Chủ đề 19 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Vẽ sơ đồ cây, tính xác suất của một biến cố bằng cách gom các nhánh (xác suất toàn phần) và đảo chiều điều kiện bằng công thức Bayes; hiểu vì sao xét nghiệm chính xác vẫn cho nhiều dương tính giả.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 19

⚡ Nhớ nhanh

1Sơ đồ cây: mỗi nút chia thành các nhánh có tổng xác suất bằng 1. Nhân dọc theo một đường đi được P(A ∩ B).
2Xác suất toàn phần (cộng ngang): $P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (A) P (B ∣ A)$ . Phải nhân trọng số P(A) trước rồi mới cộng.
3Công thức Bayes (chia): $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ . Tử là một nhánh dẫn tới B, mẫu là tổng mọi nhánh dẫn tới B.
4Ba chữ cần nhớ: nhân dọc, cộng ngang, rồi chia. Vẽ được cây thì không cần học thuộc công thức dài.
5Hai chiều điều kiện khác hẳn nhau: P(dương tính | mắc bệnh) = 0,99 không có nghĩa là P(mắc bệnh | dương tính) = 0,99. Bệnh càng hiếm thì khoảng cách càng lớn.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo tỉ lệ mắc bệnh, độ nhạy, dương tính giả trên 1000 chấm người. Bật "Chỉ xem người dương tính": khi bệnh hiếm, dương tính giả đông hơn hẳn dương tính thật, nên P(bệnh | dương tính) nhỏ bất ngờ.

● mắc bệnh · ● không bệnh · chấm viền đậm = dương tính

Chỉ xem người dương tính

Mắc bệnh P(B) 1%Độ nhạy P(+ | B) 99%Dương tính giả P(+ | B̄) 2%

Trong 1000 người (làm tròn):

• 10 người bệnh → 10 dương tính đúng

• 990 người lành → 20 dương tính giả

• Dương tính cả thảy: 10 + 20 = 30, bệnh thật chỉ 10

Nhân dọc, cộng ngang (xác suất toàn phần):

P(+) = 0,01·0,99 + 0,99·0,02 = 0,0297

Rồi chia (Bayes):

P(B | +) = 0,0099 / 0,0297 ≈ 33,3%

Xét nghiệm chính xác 99% mà dương tính thì khả năng bệnh thật chỉ 33%: người lành đông gấp nhiều lần nên số dương tính giả lấn át.

1 🌳 Sơ đồ cây: nhân dọc

Cần nhớ

✦Tầng 1 chia theo A và $A$ (nhóm đầy đủ: hai nhánh không chung kết quả và tổng xác suất 1). Tầng 2 chia theo B và $B$ trên mỗi nhánh của tầng 1.
✦Số ghi trên nhánh tầng 2 là xác suất có điều kiện (khi đã đi qua nút phía trước): P(B | A), P( $B$ | A), P(B | $A$ ), P( $B$ | $A$ ).
✦Nhân dọc: xác suất một đường đi bằng tích các số trên đường đó, và đó là P(A ∩ B), P(A ∩ $B$ )... Ví dụ: P(A) = 0,3, P(B | A) = 0,8 ⇒ P(A ∩ B) = 0,24.
✦Tổng xác suất của mọi đường đi trong cây phải bằng 1. Dùng để thử lại.

Dạng bài

Vẽ cây và tính xác suất từng đường đi

1 Chọn biến cố tầng 1 (cái xảy ra trước hoặc là nguyên nhân) và tầng 2 (kết quả).
2 Ghi xác suất lên nhánh, kiểm các nhánh từ cùng một nút có tổng bằng 1.
3 Nhân dọc từng đường đi để được xác suất giao.
4 Thử lại: tổng các tích bằng 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Ghi số 0,2 trên nhánh II → đỏ là sai chỗ: nhánh đó phải là P(đỏ | II) = 0,6. Số trên nhánh tầng 2 luôn là xác suất điều kiện theo nút trước nó.

