Chủ đề 1 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Xét dấu y′ để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số; đọc bảng biến thiên, đọc dấu y′ cho sẵn và giải bài tìm m của hàm bậc ba, trùng phương.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 1

⚡ Nhớ nhanh

1Dấu của y′ quyết định chiều đi của đồ thị: y′ > 0 trên khoảng K ⇒ hàm đồng biến trên K; y′ < 0 ⇒ nghịch biến.
2Điểm tới hạn là chỗ y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại. Cực trị chỉ có thể nằm ở các điểm này.
3Có cực trị khi y′ đổi dấu qua x₀: + → − là cực đại, − → + là cực tiểu. y′(x₀) = 0 mà không đổi dấu thì không có cực trị (y = x³).
4Đề hỏi điểm cực đại thì trả lời x₀, hỏi giá trị cực đại thì trả lời y(x₀), hỏi điểm cực đại của đồ thị thì trả lời cặp (x₀; y(x₀)).
5Viết khoảng đơn điệu từng khoảng riêng, nối bằng chữ "và". Không gộp bằng dấu ∪.
6Thói quen chống sai: luôn tìm tập xác định trước. Phân thức thì bỏ điểm làm mẫu bằng 0.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo điểm trên đồ thị: tiếp tuyến dốc lên thì y′ > 0, dốc xuống thì y′ < 0. Dừng ở chỗ tiếp tuyến nằm ngang xem có phải cực trị không, rồi bấm y = x³ để gặp cái bẫy.

Kéo trên hình để dời điểm x₀ dọc đồ thị.

y = x³ − 3x · y′ = 3x² − 3

x₀ = −1,6

y′(−1,6) = 4,68 > 0 ⇒ tiếp tuyến dốc lên, hàm đồng biến quanh đây.

x	−∞		−1		1		+∞
y′		+	0	−	0	+
y		↗	2 CĐ	↘	−2 CT	↗

Đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞).

Nghịch biến trên (−1; 1).

Cực đại tại x = −1, giá trị 2 · Cực tiểu tại x = 1, giá trị −2.

Bậc ba có hai cực trị: y′ có hai nghiệm phân biệt.

1 📈 Xét tính đơn điệu

Cần nhớ

✦y′ > 0 trên K ⇒ đồng biến trên K. Ví dụ: y = x³ + x có y′ = 3x² + 1 > 0 ⇒ đồng biến trên ℝ.
✦y′ ≥ 0 và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thì vẫn đồng biến. Ví dụ: y = x³ có y′ = 3x² bằng 0 chỉ tại x = 0 ⇒ đồng biến trên ℝ.
✦Tam thức bậc hai y′ có hệ số a > 0 và hai nghiệm: dương ngoài, âm trong hai nghiệm.
✦Phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ : chỉ cần dấu của ad − bc.

Dạng bài

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến

1 Tìm tập xác định D.
2 Tính y′, giải y′ = 0 và tìm chỗ y′ không tồn tại.
3 Lập bảng xét dấu y′ trên từng khoảng (thử một số trong mỗi khoảng).
4 Kết luận từng khoảng, nối bằng "và". Thử lại dấu bằng một điểm mỗi khoảng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "đồng biến trên (−∞; 0) ∪ (2; +∞)" là sai: lấy x = −0,1 và x = 2,1 thì y(−0,1) ≈ 1,97 > y(2,1) ≈ −1,97, hàm đi xuống chứ không đi lên.

