Chủ đề 12 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Tích phân

Tính tích phân bằng công thức Newton–Leibniz, dùng tính chất (đổi cận đổi dấu, tách đoạn), hiểu tích phân là diện tích có dấu và làm quen phép đổi biến có đổi cận.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 12

⚡ Nhớ nhanh

1Newton–Leibniz: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với F là một nguyên hàm của f. Nhớ trên trừ dưới.
2Tích phân xác định là một số, không có + C (hằng số C triệt tiêu khi trừ).
3Tính chất: $\int_{a}^{a} f = 0$ ; $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ ; $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ ; hằng số ra ngoài, tách được tổng và hiệu.
4Ý nghĩa hình học: tích phân là diện tích có dấu. Phần trên Ox tính dương, phần dưới Ox tính âm. Vì vậy $\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ .
5Đổi biến t = u(x) thì phải đổi cận theo t, rồi tính luôn theo t, không quay về x.
6Kiểm nhanh bằng ước lượng: (giá trị nhỏ nhất của f)·(b − a) ≤ tích phân ≤ (giá trị lớn nhất của f)·(b − a).

👀 Nhìn là hiểu

Kéo hai cận a, b: phần đồ thị trên Ox tô xanh, dưới Ox tô đỏ. Tích phân bằng xanh trừ đỏ, diện tích bằng xanh cộng đỏ. Bấm mẫu x trên [−2; 2] để thấy tích phân bằng 0 mà diện tích không.

Kéo trên hình để dời cận gần nhất.

Phần trên Ox

1,333

Phần dưới Ox

0,667

Tích phân = F(b) − F(a) với F(x) = x³/3 − x

∫ = 0,667 − (0) = 0,667 = xanh − đỏ

Diện tích = 2 = xanh + đỏ

Có phần nằm dưới Ox ⇒ tích phân ≠ diện tích. Tính diện tích phải tách đoạn tại chỗ đồ thị cắt Ox rồi cộng trị tuyệt đối.

1 🧮 Công thức Newton–Leibniz

Cần nhớ

✦ $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ . Ví dụ: $\int_{0}^{1} 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$ .
✦Kết quả là một số, không viết + C. Hằng số có mặt ở cả F(b) và F(a) nên triệt tiêu.
✦Cận trên trừ cận dưới: F(b) − F(a). Đảo lại sẽ ra số đối.
✦Cần f liên tục trên [a; b]. Ví dụ: $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x$ không tính được vì 1/x không xác định tại 0, nằm giữa hai cận.

Dạng bài

Tính tích phân bằng nguyên hàm

1 Tìm một nguyên hàm F của f (không cần + C).
2 Thay hai cận: tính F(b) và F(a).
3 Lấy F(b) − F(a).
4 Thử lại bằng ước lượng: kết quả nằm giữa (min f)·(b − a) và (max f)·(b − a).

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy F(1) − F(2) = −4 là sai dấu. Kiểm bằng ước lượng: f > 0 trên [1; 2] nên tích phân phải dương.

🧮

Làm mẫu

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x$

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Giá trị hay gặp (nên nhớ)

Tích phân	Kết quả
$\int_{0}^{π} sin x d x$	$2$
$\int_{0}^{π /2} cos x d x$	$1$
$\int_{0}^{1} e^{x} d x$	$e - 1$
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$	$1$
$\int_{0}^{1} x^{n} d x$ (n ≥ 0)	$\frac{1}{n + 1}$

Nguyên hàm ∫ f dx

Kết quả là một hàm số (cả họ), có + C. Đổi biến xong phải quay về x.

Tích phân ∫ₐᵇ f dx

Kết quả là một số, không có C. Đổi biến thì đổi cận, không quay về x.

2 🔧 Tính chất của tích phân

Cần nhớ

✦Cận trùng nhau: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ . Ví dụ: $\int_{1}^{1} (x^{5} + 3 x - 7) d x = 0$ , không cần tìm nguyên hàm.
✦Đổi cận thì đổi dấu: $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
✦Tách đoạn: $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ (c nằm đâu cũng được).
✦Tuyến tính: $\int_{a}^{b} [k f \pm l g] d x = k \int_{a}^{b} f \pm l \int_{a}^{b} g$ . Không có quy tắc cho tích.
✦Hằng số: $\int_{a}^{b} k d x = k (b - a)$ . Dễ quên nhân với độ dài b − a.

Dạng bài

Tính từ các tích phân đã cho

1 Viết đại lượng cần tìm thành tổng hoặc hiệu của các tích phân đã biết (tách đoạn hoặc tách hàm).
2 Để ý chiều cận: đảo cận thì đổi dấu.
3 Đừng quên phần hằng số: $\int_{a}^{b} k d x = k (b - a)$ .
4 Thử lại: các đoạn ghép lại phải vừa đủ [a; b].