🌳

Làm mẫu

Hộp I có 2 bi đỏ, 8 bi xanh; hộp II có 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp (mỗi hộp xác suất 12) rồi lấy một bi. Tính xác suất của bốn đường đi trên cây.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ➕ Công thức xác suất toàn phần: cộng ngang

Cần nhớ

✦ $P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (A) P (B ∣ A)$ : gom mọi đường đi trên cây dẫn tới B rồi cộng.
✦Mở rộng với nhóm đầy đủ A₁, A₂, A₃: P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + P(A₃) P(B | A₃), trong đó P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) = 1.
✦P(B) là trung bình có trọng số của các P(B | Aᵢ), nên luôn nằm giữa số nhỏ nhất và số lớn nhất của chúng. Dùng để thử lại.

Dạng bài

Tính xác suất toàn phần

1 Chia theo "nguyên nhân" Aᵢ (nhà máy, hộp, nhóm bệnh nhân...), kiểm tổng P(Aᵢ) bằng 1.
2 Với mỗi Aᵢ, nhân dọc P(Aᵢ) · P(B | Aᵢ).
3 Cộng ngang các tích.
4 Thử lại: P(B) nằm giữa các P(B | Aᵢ).

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thẳng 0,03 + 0,06 = 0,09 là sai (và còn lớn hơn cả 0,06). Quên nhánh dây chuyền II mà chỉ lấy 0,021 cũng sai. Phải nhân trọng số rồi cộng đủ nhánh.

🏭

Làm mẫu

Dây chuyền I làm 70% sản phẩm với tỉ lệ lỗi 3%; dây chuyền II làm 30% với tỉ lệ lỗi 6%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất nó bị lỗi.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hay lẫn: ba loại số trong cùng một cây

Loại số	Ví dụ ở trên	Ghi chú
Xác suất tầng 1 P(I)	0,7	Tổng các nhánh tầng 1 bằng 1
Xác suất điều kiện P(lỗi \| I)	0,03	Ghi trên nhánh tầng 2; không cộng chéo giữa hai nút
Xác suất giao P(I ∩ lỗi)	0,021	Tích nhân dọc; cộng các tích này mới được P(lỗi)

3 🔄 Công thức Bayes: chia

Cần nhớ

✦ $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( A ) P ( B ∣ A ) + P ( A ) P ( B ∣ A )}$ : mẫu số chính là xác suất toàn phần P(B).
✦Bayes đảo chiều điều kiện: biết kết quả B, tìm xác suất nguyên nhân A. Chữ báo hiệu: "biết rằng sản phẩm bị lỗi, xác suất nó do dây chuyền I".
✦Bayes chỉ là P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) với tử viết bằng nhân dọc, mẫu viết bằng cộng ngang.
✦Các xác suất nguyên nhân cộng lại bằng 1: P(A | B) + P( $A$ | B) = 1. Dùng để thử lại.

Dạng bài

Nhân dọc, cộng ngang, rồi chia

1 Vẽ cây, nhân dọc để có P(Aᵢ ∩ B) của các đường dẫn tới B.
2 Cộng ngang các tích đó được P(B).
3 Chia tích của nhánh cần tìm cho P(B).
4 Thử lại: cộng các P(Aᵢ | B) được 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dây chuyền II chỉ làm 30% nhưng trong hàng lỗi chiếm gần 46%, vì lỗi nhiều gấp đôi. Chọn đáp án 0,3 (xác suất ban đầu) hoặc 0,06 (P(lỗi | II)) đều sai: Bayes cân cả hai yếu tố.

🔄

Làm mẫu

Với dây chuyền ở ví dụ trên: biết sản phẩm bị lỗi, tính xác suất nó do dây chuyền II làm.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

➡️ P(B | A): xuôi

Biết nguyên nhân A, tìm xác suất kết quả B. Đề cho sẵn (nằm trên nhánh tầng 2). Ví dụ: P(lỗi | II) = 0,06.