📈

Làm mẫu

Tìm các khoảng đơn điệu của y = x³ − 3x² + 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Ba loại hàm hay gặp: nhìn là biết

Hàm	y′	Đơn điệu
Bậc ba ax³ + bx² + cx + d	Tam thức bậc hai	y′ có 2 nghiệm ⇒ 3 khoảng, đổi chiều 2 lần
Trùng phương ax⁴ + bx² + c	4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)	Luôn có nghiệm x = 0
Phân thức ax + bcx + d	ad − bccx + d²	Cùng một chiều trên mỗi khoảng của D, không có cực trị

2 ⛰️ Tìm cực trị

Cần nhớ

✦Điều kiện cần: cực trị tại x₀ ⇒ y′(x₀) = 0 hoặc y′(x₀) không tồn tại. Ví dụ: y = |x| có cực tiểu tại 0 dù không có đạo hàm ở đó.
✦Điều kiện đủ: y′ đổi dấu khi qua x₀. + → − là cực đại, − → + là cực tiểu.
✦Dấu hiệu 2: y′(x₀) = 0 và y″(x₀) > 0 ⇒ cực tiểu; y″(x₀) < 0 ⇒ cực đại. Ví dụ: y = x² có y″(0) = 2 > 0 ⇒ cực tiểu tại 0.
✦Cực trị là chuyện địa phương: giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu (y = x + 1/x có $y_{C Đ}$ = −2 < $y_{CT}$ = 2).

Dạng bài

Tìm cực trị bằng bảng biến thiên

1 Tìm D, tính y′ và các điểm tới hạn.
2 Xét dấu y′ hai bên từng điểm tới hạn.
3 Đổi dấu + → − là cực đại, − → + là cực tiểu; không đổi dấu thì bỏ.
4 Tính giá trị cực trị rồi thử lại bằng cách so với giá trị lân cận.

⚠️ Bẫy hay gặp: Có 3 nghiệm y′ = 0 chưa chắc có 3 cực trị: phải xét dấu. Ở đây đổi dấu cả 3 lần nên đúng là 3, còn y = x⁴ + 2x² thì y′ = 4x(x² + 1) chỉ có 1 nghiệm.

⛰️

Làm mẫu

Tìm cực trị của y = x⁴ − 2x² + 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Dùng dấu hiệu 2 (y″) cho nhanh

1 Giải y′ = 0 được các nghiệm xᵢ.
2 Tính y″ và thay từng xᵢ: y″ > 0 là cực tiểu, y″ < 0 là cực đại.
3 y″(xᵢ) = 0 thì dấu hiệu 2 không kết luận được, quay về xét dấu y′.

⚠️ Bẫy hay gặp: y = x⁴ có y″(0) = 0 nhưng x = 0 vẫn là cực tiểu (y′ = 4x³ đổi dấu − → +). y″ = 0 không có nghĩa là không có cực trị.

⚡

Làm mẫu

Tìm cực trị của y = x³ − 3x + 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Đề hỏi cái nào? (với y = x³ − 3x)

Đề hỏi	Trả lời là	Ví dụ
Điểm cực đại của hàm số	Giá trị của x	x = −1
Giá trị cực đại	Giá trị của y	y = 2
Điểm cực đại của đồ thị	Một cặp toạ độ	(−1; 2)
Số điểm cực trị	Một số nguyên	2

3 🔍 Đọc bảng xét dấu, đọc y′ cho sẵn

Cần nhớ

✦Đề cho sẵn f′(x) dạng tích: nghiệm bội lẻ thì f′ đổi dấu (là cực trị), nghiệm bội chẵn thì không đổi dấu (không là cực trị).
✦Ví dụ: f′(x) = (x − 1)²(x + 2) có x = 1 bội 2 (bỏ), x = −2 bội 1 ⇒ 1 cực trị.
✦Đồ thị của f′ nằm trên Ox ⇒ f đồng biến; cắt Ox (xuyên qua) ⇒ f có cực trị; chạm Ox rồi quay lại ⇒ không có cực trị.

Dạng bài

Đếm và phân loại cực trị từ f′ dạng tích

1 Liệt kê nghiệm của f′ kèm số mũ (bội).
2 Bỏ nghiệm bội chẵn. Nghiệm bội lẻ là điểm cực trị.
3 Xét dấu: lấy x thật lớn để biết dấu khoảng ngoài cùng bên phải, đi sang trái qua nghiệm bội lẻ thì đổi dấu.
4 Thử lại bằng một điểm trong mỗi khoảng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm "f′ có 3 nghiệm ⇒ 3 cực trị" là sai: x = 1 bội 2 nên f′ không đổi dấu ở đó.

