Chủ đề 13 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Ứng dụng hình học của tích phân

Tính diện tích hình phẳng (giữa đồ thị và trục Ox, giữa hai đồ thị), thể tích khối tròn xoay quanh Ox và thể tích vật thể theo diện tích thiết diện.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 13

⚡ Nhớ nhanh

1Diện tích giữa đồ thị y = f(x), trục Ox, x = a, x = b: $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ . Hàm đổi dấu thì chia đoạn tại các nghiệm của f.
2Giữa hai đồ thị: $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ . Đề không cho cận thì a, b là hoành độ giao điểm (giải f = g).
3Khối tròn xoay quanh Ox: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Nhớ cả π lẫn bình phương.
4Vật thể có diện tích thiết diện S(x): $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
5Ba bước chung: tìm giao điểm, chia đoạn, tích phân từng đoạn rồi cộng độ lớn.
6Kiểm nhanh: S ≥ 0, V ≥ 0, và V nhỏ hơn thể tích hình trụ bao ngoài.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo số lát cắt: khối tròn xoay được xếp bằng các đĩa mỏng, tổng thể tích các đĩa tiến sát V = π∫f(x)²dx. Bấm các mẫu nón, trụ, cầu để đối chiếu với công thức quen thuộc.

🔪 6 lát

Mỗi lát là một đĩa: bán kính f(xᵢ), dày Δx = 0,667, thể tích π·f(xᵢ)²·Δx.

Tổng 6 đĩa ≈ 25,133

V = π∫ f(x)² dx = 8π ≈ 25,133

Lệch 0. Cắt càng mỏng, tổng càng sát V: đó chính là tích phân.

Đây là khối giống quả trứng cắt đôi.

Bẫy: quên π ⇒ ra 8 ≈ 8; quên bình phương ⇒ tính π∫f dx, sai vì mỗi đĩa có diện tích πr².

1 📐 Diện tích giữa đồ thị và trục Ox

Cần nhớ

✦ $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ . Chỉ bỏ dấu |·| khi biết f cùng dấu trên cả [a; b].
✦f ≥ 0 trên [a; b]: $S = \int_{a}^{b} f d x$ . f ≤ 0: $S = - \int_{a}^{b} f d x$ .
✦f đổi dấu: giải f(x) = 0 trong (a; b), chia đoạn, mỗi đoạn lấy trị tuyệt đối của tích phân rồi cộng.
✦Ví dụ cảnh báo: y = x³ trên [−1; 1] có $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ nhưng diện tích $S = \frac{1}{2}$ .

Dạng bài

Tính diện tích khi hàm đổi dấu

1 Giải f(x) = 0, giữ các nghiệm nằm trong (a; b).
2 Chia [a; b] thành các đoạn con theo các nghiệm đó.
3 Tính tích phân từng đoạn, lấy trị tuyệt đối.
4 Cộng lại. Thử lại: S phải lớn hơn hoặc bằng |tích phân cả đoạn|.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính thẳng $\int_{0}^{3} (x^{2} - 2 x) d x = 0$ rồi kết luận diện tích bằng 0 là vô lý. Hai phần −43 và 43 triệt tiêu nhau, còn diện tích thật là 83.

📐

Làm mẫu

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 2x, trục Ox, x = 0 và x = 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tích phân và diện tích: khi nào bằng nhau

Tình huống	Tích phân $\int_a^bf$	Diện tích S
f ≥ 0 trên [a; b]	Bằng S	$\int_{a}^{b} f d x$
f ≤ 0 trên [a; b]	Âm	$- \int_{a}^{b} f d x$
f đổi dấu	Hiệu các phần	Chia đoạn, cộng độ lớn
f lẻ trên [−a; a]	Luôn bằng 0	Gấp đôi nửa bên phải

2 🔀 Diện tích giữa hai đồ thị

Cần nhớ

✦ $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
✦Đề không cho cận: giải f(x) = g(x), các nghiệm liên tiếp là cận. Nhiều nghiệm thì chia đoạn tại từng nghiệm.
✦Giữa hai nghiệm liên tiếp thì f − g không đổi dấu: thử một điểm giữa để biết đồ thị nào nằm trên, rồi lấy trên trừ dưới.
✦Kiểm nhanh: parabol cắt đường thẳng tại x₁ < x₂ thì $S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ , với a là hệ số của x² trong hiệu hai hàm. Ví dụ: y = x² và y = x cho $\frac{1 \cdot 1 ^{3}}{6} = \frac{1}{6}$ .

Dạng bài

Diện tích giữa hai đồ thị

1 Giải f(x) = g(x) để có các giao điểm làm cận.
2 Thử một điểm giữa hai giao điểm liên tiếp, xem đồ thị nào nằm trên.
3 S = ∫ (trên − dưới) trên từng đoạn rồi cộng.
4 Thử lại bằng công thức nhanh hoặc ước lượng hình.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy dưới trừ trên: $\int_{- 1}^{2} (x^{2} - x - 2) d x = - \frac{9}{2}$ , diện tích âm là vô lý. Phải lấy trên trừ dưới, hoặc đặt trị tuyệt đối.

🔀

Làm mẫu

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = x + 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🌀 Thể tích khối tròn xoay

Cần nhớ

✦Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b quanh trục Ox: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
✦Lát cắt vuông góc Ox là hình tròn bán kính |f(x)|, diện tích π·f². Đó là lí do có π và có bình phương.
✦Hai đồ thị 0 ≤ g ≤ f cùng quay: lát cắt là vành khăn, $V = π \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}) d x$ . Đó không phải π∫(f − g)².
✦Kiểm: V phải nhỏ hơn thể tích hình trụ bao ngoài (bán kính là giá trị lớn nhất của |f|, chiều cao b − a).

Dạng bài

Tính thể tích khối tròn xoay

1 Xác định f và hai cận a, b (đề không cho thì giải f = 0 hoặc f = g).
2 Viết $V = π \int_{a}^{b} f^{2} d x$ và bình phương f (với hàm căn, căn biến mất).
3 Tính tích phân, giữ π ở ngoài.
4 Thử lại bằng hình trụ bao ngoài.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết V = π∫₀⁴ √x dx = π·(23)·8 = 16π/3 là quên bình phương. Căn chỉ biến mất sau khi bình phương: (√x)² = x.

🌀

Làm mẫu

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh Ox.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Khối rỗng ruột (vành khăn)

1 Tìm giao điểm của hai đồ thị làm cận.
2 Xác định đồ thị ngoài f và đồ thị trong g (0 ≤ g ≤ f).
3 Tính $V = π \int (f^{2} - g^{2}) d x$ .
4 Thử lại bằng khối đặc ngoài trừ khối đặc trong.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng π∫(x − x²)² ra π/30, nhỏ hơn nhiều 2π/15. Lát cắt là vành khăn (hiệu hai bình phương), không phải đĩa bán kính x − x².

🍩

Làm mẫu

Quay hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = x² quanh Ox. Tính V.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🍞 Thể tích vật thể theo thiết diện

Cần nhớ

✦Vật thể nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc Ox tại x = a và x = b. Mặt phẳng vuông góc Ox tại x cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S(x). Khi đó $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
✦Khối tròn xoay là trường hợp riêng, với S(x) = π·f(x)².
✦Khâu khó nhất là viết S(x): hình vuông cạnh t thì S = t²; hình tròn bán kính r thì S = πr²; tam giác đều cạnh t thì $S = \frac{t ^{2} 3}{4}$ .

Dạng bài

Tính thể tích theo thiết diện

1 Chọn trục Ox và hai cận a, b theo bề dài của vật thể.
2 Viết S(x) theo x (hình vuông, tròn, tam giác…).
3 Tính V = ∫ S(x) dx.
4 Thử lại bằng công thức hình học đã biết nếu có (chóp, nón…).

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho thiết diện luôn là hình vuông cạnh 3 thì S = 9 và V = 27, đó là hình hộp. Chóp thì thiết diện thu nhỏ dần về đỉnh.

🍞

Làm mẫu

Chóp đều đáy là hình vuông cạnh 3, chiều cao 3. Tính thể tích bằng tích phân.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đồ thị đối xứng (hàm chẵn, hàm lẻ) thì tính nửa bên phải rồi nhân đôi. Ví dụ: S của y = x³ trên [−2; 2] bằng 2·4 = 8.
✦Parabol với đường thẳng: dùng $S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ để ra đáp án ngay.
✦Thể tích: so với hình trụ bao ngoài. Đáp án lớn hơn trụ chắc chắn sai.
✦Đề hỏi diện tích thì loại đáp án có π ở dạng công thức thể tích; đề hỏi thể tích khối tròn xoay thì đáp án thiếu π gần như chắc chắn sai.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Tính S = ∫f mà không chia đoạn. Phản ví dụ: y = x³ trên [−1; 1] cho 0, thật ra S = 12.
✦Quên bình phương: V = π∫f thay vì π∫f². Phản ví dụ: y = x trên [0; 1], π∫x dx = π/2, đúng là π/3.
✦Quên π: y = x trên [0; 1] cho 13, đúng là π/3.
✦Khối rỗng ruột mà dùng π∫(f − g)². Đúng là π∫(f² − g²): y = x và y = x² cho 2π/15, không phải π/30.
✦Đề không cho cận mà quên giải f = g. Ví dụ: y = x² và y = x phải giải x² = x để có cận 0 và 1, rồi mới ra S = 16.
✦Lấy dưới trừ trên rồi để nguyên số âm. Diện tích luôn dương.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tích phân ∫: nhập |f(x)| (hàm trị tuyệt đối) cùng hai cận để thử diện tích ngay, không cần tự chia đoạn.
✦Thể tích: nhập f(x)², nhân π của máy rồi so với đáp án.
✦Chế độ giải phương trình (bậc hai, bậc ba) để tìm giao điểm f = g làm cận.
✦Chế độ Bảng (TABLE): xem f − g dương hay âm trên từng đoạn để biết đồ thị nào ở trên.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📐

Diện tích giữa đồ thị và trục Ox

1
Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) (liên tục), trục Ox, x = a, x = b (a < b) được tính bởi
2
Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục Ox, x = 0, x = 1 bằng
3
Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 4 − x² và trục Ox bằng
4
Thông hiểu Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = −2 và x = 2 bằng .
5
Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox, x = 0 và x = 4 bằng
6
Thông hiểu Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin x, trục Ox, x = 0 và x = 2π bằng .
7
Vận dụng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 4x, trục Ox, x = 0 và x = 5 bằng

🔀

Diện tích giữa hai đồ thị

1
Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x) và hai đường x = a, x = b (a < b) được tính bởi
2
Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 2x bằng
3
Vận dụng Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³ và y = x bằng .
4
Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = eˣ, y = 1, x = 0 và x = 1 bằng

🌀

Thể tích khối tròn xoay

1
Nhận biết
Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay là
2
Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi y = x², Ox, x = 0, x = 1 quanh Ox bằng
3
Thông hiểu Hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 2 quay quanh Ox tạo khối có thể tích V = aπ. Khi đó a = .
4
Vận dụng
Quay hình giới hạn bởi y = eˣ, Ox, x = 0, x = 1 quanh Ox. Thể tích bằng
5
Vận dụng
Quay hình giới hạn bởi y = sin x, Ox, x = 0, x = π quanh Ox. Thể tích bằng
6
Vận dụng
Quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x và y = x quanh trục Ox. Thể tích bằng

🍞

Thể tích theo thiết diện

1
Thông hiểu
Vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = a, x = b; thiết diện vuông góc Ox tại x có diện tích S(x). Thể tích vật thể là
2
Thông hiểu Vật thể nằm giữa x = 0 và x = 3, thiết diện tại x có diện tích S(x) = 2x + 1. Thể tích bằng .
3
Thông hiểu
Vật thể nằm giữa x = 0 và x = 3, thiết diện vuông góc Ox tại x là hình vuông cạnh 2x. Thể tích bằng
4
Vận dụng
Hình nón có chiều cao 2 và bán kính đáy 2. Đặt trục từ đỉnh, thiết diện cách đỉnh x là hình tròn bán kính x. Thể tích tính bằng tích phân là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Vận dụng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 1, trục Ox, x = −2 và x = 2 bằng
2
Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi y = √(x + 1), Ox, x = 0, x = 3 quanh Ox bằng
3
Vận dụng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 2x + 3 bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox, x = 1 và x = 4. Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.

a) $V = π \int_{1}^{4} x d x$ .

b) $V = π \int_{1}^{4} x d x$ .

c) $V = \frac{15 π}{2}$ .

d)Làm tròn đến hàng phần mười, V ≈ 23,5.
2
Vận dụng
Cho hai hàm số y = x³ và y = 4x. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đó.

a)Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ −2; 0; 2.

b)Trên khoảng (−2; 0), đồ thị y = 4x nằm phía trên đồ thị y = x³.

c) $S = \int_{- 2}^{2} (4 x - x^{3}) d x$ .

d)S = 8.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Quay hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục Ox, x = 0 và x = 2 quanh Ox được khối có thể tích V = aπ. Tìm a. Đáp số:
2
Vận dụng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 3x và trục Ox. Đáp số:
3
Vận dụng Quay hình phẳng giới hạn bởi y = eˣ, trục Ox, x = 0, x = 1 quanh Ox. Tính thể tích, làm tròn đến hàng phần mười. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu diện tích giữa hai đồ thị hoặc giữa đồ thị với trục hoành, và câu thể tích khối tròn xoay quanh Ox. Hay có bẫy chọn đáp án thiếu π hoặc thiếu bình phương.
•Phần II có thể là một hình phẳng cụ thể với các ý: viết công thức tích phân, tìm giao điểm, chọn đồ thị ở trên, tính giá trị. Ý dễ mất điểm là hàm đổi dấu mà không chia đoạn.
•Phần III có thể hỏi một diện tích hoặc thể tích có π, e, cần làm tròn đến hàng phần mười hoặc phần trăm, hoặc tìm tham số để diện tích bằng số cho trước.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương trình mặt phẳng