Chủ đề 2 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn bằng cách so ứng viên, trên khoảng bằng bảng biến thiên, và giải bài có tham số m.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 2

⚡ Nhớ nhanh

1Trên đoạn [a; b], hàm liên tục luôn có GTLN và GTNN. Chúng nằm trong danh sách hữu hạn ứng viên: các điểm tới hạn thuộc (a; b) và hai đầu mút.
2Ba bước: giải y′ = 0 rồi loại nghiệm nằm ngoài đoạn · tính y tại nghiệm giữ lại và tại a, b · so sánh.
3Trên khoảng hoặc ℝ thì GTLN, GTNN có thể không tồn tại: phải lập bảng biến thiên kèm giới hạn ở hai đầu.
4Cực trị là chuyện địa phương, GTLN, GTNN là chuyện toàn cục. Hàm có cực đại vẫn có thể không có GTLN (y = x³ − 3x trên ℝ).
5Đề hỏi giá trị thì trả lời y; hỏi đạt tại thì trả lời x.
6Thói quen chống sai: sau khi chọn đáp số, thế thử một giá trị khác vào để thấy nó không vượt đáp số.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo hai đầu mút a, b (trên hình hoặc bằng ±): ứng viên là hai đầu mút và các điểm tới hạn nằm trong đoạn, điểm tới hạn ngoài đoạn bị gạch bỏ. Bấm mẫu x⁴ − 2x² trên [−1,5; 0,5] để thấy cực đại không phải GTLN.

Kéo trên hình để dời đầu mút gần nhất.

y = x³ − 3x trên

Ứng viên	x	y
Đầu mút	0	0
Điểm tới hạn	1	−2	NHỎ NHẤT
Đầu mút	2	2	LỚN NHẤT
Điểm tới hạn	−1	2	bỏ

GTLN = 2 tại x = 2 (đầu mút).

GTNN = −2 tại x = 1 (điểm tới hạn).

Điểm tới hạn x = −1 nằm ngoài [0; 2] nên không đưa vào so sánh.

1 📏 Trên một đoạn [a; b]

Cần nhớ

✦Hàm liên tục trên đoạn [a; b] luôn đạt cả GTLN lẫn GTNN. Ví dụ: y = x² trên [−1; 2] có GTNN = 0 (tại x = 0) và GTLN = 4 (tại x = 2).
✦Ứng viên gồm điểm tới hạn nằm trong (a; b) và hai đầu mút. Ví dụ: y = x³ − 12x trên [0; 3] có ứng viên x = 0, 2, 3; nghiệm x = −2 nằm ngoài nên bỏ.
✦GTLN, GTNN là một con số, dù hàm đạt nó ở nhiều điểm. Ví dụ: y = x² trên [−2; 2] có GTLN = 4, đạt tại cả x = −2 lẫn x = 2.
✦Hàm đồng biến trên [a; b] thì GTNN = y(a), GTLN = y(b); nghịch biến thì ngược lại. Ví dụ: y = x³ + x có y′ = 3x² + 1 > 0, trên [0; 2] GTNN = 0 và GTLN = 10.

Dạng bài

Tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a; b]

1 Tính y′ và giải y′ = 0 (nhớ cả chỗ y′ không tồn tại).
2 Giữ nghiệm thuộc (a; b), loại nghiệm nằm ngoài đoạn.
3 Tính y tại các nghiệm giữ lại và tại hai đầu mút a, b.
4 Chọn số lớn nhất, nhỏ nhất. Thử lại: các giá trị còn lại đều không vượt hai số đó.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giữ nghiệm x = −2 sẽ tính y(−2) = −8 + 24 = 16 rồi kết luận GTLN = 16: sai, vì −2 ∉ [0; 3]. Ngược lại, chỉ tính y(2) = −16 mà bỏ hai đầu mút thì không thấy GTLN = 0.

📏

Làm mẫu

Tìm GTLN và GTNN của y = x³ − 12x trên đoạn [0; 3].

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✅ Giữ lại

Nghiệm của y′ = 0 thuộc (a; b), điểm y′ không tồn tại thuộc (a; b), và cả hai đầu mút a, b.