🔍

Làm mẫu

Cho f′(x) = x(x − 1)²(x + 2)³. Hàm f có mấy cực trị? Cực đại tại đâu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

📉 Cho đồ thị f

Đi lên là đồng biến, đỉnh là cực đại, đáy là cực tiểu. Đọc thẳng trên hình.

📊 Cho đồ thị f′

Nhìn dấu: phần nằm trên Ox là f đồng biến. Chỗ đồ thị f′ cắt Ox mới là cực trị của f. Đỉnh của f′ không phải cực trị của f.

4 🎛️ Bài có tham số m

Điều kiện thuộc lòng (a ≠ 0)

Hàm	Yêu cầu	Điều kiện
Bậc ba ax³ + bx² + cx + d	Có 2 cực trị	b² − 3ac > 0
Bậc ba	Không có cực trị	b² − 3ac ≤ 0
Bậc ba	Đồng biến trên ℝ	a > 0 và b² − 3ac ≤ 0
Bậc ba	Nghịch biến trên ℝ	a < 0 và b² − 3ac ≤ 0
Trùng phương ax⁴ + bx² + c	3 cực trị	a·b < 0
Trùng phương	1 cực trị	a·b ≥ 0

Dạng bài

Tìm m để hàm bậc ba đồng biến trên ℝ

1 Tính y′ (tam thức bậc hai). Nếu hệ số của x³ chứa m, xét riêng trường hợp nó bằng 0.
2 Đồng biến trên ℝ ⇔ y′ ≥ 0 với mọi x ⇔ a > 0 và Δ′ ≤ 0.
3 Giải bất phương trình theo m.
4 Thử lại ở đầu mút của đáp số và một giá trị ngoài đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết Δ′ < 0 là mất m = 3. Đồng biến cho phép y′ = 0 tại một điểm nên phải có dấu bằng.

🎛️

Làm mẫu

Tìm m để y = x³ − 3x² + mx + 1 đồng biến trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm m để hàm đạt cực trị tại x₀ cho trước

1 Giải y′(x₀) = 0 tìm m (đây chỉ là điều kiện cần).
2 Thay từng m vào, xét dấu y′ quanh x₀ (hoặc dùng y″) để giữ m đúng loại cực trị đề hỏi.
3 Kết luận.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dừng ở y′(x₀) = 0 là thiếu bước: m tìm được có thể cho cực đại hoặc không cực trị. Luôn thay lại để kiểm.

🎯

Làm mẫu

Tìm m để y = x³ − 3mx² + 4 đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Bậc ba a > 0: cực đại ở nghiệm nhỏ, cực tiểu ở nghiệm lớn của y′. a < 0 thì ngược lại. Không cần lập bảng.
✦Phân thức bậc nhất trên bậc nhất: không bao giờ có cực trị. Gặp câu hỏi số cực trị thì chọn 0.
✦Trùng phương: x = 0 luôn là điểm cực trị. a·b < 0 thì thêm hai điểm đối xứng ±x₁.
✦Đáp án tham số nghi ngờ: thay một giá trị m cụ thể vào hàm rồi kiểm, nhanh hơn giải lại.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho y′(x₀) = 0 là có cực trị. Phản ví dụ: y = x³ tại 0.
✦Viết "đồng biến trên (−∞; 0) ∪ (2; +∞)" hoặc "trên ℝ \ {1}". Đúng: viết từng khoảng, nối bằng "và".
✦Đề hỏi giá trị cực đại lại trả lời hoành độ x₀.
✦Đếm cả nghiệm bội chẵn của f′ là cực trị.
✦Tìm m cho đồng biến trên ℝ mà quên dấu bằng của Δ′ ≤ 0.
✦Đọc đồ thị f′ mà tưởng là đồ thị f: đỉnh của f′ không phải cực trị của f.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), cho x chạy từ −3 đến 3, bước 0,5. Cột f(x) tăng là đồng biến, giảm là nghịch biến, chỗ đổi chiều là gần cực trị.
✦Phím d/dx: tính y′ tại một điểm trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu.
✦Chế độ giải phương trình bậc hai, bậc ba: giải nhanh y′ = 0. Bài tự luận vẫn phải trình bày bảng biến thiên.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📈