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên độ dài: tính ∫₀⁴(2f − 1) = 22 − 1 = 21 là sai. Đúng là $\int_{0}^{4} 1 d x = 4$ nên được 22 − 4 = 18.

🔧

Làm mẫu

Biết $\int_{0}^{4} f (x) d x = 11$ , $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ , $\int_{2}^{4} f (x) d x = 3$ . Tính $\int_{1}^{2} f (x) d x$ và $\int_{0}^{4} (2 f (x) - 1) d x$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🏞️ Tích phân là diện tích có dấu

Cần nhớ

✦f ≥ 0 trên [a; b]: tích phân bằng diện tích miền nằm dưới đồ thị, trên Ox, giữa x = a và x = b.
✦f ≤ 0: tích phân âm, bằng trừ diện tích.
✦f đổi dấu: tích phân = (diện tích phần trên Ox) − (diện tích phần dưới Ox).
✦Hàm lẻ trên đoạn đối xứng [−a; a] cho tích phân 0. Ví dụ: $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ . Hàm chẵn thì gấp đôi nửa bên phải.

Dạng bài

Đọc tích phân từ hình

1 Xác định phần đồ thị nằm trên Ox và phần nằm dưới Ox.
2 Tính diện tích từng phần (là các số dương).
3 Phần trên mang dấu +, phần dưới mang dấu −, rồi cộng lại.
4 Thử lại bằng công thức Newton–Leibniz.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng cả hai diện tích: 2 + 12 = 52 là sai. Đó là diện tích hình phẳng (bài sau), không phải tích phân.

🏞️

Làm mẫu

$\int_{- 1}^{2} x d x$

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tích phân và diện tích: khi nào bằng nhau

Tình huống	Tích phân	Diện tích hình phẳng
f ≥ 0 trên [a; b]	Dương, bằng diện tích	$\int_{a}^{b} f d x$
f ≤ 0 trên [a; b]	Âm	$- \int_{a}^{b} f d x$
f đổi dấu	Hiệu hai phần	Chia đoạn rồi cộng độ lớn

4 🔄 Đổi biến có đổi cận (mức nhẹ)

Cần nhớ

✦Đặt t = u(x) ⇒ dt = u′(x) dx. Đổi cận: x chạy từ a đến b thì t chạy từ u(a) đến u(b).
✦Sau khi đổi cận thì tính theo t luôn. Khác với nguyên hàm (phải quay về x).
✦Dạng nhẹ nhất là f(ax + b): $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = [\frac{e ^{2 x}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e ^{2} - 1}{2} \approx 3, 19$ .
✦SGK Kết nối tri thức 12 (2018) không dạy đổi biến thành bài riêng; phần này chỉ để làm quen và để tránh lỗi quên đổi cận.

Dạng bài

Đổi biến t = u(x)

1 Chọn t = u(x) sao cho u′(x) dx xuất hiện sẵn trong đề.
2 Tính dt rồi đổi cận x → t.
3 Viết lại tích phân theo t và tính.
4 Thử lại bằng cách tính trực tiếp theo nguyên hàm của x.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên đổi cận, giữ cận 0 và 1 cho t: $[\frac{t ^{4}}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \neq = \frac{15}{4}$ . Cận đi theo biến.

🔄

Làm mẫu

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hai cận trùng thì đáp số là 0. Hàm lẻ trên [−a; a] cũng là 0. Nhìn thấy là khỏi tính.
✦Ước lượng trước: nếu f > 0 thì tích phân dương, nếu f < 0 thì âm. Loại ngay đáp án sai dấu.
✦Cho sẵn nhiều tích phân thì vẽ trục số các cận để ghép đoạn, đừng nhớ trong đầu.
✦Đổi biến xong là đổi luôn cận, đỡ phải quay về x và đỡ sai.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết thêm + C vào tích phân xác định. Tích phân là một số, không có C.
✦Lấy F(a) − F(b). Phản ví dụ: $\int_{1}^{3} 2 x d x = 8$ , đảo thành −8 là sai dấu.
✦Đổi biến mà không đổi cận. Phản ví dụ: $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4}$ , giữ cận 0 và 1 cho t ra $\frac{1}{4}$ .
✦Cho rằng tích phân luôn dương. Phản ví dụ: $\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ dù đồ thị có diện tích.
✦Cho rằng tích phân của tích bằng tích các tích phân. Phản ví dụ: $\int_{0}^{1} x \cdot x d x = \frac{1}{3}$ , còn $\int_{0}^{1} x d x \cdot \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{4}$ .
✦Quên nhân độ dài khi tích phân hằng số: $\int_{0}^{3} 5 d x = 15$ , không phải 5.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tích phân ∫: nhập hàm, cận dưới, cận trên rồi so với đáp án. Đây là cách thử lại nhanh nhất.
✦Với sin, cos phải để máy ở chế độ radian (cận có π). Để nhầm độ thì ra số lạ.
✦Chế độ d/dx: kiểm nguyên hàm F vừa tìm bằng cách đạo hàm lại.
✦Chế độ Bảng (TABLE): xem dấu f trên [a; b] để biết tích phân dương hay âm.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧮

Tính bằng Newton–Leibniz

1
Nhận biết
$\int_{0}^{2} x d x$ bằng
2
Nhận biết
Tích phân xác định $\int_{a}^{b} f (x) d x$ là
3
Thông hiểu
$\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$ bằng
4
Thông hiểu $\int_{0}^{π} sin x d x$ = .
5
Thông hiểu
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ bằng
6
Thông hiểu
$\int_{0}^{1} e^{x} d x$ bằng
7
Thông hiểu $\int_{0}^{π /2} (sin x + 2 cos x) d x$ = .

🔧

Tính chất của tích phân

1
Nhận biết
$\int_{2}^{2} (x^{5} - 7 x) d x$ bằng
2
Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{3} f (x) d x = 4$ . Khi đó $\int_{3}^{1} f (x) d x$ bằng
3
Thông hiểu Biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 7$ và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ . Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ = .
4
Thông hiểu Biết $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1$ . Khi đó $\int_{0}^{2} [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ = .
5
Vận dụng Biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5$ . Khi đó $\int_{0}^{3} [2 f (x) + 1] d x$ = .

🏞️

Diện tích có dấu

1
Nhận biết
Hàm f liên tục, f(x) ≥ 0 trên [a; b]. Khi đó $\int_{a}^{b} f (x) d x$ bằng
2
Thông hiểu
$\int_{- 1}^{1} x^{3} d x$ bằng
3
Vận dụng
$\int_{- 1}^{2} x d x$ bằng
4
Thông hiểu
Đồ thị hàm f trên [0; 2] nằm phía trên Ox và cùng Ox giới hạn miền có diện tích 4; trên [2; 5] nằm phía dưới Ox và cùng Ox giới hạn miền có diện tích 3. Khi đó $\int_{0}^{5} f (x) d x$ bằng

🔄

Đổi biến và đổi cận (nhẹ)

1
Thông hiểu
$\int_{0}^{1} e^{2 x} d x$ bằng
2
Vận dụng $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ =
3
Thông hiểu
Đặt t = x² + 1, tích phân $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ trở thành
4
Vận dụng
$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$ bằng
5
Vận dụng $\int_{0}^{π /2} sin x cos x d x$ =

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{3} f (x) d x = 5$ . Khi đó $\int_{1}^{3} [2 f (x) - 1] d x$ bằng
2
Thông hiểu
$\int_{1}^{2} (2 x - \frac{1}{x ^{2}}) d x$ bằng
3
Vận dụng
$\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số f(x) = 2x − 4 trên đoạn [0; 3].

a)f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 3].

b) $\int_{0}^{3} f (x) d x = - 3$ .

c) $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ .

d) $\int_{2}^{3} f (x) d x = 1$ .
2
Vận dụng
Cho hàm số f liên tục trên ℝ, biết $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ và $\int_{2}^{5} f (x) d x = - 1$ .

a) $\int_{0}^{5} f (x) d x = 3$ .

b) $\int_{5}^{2} f (x) d x = - 1$ .

c) $\int_{0}^{5} [2 f (x) + 1] d x = 7$ .

d) $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tính $\int_{- 1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x$ . Đáp số:
2
Vận dụng Tìm số thực a > 0 để $\int_{0}^{a} (2 x + 1) d x = 6$ . Đáp số: a =
3
Vận dụng Tính $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ , làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính tích phân bằng Newton–Leibniz hoặc suy ra tích phân từ các tích phân cho sẵn (đổi cận, tách đoạn, nhân hằng số).
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một hàm cụ thể hoặc các giá trị tích phân cho sẵn. Ý dễ mất điểm là dấu (đồ thị dưới Ox, đảo cận) và độ dài đoạn khi tích phân hằng số.
•Phần III có thể hỏi một giá trị tích phân (có thể có e, ln, π và cần làm tròn) hoặc tìm cận / tham số để tích phân bằng một số cho trước.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Ứng dụng hình học của tích phân