Chủ đề 3 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tìm và đếm tiệm cận đứng, ngang, xiên của đồ thị hàm số bằng cách so bậc, kiểm tử khác 0 và chia đa thức; giải bài tìm m theo số tiệm cận.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 3

⚡ Nhớ nhanh

1Tiệm cận ngang y = y₀: f(x) tiến về y₀ khi x → +∞ hoặc x → −∞. Tiệm cận đứng x = x₀: f(x) tiến ra ±∞ khi x → x₀.
2Hàm phân thức: so bậc tử và mẫu. Tử thấp hơn: y = 0. Cùng bậc: tỉ số hệ số cao nhất. Tử hơn đúng 1 bậc: có tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang.
3Mẫu bằng 0 chưa chắc cho tiệm cận đứng: phải kiểm tử khác 0 tại đó. Tử cũng bằng 0 mà rút gọn được thì chỉ là một lỗ thủng.
4Tiệm cận xiên tìm bằng chia đa thức: phần nguyên ax + b chính là tiệm cận.
5ax + bcx + d với ad − bc ≠ 0 luôn có đúng hai tiệm cận: x = −d/c và y = a/c.
6Thói quen chống sai: rút gọn trước khi đếm, và xét cả hai phía x → +∞ lẫn x → −∞.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo thanh "Lùi ra xa": đồ thị dính sát vào tiệm cận ngang hoặc xiên, còn sát chỗ mẫu bằng 0 thì vọt lên vô cực. Bấm mẫu (x² − 1)/(x − 1) để gặp chỗ mẫu bằng 0 mà không có tiệm cận đứng.

🔭 Lùi ra xa ±5

x → +∞

y(10) = 2,3333

y(100) = 2,0303

y(1000) = 2,003

Cách y = 2 chỉ còn 0,003 ở x = 1000

x → 1⁺

y(1,1) = 32

y(1,01) = 302

y(1,001) = 3002

Vọt lên vô cực ⇒ tiệm cận đứng.

Tiệm cận đứng: x = 1
Tiệm cận ngang: y = 2

Bậc tử = bậc mẫu ⇒ tiệm cận ngang y = a/c = 21 = 2. Mẫu bằng 0 tại x = 1 mà tử khác 0 ⇒ tiệm cận đứng x = 1.

1 ↔️ Tiệm cận ngang

Cần nhớ

✦Khi x → +∞ (hoặc x → −∞) mà f(x) → y₀ thì y = y₀ là tiệm cận ngang. Ví dụ: f(x) = 2 + 1/x → 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang.
✦Phân thức cùng bậc: lấy tỉ số hai hệ số cao nhất. Ví dụ: y = 3x + 1x − 2 có hệ số cao nhất 3 và 1 ⇒ y = 3.
✦Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì y = 0. Ví dụ: y = x + 3x² + 1 → 0 khi x → ±∞.
✦Có thể có hai tiệm cận ngang, mỗi phía một. Ví dụ: y = x/√(x² + 1) có y = 1 khi x → +∞ và y = −1 khi x → −∞.

So bậc tử và mẫu là biết ngay

Bậc tử so với bậc mẫu	Tiệm cận ngang	Tiệm cận xiên
Nhỏ hơn	y = 0	Không
Bằng nhau	y = (hệ số cao nhất của tử) : (của mẫu)	Không
Hơn đúng 1	Không có	Có, tìm bằng chia đa thức
Hơn từ 2 trở lên	Không	Không

Dạng bài

Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức

1 So bậc tử với bậc mẫu.
2 Cùng bậc thì lấy tỉ số hệ số cao nhất; tử thấp hơn thì y = 0; tử cao hơn thì không có.
3 Hàm có căn: chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của |x|, xét riêng x → +∞ và x → −∞.
4 Thử lại bằng một số lớn, ví dụ x = 1000.