⬅️ P(A | B): ngược (Bayes)

Biết kết quả B, tìm xác suất nguyên nhân A. Phải tính bằng nhân dọc, cộng ngang, chia. Ví dụ: P(II | lỗi) = 613.

4 🧪 Xét nghiệm và dương tính giả

Cần nhớ

✦Ba số của một xét nghiệm: tỉ lệ mắc P(M) (trước khi xét nghiệm), P(D | M) (dương tính khi có bệnh), P(D | $M$ ) (dương tính giả).
✦"Chính xác 90%" thường chỉ là P(D | M). Số người cần biết là P(M | D), tính bằng Bayes.
✦Cách nhìn dễ nhất: tưởng tượng 1000 người, đếm xem bao nhiêu người mắc và dương tính, bao nhiêu người lành mà vẫn dương tính, rồi chia.

Dạng bài

Tính P(mắc bệnh | dương tính)

1 Ghi P(M), P(D | M), P(D | $M$ ) và P( $M$ ) = 1 − P(M).
2 Nhân dọc hai đường dẫn tới D: P(M) · P(D | M) và P( $M$ ) · P(D | $M$ ).
3 Cộng ngang được P(D), rồi chia nhánh "mắc bệnh" cho P(D).
4 Thử lại bằng cách đếm trên 1000 người.

⚠️ Bẫy hay gặp: Xét nghiệm "đúng 90%" mà người dương tính chỉ mắc bệnh với xác suất khoảng 43%. Nhóm lành đông gấp 24 lần (960 so với 40) nên 5% của nhóm này (48 người) vẫn nhiều hơn số dương tính thật (36 người).

🧪

Làm mẫu

Bệnh X có 4% dân số mắc. Xét nghiệm cho kết quả dương tính ở 90% người mắc và ở 5% người lành. Một người xét nghiệm dương tính. Tính xác suất người đó thật sự mắc bệnh.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Cùng một xét nghiệm (nhạy 90%, giả 5%), đổi tỉ lệ mắc

Tỉ lệ mắc P(M)	Mắc & dương	Lành & dương	P(M \| D)
1%	0,009	0,0495	≈ 15%
4%	0,036	0,048	≈ 43%
10%	0,09	0,045	≈ 67%
40%	0,36	0,03	≈ 92%

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy "biết rằng ... , xác suất nó do/từ ..." là Bayes: tử số là một nhánh, mẫu số là tổng các nhánh dẫn tới kết quả đã biết.
✦Đã tính P(B) thì chỉ cần tính tử số cho từng nguyên nhân: các thương phải cộng bằng 1, không cần làm lại từ đầu.
✦Kiểm nhanh P(B): phải nằm giữa số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các P(B | Aᵢ).
✦Đề cho phần trăm của "tổng thể" thì chọn tổng thể là 1000 hoặc 10 000 người để đếm thay cho nhân số thập phân.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cộng thẳng P(B | A) + P(B | $A$ ). Phản ví dụ: 0,03 + 0,06 = 0,09 > 0,06, vượt cả số lớn nhất.
✦Quên nhánh còn lại khi cộng ngang: chỉ lấy 0,018 làm P(lỗi) thay vì 0,018 + 0,021 = 0,039.
✦Nhầm P(A | B) với P(B | A): xét nghiệm 90% chính xác ≠ dương tính thì 90% mắc bệnh (thực tế 37 ≈ 43% khi tỉ lệ mắc 4%).
✦Nhầm P(A ∩ B) với P(B | A): 0,96 · 0,05 = 0,048 là xác suất "lành và dương tính", còn 0,05 là xác suất dương tính trong nhóm lành.
✦Bỏ qua xác suất ban đầu P(A): cùng xét nghiệm 90%/5%, tỉ lệ mắc 1% cho P(M | D) ≈ 15% còn tỉ lệ mắc 40% cho ≈ 92%.
✦Lập nhóm không đầy đủ: nhà máy A 50%, B 30% và quên nhà máy C 20%. Tổng các xác suất tầng 1 phải bằng 1 trước khi tính.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Dùng bộ nhớ cộng dồn (M+) để cộng các nhánh: nhân dọc từng nhánh rồi cộng vào bộ nhớ, gọi ra làm mẫu số Bayes.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập hàm $f (x) = \frac{0 , 9 x}{0 , 9 x + 0 , 05 ( 1 - x )}$ (x là tỉ lệ mắc), cho x chạy từ 0,1 với bước 0,1 để thấy P(M | D) tăng nhanh theo x.
✦Giữ kết quả ở dạng phân số (37, 613...) trước khi làm tròn đến hàng phần trăm.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🌳

