên mặt phẳng x + y + z − 3 = 0. Tung độ của H bằng bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu viết phương trình đường thẳng (qua hai điểm, vuông góc mặt phẳng, song song đường khác) hoặc chọn vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một đường thẳng cho bằng phương trình tham số: chỉ phương, điểm thuộc đường, giao điểm với mặt phẳng, vị trí so với đường khác. Ý dễ mất điểm là kết luận "cắt nhau" mà chưa thử phương trình thứ ba.
•Phần III có thể hỏi toạ độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, hình chiếu của một điểm, hoặc tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau hay song song.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Công thức tính góc trong không gian