❌ Bỏ đi

Nghiệm ngoài [a; b]. Điểm cực trị nào nằm ngoài đoạn thì không có mặt trong cuộc so sánh.

2 🔭 Trên khoảng, nửa khoảng, ℝ

Cần nhớ

✦Trên khoảng hoặc ℝ, GTLN, GTNN có thể không tồn tại. Ví dụ: y = x trên (0; 1) không có GTLN và không có GTNN, vì hai đầu 0 và 1 không thuộc khoảng.
✦Chỉ có một điểm tới hạn x₀ và y′ đổi dấu − → + thì y(x₀) là GTNN. Ví dụ: y = x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4 có y(3) = 4 là GTNN trên ℝ.
✦Giá trị hàm tiến ra ∞ ở một phía thì phía đó không có GTLN (hoặc GTNN). Ví dụ: y = x² + 16/x → +∞ khi x → 0⁺ và khi x → +∞, nên không có GTLN.
✦Bất đẳng thức AM–GM cho hai số dương: x + a/x ≥ 2√a, dấu bằng khi x = √a. Ví dụ: x + 9/x ≥ 6, dấu bằng tại x = 3.

Dạng bài

Tìm GTLN, GTNN trên khoảng bằng bảng biến thiên

1 Tìm tập xác định, y′ và các điểm tới hạn thuộc khoảng.
2 Lập bảng biến thiên kèm giới hạn ở hai đầu khoảng.
3 Đọc bảng: phía nào hàm đi ra ∞ thì phía đó không có GTLN (hoặc GTNN); giá trị cực trị thấp nhất (cao nhất) là GTNN (GTLN).
4 Thử lại bằng cách thế vài giá trị x khác, xem có vượt đáp số không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "GTLN = 20" vì tính y(4) = 20 là sai: y(10) = 100 + 1,6 = 101,6 còn lớn hơn, và y còn tăng mãi. Trên khoảng không thể lấy một giá trị thử làm GTLN.

🔭

Làm mẫu

Tìm GTLN, GTNN của y = x² + 16/x trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ⚖️ Phân biệt với cực trị

Cực trị và GTLN, GTNN khác nhau chỗ nào

	Cực trị	GTLN, GTNN
So với	Chỉ những điểm lân cận	Cả tập đang xét
Đầu mút	Không tính	Có tính, thường là đáp số
Có luôn tồn tại?	Không	Có trên đoạn đóng nếu hàm liên tục
Số lượng	Có thể nhiều	Đúng một con số

Cần nhớ

✦Giá trị cực đại chỉ lớn nhất ở lân cận. Ví dụ: y = x³ − 3x có giá trị cực đại bằng 2 nhưng y(3) = 18 > 2.
✦Hàm có cực đại chưa chắc có GTLN: y = x³ − 3x trên ℝ có cực đại mà không có GTLN, vì y → +∞.
✦GTLN đạt ở đầu mút thì không phải cực đại, vì cực trị chỉ xét điểm bên trong.
✦Đề hỏi giá trị thì trả y, hỏi "đạt tại" thì trả x. Ví dụ: y = −x² + 4x trên [0; 3] có GTLN = 4, đạt tại x = 2.

Dạng bài

Hàm trùng phương trên ℝ

1 Tìm các điểm tới hạn (x = 0 luôn là một điểm) và giá trị hàm tại đó.
2 Xét dấu hệ số a: a > 0 thì y → +∞ ở hai phía, a < 0 thì y → −∞ ở hai phía.
3 a > 0: có GTNN (giá trị cực tiểu thấp nhất), không có GTLN. a < 0: ngược lại.
4 Thử lại bằng một giá trị x lớn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy giá trị cực đại 3 làm GTLN là sai: y(2) = 11 > 3. Cực đại chỉ là đỉnh nhỏ ở giữa.