Khoảng đồng biến, nghịch biến

1
Nhận biết
Hàm số y = f(x) có f′(x) < 0 với mọi x ∈ (1; 3). Trên khoảng (1; 3), hàm số
2
Thông hiểu
Hàm số y = x³ − 3x² + 1 nghịch biến trên khoảng nào?
3
Thông hiểu
Hàm số y = −x³ + 3x đồng biến trên khoảng nào?
4
Thông hiểu
Khẳng định nào đúng về hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ?
5
Thông hiểu Hàm số y = x⁴ − 2x² đồng biến trên (−1; 0) và (; +∞).

⛰️

Cực trị của hàm số cho trước

1
Nhận biết
Nếu f′(x₀) = 0 thì
2
Thông hiểu Hàm số y = x³ − 3x + 2 có giá trị cực đại bằng .
3
Thông hiểu Điểm cực tiểu của hàm số y = x³ − 3x² + 2 là x = .
4
Thông hiểu
Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = −x³ + 3x² là
5
Vận dụng
Hàm số y = x⁴ + 2x² − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

🔍

Đọc dấu y′ cho sẵn

1
Nhận biết
Đồ thị của y = f′(x) nằm phía trên trục Ox trên khoảng (0; 3). Trên (0; 3), hàm số f
2
Thông hiểu
Hàm số f có f′(x) = (x − 1)²(x + 3). Số điểm cực trị của f là
3
Thông hiểu
Hàm số f có f′(x) = (x + 2)(x − 1). Hàm số f đạt cực đại tại
4
Vận dụng
Hàm số f có f′(x) = x²(x − 2)(x + 1)³. Số điểm cực trị của f là

🎛️

Tìm tham số m

1
Thông hiểu
Hàm số y = x³ − 3x² + mx có hai điểm cực trị khi
2
Vận dụng
Hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 đồng biến trên ℝ khi
3
Vận dụng
Hàm số y = x⁴ − 2(m − 1)x² + 3 có ba điểm cực trị khi
4
Vận dụng Hàm số y = x³ − 3mx² + 4 đạt cực tiểu tại x = 2 khi m = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm: $x f^{'} (x) - \infty + - 1 0 - 20 - + \infty$ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
2
Thông hiểu
Hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ đồng biến trên khoảng nào?
3
Nhận biết
Với bảng xét dấu ở câu 1, hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = x³ − 3x² − 9x + 1.

a)y′ = 3x² − 6x − 9.

b)Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 4).

c)Giá trị cực đại của hàm số bằng −1.

d)Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng −20.
2
Vận dụng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x) = (x − 1)²(x − 2)(x + 3) với mọi x ∈ ℝ.

a)Hàm số có 3 điểm cực trị.

b)Hàm số đạt cực đại tại x = −3.

c)Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 2).

d)f(0) < f(1).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hàm số y = x³ − 3x² − 9x + 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂. Tính y(x₁) + y(x₂). Đáp số:
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−10; 10] để hàm số y = x³ − 3x² + mx + 1 đồng biến trên ℝ? Đáp số:
3
Vận dụng Tìm m > 0 để ba điểm cực trị của đồ thị y = x⁴ − 2mx² + 1 tạo thành một tam giác vuông. Đáp số: m =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu đọc bảng biến thiên, bảng xét dấu f′ hoặc đồ thị để chọn khoảng đơn điệu, số điểm cực trị.
•Phần II hay có một câu đúng/sai về một hàm bậc ba cụ thể: đạo hàm, khoảng nghịch biến, giá trị cực trị. Ý dễ mất điểm là nhầm điểm cực đại với giá trị cực đại.
•Phần III có thể hỏi tổng các giá trị cực trị, hoặc đếm số giá trị nguyên của m: nhớ tính cả đầu mút.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số