Chủ đề 4 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Khảo sát hàm bậc ba, trùng phương, phân thức bậc nhất theo năm bước; nhận dạng đồ thị qua dấu a, b, c, d và biện luận số nghiệm của f(x) = m bằng bảng biến thiên.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 4

⚡ Nhớ nhanh

1Năm bước: tập xác định · y′ và giới hạn · bảng biến thiên · điểm đặc biệt (giao hai trục, điểm uốn) · vẽ.
2Bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn x = −b/(3a). Trùng phương đối xứng qua trục tung. Phân thức bậc nhất có hai tiệm cận và không có cực trị.
3Dấu a của bậc ba: nhánh phải đi lên là a > 0, đi xuống là a < 0. Giao trục tung là (0; d).
4Số nghiệm của f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị với đường nằm ngang y = m. Hai mốc là hai giá trị cực trị.
5Đường ngang đi qua đúng một điểm cực trị thì tiếp xúc ở đó: đừng đếm đủ nghiệm như khi m nằm giữa hai mốc.
6Thói quen chống sai: nghi ngờ đáp số thì thế một m cụ thể vào phương trình rồi giải trực tiếp.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi từng hệ số a, b, c, d bằng ± để thấy dạng đồ thị đổi, rồi kéo đường ngang y = m lên xuống: số giao điểm là số nghiệm của f(x) = m, và đổi khi m đi qua một giá trị cực trị.

Kéo lên xuống trên hình để dời đường y = m.

y = x³ − 3x² + 2

m = 1

Phương trình x³ − 3x² + 2 = 1 có 3 nghiệm (đường y = 1 cắt đồ thị tại 3 điểm).

• a = 1 > 0 ⇒ nhánh bên phải đi lên ↗.

• Cắt trục Oy tại (0; 2): chính là hệ số tự do.

• Số điểm cực trị: 2 (y′ có 2 nghiệm phân biệt).

• Giá trị cực trị: 2; −2. Cho m chạy qua các mốc này thì số nghiệm đổi.

1 🧭 Năm bước khảo sát

Cần nhớ

✦Bảng biến thiên phải ghi cả giới hạn ở hai đầu và các giá trị cực trị. Ví dụ: y = −x³ + 3x² − 4 có y → +∞ khi x → −∞ vì a = −1 < 0.
✦Điểm uốn của hàm bậc ba: y″ = 0 ⇔ x = −b/(3a). Ví dụ: y = x³ − 3x² + 4 có y″ = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1.
✦Điểm đặc biệt: giao trục tung (cho x = 0), giao trục hoành (cho y = 0). Thiếu chúng thì đồ thị vẽ lệch vị trí dù đúng dáng.
✦Nghiệm kép của y = 0 thì đồ thị chạm trục hoành rồi quay lại, không cắt xuyên qua.

Dạng bài

Khảo sát hàm số bậc ba

1 Tập xác định ℝ; giới hạn ở ±∞: dấu của a quyết định hướng hai nhánh.
2 Tính y′, giải y′ = 0, lập bảng biến thiên, ghi hai giá trị cực trị.
3 Điểm đặc biệt: giao trục tung, giao trục hoành, điểm uốn (y″ = 0).
4 Vẽ đường cong qua các điểm. Thử lại: điểm uốn phải là trung điểm của hai điểm cực trị.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhiều bạn chỉ vẽ theo bảng biến thiên mà quên giao Ox. Bảng không cho biết đồ thị đi qua (−1; 0). Và vì x = 2 là nghiệm kép, đồ thị chỉ chạm Ox tại cực đại (2; 0) chứ không cắt xuyên.

🧭

Làm mẫu

Khảo sát và vẽ đồ thị y = −x³ + 3x² − 4.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🔼 Hàm phân thức (2x − 1)/(x + 1)

D = ℝ \ {−1}; y′ = 3x + 1² > 0 ⇒ đồng biến từng khoảng; hai tiệm cận x = −1, y = 2; không có cực trị; giao Oy (0; −1), giao Ox (0,5; 0).

〰️ Hàm trùng phương x⁴ − 2x²

y′ = 4x(x² − 1); cực đại (0; 0), cực tiểu (±1; −1); đối xứng qua Oy; giao Ox tại x = 0 và x = ±√2.