Sơ đồ cây và nhân dọc

1
Nhận biết
Trên sơ đồ cây, xác suất của đường đi gốc → A → B bằng
2
Nhận biết
Hai nhánh B và $B$ xuất phát từ cùng một nút A có tổng xác suất bằng
3
Thông hiểu Cho P(A) = 0,3 và P(B | A) = 0,8. Xác suất đường đi A → B là .
4
Thông hiểu
Cho P( $A$ ) = 0,7 và P(B | $A$ ) = 0,1. Xác suất đường đi $A$ → $B$ bằng
5
Thông hiểu Hộp I có 2 bi đỏ, 8 bi xanh; hộp II có 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi. Xác suất chọn hộp II và lấy được bi xanh là .

➕

Xác suất toàn phần

1
Nhận biết
Công thức xác suất toàn phần của biến cố B theo nhóm A, $A$ là
2
Thông hiểu Cho P(A) = 0,4; P(B | A) = 0,5; P(B | $A$ ) = 0,2. Khi đó P(B) = .
3
Thông hiểu
Phân xưởng 1 làm 80% sản phẩm với tỉ lệ lỗi 1%; phân xưởng 2 làm 20% với tỉ lệ lỗi 6%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất nó bị lỗi là
4
Thông hiểu
Lớp 12A có 40% học sinh nam và 60% học sinh nữ. Tỉ lệ học sinh giỏi ở nam là 25%, ở nữ là 30%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, xác suất bạn đó giỏi là
5
Vận dụng Ba máy A, B, C làm lần lượt 40%, 40%, 20% số chi tiết, với tỉ lệ phế phẩm lần lượt 2%, 3%, 5%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết, xác suất nó là phế phẩm là .

🔄

Công thức Bayes

1
Nhận biết
Công thức Bayes cho P(A | B) là
2
Thông hiểu Với dữ liệu phân xưởng 1 (80%, lỗi 1%) và phân xưởng 2 (20%, lỗi 6%): lấy một sản phẩm thấy bị lỗi, xác suất nó do phân xưởng 2 làm là .
3
Thông hiểu
Cho P(A) = 0,4; P(B | A) = 0,5; P(B | $A$ ) = 0,2. Giá trị P(A | B) bằng
4
Vận dụng Hộp I có 2 bi đỏ, 8 bi xanh; hộp II có 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi, được bi đỏ. Xác suất bi đó lấy từ hộp II là .
5
Vận dụng
Ba máy A, B, C làm lần lượt 40%, 40%, 20% số chi tiết, tỉ lệ phế phẩm lần lượt 2%, 3%, 5%. Lấy một chi tiết thấy là phế phẩm, xác suất nó do máy C làm là