⚖️

Làm mẫu

Tìm GTLN, GTNN của y = x⁴ − 2x² + 3 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧩 Phân thức, căn thức và tham số m

Cần nhớ

✦Phân thức bậc nhất ax + bcx + d đơn điệu trên từng khoảng xác định. Đoạn [p; q] nằm trong một khoảng xác định thì GTLN, GTNN ở hai đầu mút. Ví dụ: y = x − 1x + 1 trên [0; 3] có y(0) = −1 và y(3) = 0,5.
✦Hàm có căn: tìm tập xác định trước. Ví dụ: y = √(4 − x²) có D = [−2; 2]; y′ = −x/√(4 − x²) không tồn tại ở hai đầu mút nhưng hai đầu mút vẫn là ứng viên.
✦Có tham số m: giá trị hàm thường dịch theo m. Ví dụ: y = x² − 2x + m có GTNN trên ℝ bằng m − 1 (tại x = 1).

Dạng bài

Tìm m để GTLN (GTNN) bằng một số cho trước

1 Tìm các ứng viên (nghiệm y′ = 0 thuộc đoạn và hai đầu mút), viết y tại từng ứng viên theo m.
2 Xác định ứng viên nào cho giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Nếu m chỉ cộng thêm thì thứ tự không đổi.
3 Cho biểu thức đó bằng số đề cho, giải ra m.
4 Thử lại: thế m vào, tính lại mọi ứng viên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy y(0) = m làm GTNN rồi cho m = 4 là sai: lúc đó y(1) = 4 − 2 = 2 < 4, GTNN đã thành 2.

🎛️

Làm mẫu

Tìm m để GTNN của y = x³ − 3x + m trên đoạn [0; 2] bằng 4.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề cho đoạn [a; b]: luôn tính hai đầu mút. Đề cho khoảng hoặc ℝ: lập bảng biến thiên, đừng lấy đầu mút.
✦Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên cả đoạn: chỉ cần so y(a) với y(b), khỏi tìm cực trị.
✦x + a/x với x > 0, a > 0: GTNN = 2√a tại x = √a. Ví dụ: x + 4/x có GTNN = 4 tại x = 2.
✦Tam thức bậc hai: GTLN hoặc GTNN nằm ở đỉnh x = −b/(2a). Trên đoạn thì so thêm hai đầu mút.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên đầu mút. Phản ví dụ: y = x³ − 12x trên [0; 3] có GTLN = 0 tại đầu mút x = 0.
✦Giữ nghiệm y′ = 0 nằm ngoài đoạn. Cùng ví dụ trên: không được tính y(−2) = 16.
✦Cho GTLN bằng giá trị cực đại. Phản ví dụ: y = x⁴ − 2x² + 3 có cực đại 3 nhưng y(2) = 11.
✦Đề hỏi GTLN lại trả lời x (hoặc ngược lại). Với y = −x² + 4x trên [0; 3]: GTLN = 4, còn x = 2 là chỗ đạt.
✦Nghĩ hàm liên tục nào cũng có GTLN. Phản ví dụ: y = x trên (0; 1).
✦Bài tham số không thử lại. Với y = x³ − 3x + m trên [0; 2], lấy y(0) = m làm GTNN rồi cho m = 4 là sai vì y(1) = 2.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), cho x chạy từ a đến b với bước nhỏ. Quét cột giá trị để thấy số lớn nhất, nhỏ nhất gần đúng.
✦Chế độ giải phương trình bậc hai, bậc ba: giải nhanh y′ = 0, rồi tự lọc nghiệm thuộc đoạn.
✦Chức năng CALC: thế nhiều giá trị x (hai đầu mút, nghiệm của y′) vào cùng một hàm để so sánh.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📏

GTLN, GTNN trên một đoạn

1
Nhận biết
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm GTLN và GTNN của f trên đoạn này, ta so sánh giá trị của f tại
2
Thông hiểu
Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x³ + 3x² − 12x trên đoạn [0; 2] bằng
3
Thông hiểu Giá trị nhỏ nhất của y = x³ − 3x² − 9x + 2 trên đoạn [0; 4] bằng .
4
Thông hiểu
Giá trị lớn nhất của y = x⁴ − 2x² + 3 trên đoạn [0; 2] bằng
5
Thông hiểu
Giá trị lớn nhất của y = x + 4/x trên đoạn [1; 3] bằng
6
Vận dụng Gọi M, m là GTLN, GTNN của y = x³ − 3x² − 9x + 4 trên đoạn [−2; 2]. Khi đó M − m = .

🔭

Trên khoảng và trên ℝ

1
Nhận biết
Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x² + 2x + 3 trên ℝ bằng
2
Thông hiểu Giá trị nhỏ nhất của y = x² + 16/x trên khoảng (0; +∞) bằng .
3
Nhận biết
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² − 6x + 13 trên ℝ bằng
4
Vận dụng
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ trên ℝ bằng
5
Thông hiểu
Khẳng định nào đúng về hàm số y = x³ − 3x trên ℝ?

⚖️

Cực trị hay GTLN, GTNN?

1
Nhận biết
Số M là GTLN của hàm số f trên tập D khi
2
Thông hiểu
Hàm số y = x⁴ − 2x² + 3 trên ℝ
3
Thông hiểu Giá trị lớn nhất của y = −x⁴ + 2x² + 1 trên ℝ bằng .
4
Vận dụng Hàm số y = x³ − 3x trên đoạn [−2; 2] đạt GTLN tại bao nhiêu điểm? Đáp số:
5
Thông hiểu
Giá trị nhỏ nhất của y = −x² + 4x trên đoạn [0; 3] bằng

🧩

Phân thức, căn thức, tham số m

1
Thông hiểu
Giá trị lớn nhất của $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ trên đoạn [0; 3] bằng
2
Thông hiểu
Giá trị nhỏ nhất của y = √(4 − x²) trên tập xác định của nó bằng
3
Vận dụng Tìm m để GTNN của y = x² − 2x + m trên đoạn [0; 3] bằng 3. Đáp số: m =
4
Vận dụng Tìm m để GTLN của y = x³ − 3x + m trên đoạn [0; 2] bằng 5. Đáp số: m =
5
Vận dụng
Tìm m để GTNN của hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$ trên đoạn [2; 4] bằng 3.

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−2; 3], có bảng biến thiên: $x f^{'} (x) f (x) - 2 1 + ↗ 005 - ↘ 20 - 3 + ↗ 32$ Gọi M, m lần lượt là GTLN và GTNN của f trên [−2; 3]. Giá trị M + m bằng
2
Vận dụng
Gọi M, m là GTLN và GTNN của y = x + 4/x trên đoạn [1; 4]. Tích M·m bằng
3
Thông hiểu
Giá trị nhỏ nhất của y = x³ − 3x² trên đoạn [−1; 1] bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = 2x³ − 3x² − 12x + 5.

a)y′ = 6x² − 6x − 12.

b)Trên đoạn [−2; 3], GTLN của hàm số bằng 12 và đạt tại x = −1.

c)Trên đoạn [−2; 3], GTNN của hàm số bằng −4.

d)Trên đoạn [0; 3], GTLN của hàm số bằng 12.
2
Vận dụng
Cho hàm số y = x³ − 3x.

a)Hàm số đạt cực đại tại x = −1 với giá trị cực đại bằng 2.

b)Trên ℝ, hàm số có GTLN bằng 2.

c)Trên đoạn [−2; 2], GTLN của hàm số bằng 2 và đạt tại hai điểm.

d)Trên đoạn [0; 3], GTLN của hàm số bằng 2.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Gọi M, m là GTLN, GTNN của y = x³ − 6x² + 9x + 1 trên đoạn [0; 4]. Tính M − m. Đáp số:
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−4; 6] để GTNN của y = x³ − 3x + m trên đoạn [−2; 2] không âm? Đáp số:
3
Vận dụng Hai số x, y không âm có x + y = 6. Giá trị lớn nhất của x²y bằng .

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tìm GTLN hoặc GTNN trên một đoạn của hàm bậc ba, trùng phương hoặc phân thức, hay cho bảng biến thiên để đọc.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh cùng một hàm: ý dễ sai là lấy cực đại làm GTLN hoặc giữ nghiệm nằm ngoài đoạn.
•Phần III có thể là câu tham số m (GTLN, GTNN bằng một số cho trước) hoặc câu thực tế tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Nhớ thử lại ở đầu mút.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số