2 🔍 Nhận dạng đồ thị và dấu hệ số

Ba dạng đồ thị phải nhận ra ngay

Dạng	Dấu hiệu trên đồ thị	Số cực trị
Bậc ba ax³ + bx² + cx + d	Tâm đối xứng là điểm uốn; nhánh phải lên ⇒ a > 0	2 hoặc 0
Trùng phương ax⁴ + bx² + c	Đối xứng qua trục tung; chữ W (a > 0) hoặc chữ M (a < 0) khi ab < 0	3 (ab < 0) hoặc 1 (ab ≥ 0)
Phân thức ax + bcx + d	Hai nhánh, hai tiệm cận	0, không bao giờ có

Cần nhớ

✦Bậc ba: nhánh phải đi lên ⇒ a > 0, đi xuống ⇒ a < 0. Đồ thị cắt trục tung tại (0; d).
✦Hai hoành độ cực trị x₁, x₂ là nghiệm y′ = 3ax² + 2bx + c: x₁ + x₂ = −2b/(3a) và x₁·x₂ = c/(3a). Từ tổng, tích suy ra dấu b, c.
✦Trùng phương: ab < 0 thì có ba cực trị, a > 0 là chữ W, a < 0 là chữ M. Cắt trục tung tại (0; c).
✦Phân thức: y′ = ad − bccx + d². ad − bc > 0 thì đồ thị đi lên trên từng nhánh, ad − bc < 0 thì đi xuống.

Dạng bài

Xác định dấu a, b, c, d từ đặc điểm đồ thị bậc ba

1 Nhánh phải đi lên hay xuống ⇒ dấu a.
2 Giao trục tung ở trên hay dưới gốc ⇒ dấu d.
3 Dùng tổng và tích hoành độ cực trị: −2b/(3a) và c/(3a) ⇒ dấu b, c.
4 Thử lại bằng một hàm cụ thể có đúng các đặc điểm đó.

⚠️ Bẫy hay gặp: "Nhánh phải đi lên" không có nghĩa đồ thị đi lên ở mọi nơi. Với y = x³ − 3x (a = 1 > 0), nhánh trái đi xuống: x = −10 cho y = −970. Chỉ cần nhìn nhánh bên phải để biết a.

🔍

Làm mẫu

Đồ thị y = ax³ + bx² + cx + d có nhánh phải đi lên, cực đại tại x = −1, cực tiểu tại x = 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xác định dấu a, b, c, d.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📐 Biện luận số nghiệm f(x) = m

Cần nhớ

✦Số nghiệm của f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường nằm ngang y = m.
✦Hai mốc là hai giá trị cực trị (tung độ, không phải hoành độ). Ví dụ: f(x) = x³ − 3x² có mốc 0 và −4.
✦m bằng đúng một giá trị cực trị thì đường ngang tiếp xúc đồ thị ở đó: một nghiệm kép, đếm nghiệm phân biệt chỉ tính một lần.
✦Phương trình f(x) = g(m): coi g(m) là tung độ đường ngang. Ví dụ: x³ − 3x = m + 1 ⇒ đường y = m + 1.

Số nghiệm của −x³ + 3x² − 4 = m (cực tiểu −4, cực đại 0)

m	Đường y = m	Số nghiệm
m > 0	Cao hơn cực đại	1
m = 0	Chạm cực đại	2
−4 < m < 0	Nằm giữa hai mốc	3
m = −4	Chạm cực tiểu	2
m < −4	Thấp hơn cực tiểu	1

Dạng bài

Biện luận số nghiệm bằng bảng biến thiên

1 Lập bảng biến thiên, ghi giá trị cực trị và giới hạn ở hai đầu.
2 Chia m thành các khoảng theo các mốc (các giá trị cực trị).
3 Đếm giao điểm của y = m ở từng khoảng, và đếm riêng từng mốc m.
4 Thử lại: lấy một m cụ thể rồi giải trực tiếp phương trình.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm 4 nghiệm cho m = 0 vì đường y = 0 "đi giữa" là sai: nó đi qua đỉnh (0; 0), nghiệm x = 0 chỉ là một nghiệm, tổng 3 nghiệm phân biệt.