🧪

Xét nghiệm và dương tính giả

1
Thông hiểu
Một xét nghiệm có P(D | M) = 0,99 (D: dương tính, M: mắc bệnh). Điều đó có nghĩa là
2
Thông hiểu Trong 1000 người có 10 người mắc bệnh. Xét nghiệm dương tính ở 90% người mắc và ở 10% người lành. Xác suất một người dương tính thật sự mắc bệnh là (làm tròn đến hàng phần trăm) .
3
Vận dụng Một xét nghiệm dương tính ở 90% người mắc và ở 5% người lành. Biết 10% dân số mắc bệnh, xác suất một người dương tính thật sự mắc bệnh là (làm tròn đến hàng phần trăm) .
4
Vận dụng
Vì sao khi một bệnh rất hiếm, phần lớn kết quả dương tính của một xét nghiệm khá chính xác vẫn là dương tính giả?
5
Vận dụng Bệnh có tỉ lệ mắc 1%. Xét nghiệm dương tính ở 80% người mắc và ở 4% người lành. Xác suất người dương tính thật sự mắc bệnh là (làm tròn đến hàng phần trăm) .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Hộp A có 5 bi đỏ và 5 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 8 bi xanh. Gieo một đồng xu cân đối: ngửa thì lấy hộp A, sấp thì lấy hộp B, rồi lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp đã chọn. Xác suất lấy được bi đỏ là
2
Vận dụng
Với dữ kiện của câu trước, lấy được bi đỏ. Xác suất bi đó lấy từ hộp A là
3
Vận dụng
Một bệnh có 5% dân số mắc. Xét nghiệm dương tính ở 95% người mắc và ở 5% người lành. Một người dương tính, xác suất người đó thật sự mắc bệnh là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Một cửa hàng nhập điện thoại từ hai nhà cung cấp X và Y. Nhà X cung cấp 70% số máy với tỉ lệ máy lỗi 2%; nhà Y cung cấp 30% với tỉ lệ máy lỗi 5%. Chọn ngẫu nhiên một máy trong cửa hàng.

a)Xác suất chọn được máy do nhà Y cung cấp và bị lỗi là 0,015.

b)Xác suất chọn được máy bị lỗi là 0,07.

c)Biết máy bị lỗi, xác suất máy đó do nhà Y cung cấp bằng 0,3.

d)Biết máy bị lỗi, khả năng máy đó do nhà Y cung cấp lớn hơn khả năng do nhà X cung cấp.
2
Vận dụng
Một bệnh có 2% dân số mắc. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính ở 90% người mắc và ở 5% người lành. Chọn ngẫu nhiên một người.

a)Xác suất người đó mắc bệnh và dương tính là 0,018.

b)Xác suất người đó không mắc bệnh mà dương tính là 0,05.

c)Xác suất người đó có kết quả dương tính là 0,067.

d)Biết người đó dương tính, xác suất người đó mắc bệnh lớn hơn 0,5.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Một xạ thủ chọn ngẫu nhiên một trong hai súng: súng 1 bắn trúng bia với xác suất 0,9; súng 2 với xác suất 0,6. Xác suất xạ thủ bắn trúng bia là bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Ba nhà máy A, B, C cung cấp lần lượt 50%, 30%, 20% số sản phẩm, với tỉ lệ lỗi lần lượt 1%, 2%, 5%. Lấy một sản phẩm thấy bị lỗi, xác suất nó do nhà máy C làm là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:
3
Vận dụng Một bệnh có 10% dân số mắc. Xét nghiệm dương tính ở 80% người mắc và ở 10% người lành. Một người dương tính, xác suất người đó thật sự mắc bệnh là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường có câu tính xác suất toàn phần hoặc P(A | B) từ tình huống hai hộp bi, hai nhà máy. Bẫy hay có là cộng thẳng hai xác suất điều kiện hoặc quên một nhánh.
•Phần II hay có một tình huống có thể vẽ cây (nhà cung cấp, xét nghiệm) với 4 ý đi dần từ nhánh (nhân dọc), toàn phần (cộng ngang) đến Bayes (chia).
•Phần III có thể hỏi P(A | B) của xét nghiệm hoặc nhà máy kèm làm tròn đến hàng phần trăm: giữ phân số, làm tròn một lần ở cuối.

Làm đề thi thử trọn bộ