⚠️ Bẫy hay gặp: Với y = x/√(x² + 1), nhiều bạn chỉ viết y = 1. Nhưng x → −∞ thì x = −|x| nên y → −1 (x = −1000 cho y ≈ −1). Hàm có hai tiệm cận ngang y = 1 và y = −1.

↔️

Làm mẫu

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị y = 4x² − 12x² + x + 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ↕️ Tiệm cận đứng

Cần nhớ

✦Khi x → x₀ (từ một phía) mà f(x) → +∞ hoặc −∞ thì x = x₀ là tiệm cận đứng. Ví dụ: y = 1x − 4 có x = 4.
✦Phân thức: giải mẫu = 0, rồi kiểm tử khác 0 tại nghiệm đó. Ví dụ: y = 1x² − 9 có tử luôn bằng 1 ⇒ hai tiệm cận đứng x = 3 và x = −3.
✦Tử cũng bằng 0 tại x₀ và rút gọn được thì không có tiệm cận đứng, chỉ là lỗ thủng. Ví dụ: y = x² − 9x − 3 = x + 3, thủng tại điểm (3; 6).
✦Đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận đứng, vì hàm không xác định tại x₀.

Dạng bài

Đếm tiệm cận đứng của hàm phân thức

1 Giải mẫu = 0, được các nghiệm x₀.
2 Thay từng x₀ vào tử. Tử ≠ 0: tiệm cận đứng.
3 Tử = 0: rút gọn nhân tử chung rồi xét lại; hết nhân tử ở mẫu thì chỉ là lỗ thủng.
4 Thử lại bằng x gần x₀ (ví dụ x₀ ± 0,001) xem y có ra rất lớn không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm 2 tiệm cận đứng vì mẫu có hai nghiệm ±1 là sai: x = 1 làm cả tử bằng 0 và rút gọn được.

↕️

Làm mẫu

Đồ thị y = x² − 3x + 2x² − 1 có mấy tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ↗️ Tiệm cận xiên

Cần nhớ

✦Có tiệm cận xiên khi bậc tử hơn bậc mẫu đúng 1. Cùng một phía, tiệm cận xiên và tiệm cận ngang không cùng tồn tại.
✦Cách nhanh: chia đa thức. Viết y = (ax + b) + dư/mẫu thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ: x² + 2x + 2x + 1 = x + 1 + 1x + 1 ⇒ y = x + 1.
✦Cách giới hạn: $a = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}$ và $b = lim_{x \to \infty} [f (x) - a x]$ .
✦Phần dư cho biết đồ thị nằm trên hay dưới tiệm cận. Ví dụ trên: x > −1 thì dư 1x + 1 > 0, đồ thị nằm trên y = x + 1.

Dạng bài

Tìm tiệm cận xiên bằng chia đa thức

1 Kiểm bậc: tử hơn mẫu đúng 1 bậc.
2 Chia: tử = (mẫu)(ax + b) + dư.
3 Tiệm cận xiên là y = ax + b. Kiểm tử khác 0 tại nghiệm mẫu để biết có tiệm cận đứng không.
4 Thử lại: nhân (mẫu)(ax + b) + dư ra phải trở về tử; thử x = 1000.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cắt bỏ mẫu rồi lấy y = 2x + 3 làm tiệm cận xiên là sai: ở x = 1000, 2x + 3 = 2003 còn y ≈ 1999,001, lệch 4 đơn vị chứ không tiến sát.

↗️

Làm mẫu

Tìm các tiệm cận của y = 2x² + 3x − 1x + 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔢 Đếm tiệm cận và bài có tham số m

Đếm nhanh theo dạng hàm

Dạng hàm	Tiệm cận đứng	Ngang hoặc xiên
ax + bcx + d, ad − bc ≠ 0	x = −d/c	Ngang y = a/c ⇒ luôn 2 tiệm cận
Bậc tử < bậc mẫu	Nghiệm mẫu không bị rút gọn	Ngang y = 0
Bậc tử = bậc mẫu	Nghiệm mẫu không bị rút gọn	Ngang y = tỉ số hệ số
Bậc tử = bậc mẫu + 1	Nghiệm mẫu không bị rút gọn	Xiên (chia đa thức), không có ngang

Cần nhớ

✦Giao điểm hai tiệm cận của ax + bcx + d là tâm đối xứng của đồ thị. Ví dụ: y = 2x + 1x − 1 có tiệm cận x = 1, y = 2 ⇒ tâm I(1; 2).
✦Hai tiệm cận cùng hai trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích |x₀|·|y₀|. Ví dụ: x = 1 và y = 2 cho diện tích 1·2 = 2.
✦Bài tham số: tiệm cận đứng phụ thuộc vào số nghiệm của mẫu và việc nghiệm nào làm tử bằng 0.

Dạng bài

Tìm m để đồ thị có đúng k tiệm cận đứng

1 Tìm điều kiện để mẫu có số nghiệm cần thiết (dùng Δ hoặc Δ′).
2 Tìm m làm một nghiệm của mẫu cũng làm tử bằng 0 (nghiệm bị rút gọn).
3 Ghép lại: đếm nghiệm mẫu trừ nghiệm bị rút gọn, loại các giá trị m sinh ra rút gọn.
4 Thử lại ở các m đầu mút và một m nằm trong đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ cho Δ′ > 0 rồi kết luận m < 1 là thiếu: m = −8 cũng thoả Δ′ > 0 (1 + 8 = 9 > 0) nhưng khi đó chỉ còn một tiệm cận đứng.

🎛️

Làm mẫu

Tìm m để đồ thị y = x + 2x² − 2x + m có đúng hai tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Phân thức bậc nhất trên bậc nhất (ad − bc ≠ 0): luôn đúng 2 tiệm cận, x = −d/c và y = a/c.
✦Đếm tiệm cận đứng: giải mẫu, kiểm tử, rút gọn rồi mới đếm.
✦Bậc tử ≤ bậc mẫu: có tiệm cận ngang, không xiên. Bậc tử = bậc mẫu + 1: có xiên, không ngang.
✦Hàm có căn: tự thử cả x = 1000 lẫn x = −1000 để xem có hai tiệm cận ngang không.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Mẫu bằng 0 là có tiệm cận đứng. Phản ví dụ: y = x² − 4x − 2 = x + 2 với x ≠ 2, không có tiệm cận đứng.
✦Chép tiệm cận đứng sang dạng y. Ví dụ: y = 3x − 1x + 2 có tiệm cận đứng x = −2 (không phải y = −2) và ngang y = 3.
✦Cộng cả ngang lẫn xiên. Phản ví dụ: y = x² + 1x − 1 chỉ có x = 1 và y = x + 1, tổng 2 tiệm cận.
✦Quên hướng x → −∞ của hàm có căn: y = x/√(x² + 1) có hai tiệm cận ngang y = ±1.
✦Tin đồ thị không được cắt tiệm cận ngang hay xiên. Phản ví dụ: y = 2x² + xx² + 1 cắt tiệm cận ngang y = 2 tại x = 2 (y(2) = 105 = 2). Chỉ tiệm cận đứng là không bao giờ bị cắt.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): cho x = 1000, 10000 hoặc −1000 để thấy f(x) tiến về đâu, đoán tiệm cận ngang.
✦Tính f(x₀ ± 0,001) bằng CALC: ra rất lớn là tiệm cận đứng, ra số hữu hạn là lỗ thủng.
✦Chế độ giải phương trình: tìm nghiệm của mẫu và của tử để biết có rút gọn không.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

↔️

Tiệm cận ngang

1
Nhận biết
Nếu f(x) → 3 khi x → +∞ thì
2
Thông hiểu Tiệm cận ngang của đồ thị y = 5x + 2x − 3 là y = .
3
Thông hiểu
Tiệm cận ngang của đồ thị y = 2x² + xx² + 1 là
4
Thông hiểu
Đồ thị y = x + 3x² + 1 có tiệm cận ngang là
5
Vận dụng
Đồ thị hàm số y = x/√(x² + 1) có bao nhiêu tiệm cận ngang?

↕️

Tiệm cận đứng

1
Nhận biết
Đồ thị y = 1x − 4 có tiệm cận đứng là
2
Thông hiểu
Đồ thị y = 1x² − 9 có bao nhiêu tiệm cận đứng?
3
Thông hiểu
Đồ thị y = x² − 9x − 3 có bao nhiêu tiệm cận đứng?
4
Thông hiểu Đồ thị y = x + 1x² − 3x + 2 có tiệm cận đứng.
5
Vận dụng
Số tiệm cận đứng của đồ thị y = x² − 3x + 2x² − 1 là

↗️

Tiệm cận xiên

1
Nhận biết
Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi
2
Thông hiểu
Tiệm cận xiên của đồ thị y = x² − x + 1x − 1 là
3
Thông hiểu Đồ thị y = x² + 3x + 5x + 1 có tiệm cận xiên y = x + .
4
Vận dụng
Tổng số đường tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị y = (x³ + 1)/x² là

🔢

Đếm tiệm cận và tham số m

1
Thông hiểu
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị y = 4x − 32x + 1 là
2
Vận dụng
Tổng số tiệm cận của đồ thị y = x − 1x² − 2x là
3
Thông hiểu Đồ thị y = mx + 1x − 2 có tiệm cận ngang y = 3 khi m = .
4
Vận dụng Hai tiệm cận của đồ thị y = 2x − 1x + 1 cùng hai trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng .
5
Vận dụng
Đồ thị y = x + 1x² − 2x + m có đúng một tiệm cận đứng khi

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Hàm số f có f(x) → 2 khi x → +∞, f(x) → −1 khi x → −∞ và f(x) → +∞ khi x → 1⁺. Đồ thị của f có bao nhiêu đường tiệm cận (đứng hoặc ngang)?
2
Thông hiểu
Tổng số tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị y = x − 2x² − 4 là
3
Vận dụng
Biết đồ thị y = ax + bx − 1 có tiệm cận ngang y = 2 và đi qua điểm A(0; −3). Giá trị a + b bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = 3x − 2x + 1.

a)Đồ thị có tiệm cận đứng x = −1.

b)Đồ thị có tiệm cận ngang y = −2.

c)Hai tiệm cận cùng hai trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 3.

d)Đồ thị cắt đường tiệm cận ngang tại đúng một điểm.
2
Vận dụng
Cho hàm số y = x² − x + 1x − 1.

a)Đồ thị có tiệm cận đứng x = 1.

b)Đồ thị có tiệm cận ngang y = 1.

c)Đồ thị có tiệm cận xiên y = x.

d)Đồ thị cắt tiệm cận xiên tại đúng một điểm.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Đồ thị y = 3x² + x + 1x − 1 có tiệm cận xiên y = ax + b. Tính a + b. Đáp số:
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−5; 5] để đồ thị y = x − 1x² − 4x + m có đúng hai tiệm cận đứng? Đáp số:
3
Thông hiểu Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị y = 2x + 3x − 1. Khoảng cách OI, làm tròn đến hàng phần trăm, bằng .

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường hỏi đếm tiệm cận của một phân thức, hay có bẫy nghiệm bị rút gọn, hoặc đọc giới hạn cho sẵn để đếm tiệm cận ngang, đứng.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một phân thức: ý dễ mất điểm là tiệm cận ngang so với xiên, hoặc đồ thị có cắt tiệm cận hay không.
•Phần III có thể là câu có tham số m (số tiệm cận đứng, tâm đối xứng) hoặc câu tính khoảng cách, diện tích từ hai tiệm cận; số lẻ thì làm tròn theo đề.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số