📐

Làm mẫu

Biện luận theo m số nghiệm của x⁴ − 2x² = m.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎯 Tâm đối xứng và điểm uốn

Đối xứng của ba dạng đồ thị

Đồ thị	Đối xứng	Cách tìm
Bậc ba	Tâm đối xứng là điểm uốn	Giải y″ = 0, hay x = −b/(3a)
Trùng phương	Trục đối xứng là trục tung	(x₀; y₀) thuộc đồ thị ⇒ (−x₀; y₀) cũng thuộc
Phân thức bậc nhất	Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận	x = −d/c và y = a/c

Cần nhớ

✦Điểm uốn của bậc ba là trung điểm hai điểm cực trị. Ví dụ: y = x³ − 6x² + 9x + 1 có cực trị (1; 5), (3; 1), trung điểm (2; 3), và y″ = 6x − 12 = 0 ⇔ x = 2, y(2) = 3 ✓.
✦Trùng phương: y = x⁴ − 2x² + 3 đi qua (2; 11) thì cũng đi qua (−2; 11).
✦Hàm bậc ba không bao giờ đối xứng qua trục tung. Nếu chỉ có x³ và x (như x³ − 3x) thì đối xứng qua gốc toạ độ.

Dạng bài

Tìm tâm đối xứng của đồ thị bậc ba

1 Tính y′ rồi y″.
2 Giải y″ = 0 được x₀ (điểm uốn), hay dùng x₀ = −b/(3a).
3 Tính y₀ = y(x₀) ⇒ tâm I(x₀; y₀).
4 Thử lại: I là trung điểm của hai điểm cực trị.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy hoành độ điểm uốn là nghiệm của y′ = 0 là nhầm: x = 1 cho y′(1) = −3 + 6 = 3 ≠ 0. Điểm uốn là nghiệm của y″, còn nghiệm của y′ là các điểm cực trị.

🎯

Làm mẫu

Tìm tâm đối xứng của đồ thị y = −x³ + 3x² + 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Nhìn nhánh phải: đi lên ⇒ a > 0 (bậc ba và trùng phương). Rồi mới xét b, c, d.
✦Hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung (hoành độ dương) và a > 0 ⇒ b < 0, c > 0.
✦f(x) = m: đọc ngay từ hai giá trị cực trị, đừng giải phương trình. Bậc ba có 3 nghiệm khi m nằm trong hai mốc.
✦Phân thức bậc nhất: ad − bc > 0 là đồng biến, ad − bc < 0 là nghịch biến, khỏi lập bảng.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng đồ thị bậc ba đối xứng qua trục tung. Phản ví dụ: y = x³ − 3x² + 2 đối xứng qua điểm uốn (1; 0), không phải qua Oy.
✦Đếm 3 nghiệm khi m bằng đúng giá trị cực trị. Phản ví dụ: x³ − 3x = 2 có (x + 1)²(x − 2) = 0, chỉ 2 nghiệm phân biệt.
✦Nhầm hoành độ cực trị với giá trị cực trị khi chọn mốc cho m. Mốc của m là tung độ (giá trị).
✦Vẽ đồ thị chỉ từ bảng biến thiên, bỏ giao trục. Bảng không nói đồ thị cắt Ox ở đâu.
✦Cho hàm phân thức có cực trị. Phản ví dụ: y = 2x − 1x + 1 có y′ = 3x + 1² > 0, không bao giờ đổi dấu.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), xem cột giá trị để biết đồ thị đi lên, đi xuống, đoán vị trí cực trị.
✦Chế độ giải phương trình bậc ba: giải f(x) = m với một m cụ thể để đếm nghiệm thực, thử lại kết luận biện luận.
✦Chức năng CALC để thế nhanh x = 0 (giao Oy) và các điểm đặc biệt.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Các bước khảo sát và điểm đặc biệt

1
Nhận biết
Trong năm bước khảo sát hàm số, bước đầu tiên là
2
Thông hiểu Điểm uốn của đồ thị y = −x³ + 3x² − 4 có hoành độ x = .
3
Thông hiểu
Điểm cực tiểu của đồ thị y = x³ − 3x² + 4 là
4
Thông hiểu
Đồ thị y = 2x − 1x + 1 cắt trục tung tại điểm
5
Vận dụng Đồ thị y = −x³ + 3x² − 4 cắt trục hoành tại điểm phân biệt.

🔍

Nhận dạng đồ thị, dấu hệ số

1
Nhận biết
Đồ thị của hàm số nào sau đây đối xứng qua trục tung?
2
Thông hiểu
Đồ thị hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d có nhánh bên phải đi xuống. Khẳng định đúng là
3
Thông hiểu
Đồ thị y = ax⁴ + bx² + c chỉ có một cực trị, và đó là cực đại. Khẳng định đúng là
4
Thông hiểu
Hàm số y = ax + bcx + d có đồ thị đi xuống trên từng khoảng xác định. Khi đó
5
Vận dụng
Đồ thị y = ax³ + bx² + cx + d có nhánh phải đi lên, hai điểm cực trị đều có hoành độ dương và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định đúng là
6
Vận dụng
Đồ thị y = ax⁴ + bx² + c có dạng chữ W (ba cực trị) và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Khẳng định đúng là

📐

Biện luận số nghiệm f(x) = m

1
Nhận biết
Số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với
2
Thông hiểu
Phương trình x³ − 3x² = m có ba nghiệm phân biệt khi
3
Thông hiểu Phương trình x⁴ − 2x² = m có đúng ba nghiệm phân biệt khi m = .
4
Thông hiểu
Phương trình x³ − 3x = m có đúng hai nghiệm phân biệt khi
5
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình −x³ + 3x² − 4 = m có ba nghiệm phân biệt? Đáp số:
6
Vận dụng
Phương trình x⁴ − 2x² = m + 1 có đúng bốn nghiệm phân biệt khi

🎯

Tâm đối xứng và đối xứng

1
Thông hiểu Tâm đối xứng của đồ thị y = x³ − 9x² + 24x có hoành độ bằng .
2
Thông hiểu
Tâm đối xứng của đồ thị y = 2x + 1x − 1 là
3
Vận dụng Đồ thị y = x³ − 3x² + m có tâm đối xứng nằm trên trục hoành khi m = .
4
Nhận biết
Đồ thị y = x⁴ − 2x² + 3 đi qua điểm A(2; 11). Điểm nào sau đây cũng thuộc đồ thị?

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên: $x f^{'} (x) f (x) - \infty - \infty + ↗ - 1 03 - ↘ 10 - 1 + ↗ + \infty + \infty$ Phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
2
Thông hiểu
Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng chữ W (ba cực trị) và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương?
3
Vận dụng
Biết hàm số y = x³ + bx² + cx + 1 đạt cực trị tại x = 1 và x = 3. Giá trị b + c bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = x³ − 3x² + 1 có đồ thị (C).

a)Điểm cực đại của đồ thị (C) là (0; 1).

b)Điểm uốn của (C) có hoành độ x = 2.

c)Đồ thị (C) nhận điểm U(1; −1) làm tâm đối xứng.

d)Phương trình x³ − 3x² + 1 = m có ba nghiệm phân biệt khi −3 ≤ m ≤ 1.
2
Vận dụng
Cho hàm số y = x⁴ − 4x² + 3 có đồ thị (C).

a)Đồ thị (C) đối xứng qua trục tung.

b)Giá trị cực đại của hàm số bằng −1.

c)Đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

d)Phương trình y = m có đúng ba nghiệm phân biệt khi m = −1.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị y = x³ − 3x² + 1, làm tròn đến hàng phần trăm, bằng .
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−10; 10] để phương trình x³ − 3x + 1 = m có đúng một nghiệm? Đáp số:
3
Vận dụng Đồ thị hàm số y = ax⁴ + bx² + c đi qua điểm (0; 1) và có điểm cực tiểu (1; −1). Tính a − b + c. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường cho bảng biến thiên hoặc mô tả đồ thị để chọn dạng hàm, dấu hệ số a, b, c, d, hoặc đếm số nghiệm của f(x) = m.
•Phần II hay có một câu đúng/sai quanh một hàm bậc ba hoặc trùng phương cụ thể: cực trị, điểm uốn, tâm đối xứng và số nghiệm khi m nằm đúng ở mốc.
•Phần III có thể hỏi đếm số giá trị nguyên của m để f(x) = m có số nghiệm cho trước, hoặc tìm hệ số từ điểm cực trị. Nhớ loại hoặc giữ các mốc biên đúng.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn