Thể tích
Tính thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp; xác định đúng chiều cao; dùng tỉ số thể tích để tính phần bị cắt của chóp tam giác và biết khi nào phải chia chóp tứ giác ra trước.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 27
⚡ Nhớ nhanh
- 1Lăng trụ và hộp: V = S·h. Khối chóp: V = (13)·S·h, với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
- 2Chiều cao h là khoảng cách từ đỉnh (hoặc từ đáy trên) đến mặt phẳng đáy, không phải cạnh bên. Chỉ trùng cạnh bên khi cạnh đó vuông góc với đáy.
- 3Chóp cụt đều có hai đáy diện tích S và S′, chiều cao h: V = (13)·h·(S + S′ + √(S·S′)).
- 4Tỉ số thể tích (chóp tam giác chung đỉnh S): V(S.A′B′C′)/V(S.ABC) = (SA′/SA)·(SB′/SB)·(SC′/SC). Ba điểm phải nằm trên ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh.
- 5Chóp có đáy tứ giác thì không nhân thẳng ba tỉ số: chia thành hai chóp tam giác (bằng một đường chéo), tính từng phần rồi cộng.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo M trên SB và N trên SC của hình chóp S.ABC: thể tích khối S.AMN so với S.ABC luôn bằng (SM/SB)·(SN/SC). Bấm nút "Bẫy: đáy tứ giác" để thấy với chóp S.ABCD, nhân thẳng ba tỉ số (2/3)(1/2)(2/3) = 2/9 là sai, phải chia đôi bằng (SAC) mới ra V/3.
Kéo trên hình để xoay.
S(đáy) = a² · h = SA = 2a
V = (1/3)·a²·2a = 2a³/3
V = 2a³/3
SA ⊥ (ABCD) nên SA là đường cao, h = 2a. Đáy hình vuông cạnh a có diện tích a². V = (1/3)·S(đáy)·h = (1/3)·a²·2a = 2a³/3. Hệ số 1/3 là chỗ hay quên (khối lăng trụ mới là S·h).
1 🔺 Thể tích khối chóp
Cần nhớ
- ✦V = (13)·S·h. Ví dụ: đáy diện tích 12, chiều cao 5 ⇒ V = (13)·12·5 = 20.
- ✦Tìm h trước: h là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy. SA ⊥ (đáy) ⇒ h = SA. Chóp đều ⇒ chân đường cao là tâm đáy, h = SO.
- ✦Khối chóp bằng một phần ba khối lăng trụ cùng đáy, cùng chiều cao. Chia lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ bằng hai mặt phẳng (A′BC) và (A′B′C) ra ba khối chóp có thể tích bằng nhau.
- ✦Đáy hay gặp: hình vuông cạnh a có S = a², hình chữ nhật S = ab, tam giác vuông S = (12)·hai cạnh góc vuông, tam giác đều cạnh a có S = a²√34.
Dạng bài
Tính thể tích khối chóp
- 1 Xác định chiều cao h: đường từ đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy (SA ⊥ đáy, hoặc SO với O là tâm đáy của chóp đều).
- 2 Tính diện tích đáy S.
- 3 Thay vào V = (13)·S·h.
- 4 Thử lại bằng một cách khác (đổi đơn vị, đối chiếu với lăng trụ cùng đáy: V chóp = V lăng trụ chia 3).
⚠️ Bẫy hay gặp: Nếu đề đổi thành "cạnh bên SB = 2a" thì SA không còn bằng 2a: SA² = SB² − AB² = 4a² − a² = 3a², SA = a√3 và V = a³√33. Luôn hỏi "đoạn này có vuông góc đáy không?" trước khi gọi nó là chiều cao.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Chóp đều: tìm chiều cao qua cạnh bên
- 1 Chóp đều S.ABCD: O là tâm đáy, SO ⊥ (ABCD). Tính AO = nửa đường chéo đáy.
- 2 Tam giác SOA vuông tại O: SO² = SA² − AO².
- 3 Tính S đáy, rồi V = (13)·S·SO.
- 4 Thử lại: SO² + AO² = SA².
⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn cạnh bên 2√6 làm chiều cao cho V = (13)·16·2√6. Cạnh bên của chóp đều dài hơn chiều cao (24 > 16), nên kết quả sai.
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4 và cạnh bên bằng 2√6. Tính thể tích.
Hướng dẫn giải
2 📦 Thể tích lăng trụ và hình hộp
Cần nhớ
- ✦V = S·h cho mọi lăng trụ, kể cả hình hộp. Ví dụ: hộp chữ nhật kích thước a, b, c có V = abc; hình lập phương cạnh a có V = a³.
- ✦Lăng trụ đứng: cạnh bên vuông góc đáy nên h = độ dài cạnh bên.
- ✦Lăng trụ xiên: h = khoảng cách giữa hai mặt đáy, ngắn hơn cạnh bên. Cạnh bên ℓ hợp với đáy góc α thì h = ℓ·sin α.
- ✦Đẩy lệch một chồng sách: thể tích không đổi dù cạnh bên dài ra, vì S và h không đổi.
Chiều cao là gì? Đừng nhầm với cạnh bên
| Hình | Chiều cao h | So với cạnh bên |
|---|---|---|
| Lăng trụ đứng | Bằng cạnh bên | Trùng nhau, hay gây chủ quan |
| Lăng trụ xiên | Khoảng cách hai đáy | Cạnh bên dài hơn h |
| Chóp đều | Từ đỉnh xuống tâm đáy | Cạnh bên dài hơn h |
| Chóp có SA ⊥ đáy | Chính là SA | Các cạnh bên khác dài hơn |
Dạng bài
Tính thể tích lăng trụ đứng khi cho đường chéo
- 1 Tìm cạnh bên (chiều cao) từ đường chéo bằng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông chứa cạnh bên.
- 2 Tính diện tích đáy.
- 3 Thay vào V = S·h.
- 4 Thử lại bằng cách cắt ra chóp: chóp có chung đáy và chung chiều cao với lăng trụ tam giác bằng V/3.
⚠️ Bẫy hay gặp: Quên hệ số 12 của tam giác vuông cho S = 12 và V = 144 (gấp đôi). Với lăng trụ xiên thì V = S·ℓ cũng sai: đáy 10, cạnh bên 8 hợp đáy 30° có h = 8·sin 30° = 4, V = 40 chứ không phải 80.
Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông tại B, AB = 3, BC = 4 và A′C = 13. Tính thể tích lăng trụ và thể tích khối chóp A′.ABC.
Hướng dẫn giải
3 🏺 Thể tích khối chóp cụt đều
Cần nhớ
- ✦Cắt chóp đều bằng mặt phẳng song song đáy: phần chứa đáy là khối chóp cụt đều, hai đáy là hai đa giác đồng dạng.
- ✦V = (13)·h·(S + S′ + √(S·S′)) với S, S′ là diện tích hai đáy, h là khoảng cách hai đáy.
- ✦Đáy là hình vuông cạnh a và a′ thì S = a², S′ = a′² và √(S·S′) = a·a′. Ví dụ cạnh 4 và 2: 16 + 4 + 8 = 28.
- ✦Nếu quên công thức: V chóp cụt = V chóp lớn − V chóp nhỏ. Chóp nhỏ đồng dạng chóp lớn tỉ số k thì V nhỏ = k³·V lớn.
Dạng bài
Tính thể tích chóp cụt đều
- 1 Tính S và S′ của hai đáy, và √(S·S′).
- 2 Xác định h (khoảng cách hai đáy).
- 3 Thay vào V = (13)·h·(S + S′ + √(S·S′)).
- 4 Thử lại bằng cách lấy chóp lớn trừ chóp nhỏ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng nhầm V = (13)·h·(S + S′) = (13)·3·20 = 20: thiếu số hạng √(S·S′). Cũng không được tính "h·S + S′2" như hình thang: chóp cụt không phải thế.
Khối chóp cụt đều có hai đáy là hình vuông cạnh 4 và cạnh 2, chiều cao h = 3. Tính thể tích.
Hướng dẫn giải
4 ✂️ Tỉ số thể tích
Cần nhớ
- ✦Chóp tam giác S.ABC, lấy A′ ∈ SA, B′ ∈ SB, C′ ∈ SC: V(S.A′B′C′)/V(S.ABC) = (SA′/SA)·(SB′/SB)·(SC′/SC).
- ✦Lí do: hai chóp chung đỉnh, nên so thể tích là so (diện tích đáy × chiều cao); mỗi tỉ số cạnh góp một thừa số, nên ra tích ba tỉ số.
- ✦Điểm trùng đỉnh (ví dụ A′ = A) thì tỉ số tương ứng bằng 1.
- ✦Phần còn lại của khối chóp là hiệu: V − V(S.A′B′C′). Hai trung điểm cắt ra 14 chứ không phải một nửa.
Dạng bài
Dùng tỉ số thể tích với chóp tam giác
- 1 Kiểm khuôn: chóp tam giác, ba điểm nằm trên ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh.
- 2 Viết ba tỉ số cạnh (điểm trùng đỉnh cho tỉ số 1) rồi nhân.
- 3 Nhân với thể tích khối ban đầu; phần còn lại lấy V trừ đi.
- 4 Thử lại: tỉ số tìm được phải thuộc (0; 1].
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ "cắt qua hai trung điểm thì được một nửa". Hai cạnh bị chia đôi nên hệ số là (12)·(12) = 14, không phải 12.
Hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối S.AMN và phần còn lại.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tỉ số không trung điểm
- 1 Đọc tỉ số trên từng cạnh: SM/SB, SN/SC.
- 2 Nhân hai tỉ số (cạnh SA không bị cắt: tỉ số 1).
- 3 Đổi ra số cụ thể khi đề cho V.
Cho S.ABC có V(S.ABC) = 18. Lấy M ∈ SB, N ∈ SC với SM/SB = 13, SN/SC = 23. Tính V(S.AMN).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Chóp tứ giác: chia đôi rồi mới nhân
- 1 Chia chóp S.ABCD bằng một đường chéo đáy thành hai chóp tam giác (S.ABC và S.ACD), mỗi chóp có V/2 nếu đáy là hình bình hành.
- 2 Với mỗi chóp tam giác, áp dụng tích ba tỉ số.
- 3 Cộng hai phần lại.
- 4 Thử lại bằng cách tính bằng một đường chéo khác.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân thẳng (23)·(12)·(23) = 29 cho cả khối S.AEMF là sai: công thức tích ba tỉ số chỉ dùng cho chóp tam giác. Ở đây khối có đáy tứ giác AEMF, 2V/9 ≠ V/3.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích V. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng qua A, M và song song với BD cắt SB, SD tại E, F. Tính V(S.AEMF).
Hướng dẫn giải
Khi nào được nhân ba tỉ số?
| Khối | Nhân ba tỉ số? | Cách làm |
|---|---|---|
| S.AMN trong S.ABC (chóp tam giác) | Được | Nhân các tỉ số SM/SB, SN/SC |
| S.AEMF (đáy tứ giác) | Không | Tách thành S.AEM và S.AMF |
| Phần còn lại ABCNM | Không | Lấy V − V(S.AMN) |
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Chóp và lăng trụ cùng đáy cùng chiều cao: V chóp = V lăng trụ / 3. Đề cho một thể tích thì suy ra cái kia ngay.
- ✦Tỉ số thể tích: nhân các tỉ số cạnh, điểm không bị cắt cho tỉ số 1. Hai trung điểm cho 14, ba trung điểm (S.MNP) cho 18.
- ✦Chóp tứ giác bị cắt: tách thành hai chóp tam giác bằng đường chéo trước, đừng nhân thẳng.
- ✦Lập phương cạnh a: tứ diện đỉnh là 4 đỉnh xen kẽ (như ACB′D′) có thể tích a³/3.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Lấy cạnh bên làm chiều cao. Phản ví dụ: chóp đều S.ABCD đáy cạnh 4, cạnh bên 2√6 có h = 4, nhỏ hơn 2√6.
- ✦Quên hệ số 13 của khối chóp: ra V = S·h, gấp ba lần.
- ✦Tính lăng trụ xiên bằng V = S·(cạnh bên): đáy 10, cạnh bên 8 hợp đáy 30° có V = 40, không phải 80.
- ✦Dùng tích ba tỉ số cho chóp tứ giác (ra 29 thay vì 13).
- ✦Chóp cụt đều thiếu số hạng √(S·S′): đáy cạnh 4 và 2, h = 3 cho 28, không phải 20.
- ✦Cắt qua hai trung điểm mà cho là một nửa: thực tế còn 14, phần còn lại 34.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Bấm biểu thức V = (13)·S·h bằng phân số để thử lại kết quả, nhất là khi h là số có căn.
- ✦Chế độ Bảng (TABLE) nếu đề cho cạnh a là tham số: cho a = 1, 2, 3 rồi so với công thức vừa tìm.
- ✦Thử lại tỉ số thể tích bằng số cụ thể: chọn V = 36 hoặc 60 để các phân số chia hết.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Thể tích khối chóp
- 1Nhận biết
Khối chóp có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 5. Thể tích của nó là
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 3a, tam giác ABC vuông tại B với AB = a, BC = 2a. Thể tích khối chóp là
- 3Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD), SC = 13. Thể tích khối chóp là
- 4Thông hiểu
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao bằng 2√3. Thể tích là
- 5Thông hiểu
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 2√6. Thể tích là
Lăng trụ và hình hộp
- 1Nhận biết
Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì thể tích bằng
- 2Thông hiểu
Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 3, AD = 4, AC′ = 5√2. Thể tích khối hộp là
- 3Thông hiểu
Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy vuông tại B, AB = 3, BC = 4, A′C = 13. Thể tích là
- 4Vận dụng Lăng trụ xiên có diện tích đáy bằng 10, cạnh bên bằng 8 hợp với mặt phẳng đáy góc 30°. Thể tích bằng .
- 5Vận dụng
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 3. Thể tích tứ diện ACB′D′ là
Chóp cụt đều
- 1Thông hiểu Chóp cụt đều có hai đáy là hình vuông cạnh 4 và cạnh 2, chiều cao bằng 3. Thể tích bằng .
- 2Thông hiểu
Chóp cụt đều có hai đáy diện tích 9 và 4, chiều cao bằng 6. Thể tích là
- 3Vận dụng
Chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao SO = 8. Mặt phẳng song song đáy đi qua trung điểm của SO chia khối chóp thành hai phần. Phần chứa đáy ABCD có thể tích là
Tỉ số thể tích
- 1Nhận biết
Chóp S.ABC có M ∈ SB, N ∈ SC với SM/SB = 12, SN/SC = 13. Tỉ số V(S.AMN)/V(S.ABC) bằng
- 2Thông hiểu
Chóp S.ABC có V = 24. M, N là trung điểm SB, SC. Thể tích phần còn lại ABCNM (sau khi bỏ S.AMN) là
- 3Thông hiểu Chóp S.ABC có V = 18, M ∈ SB, N ∈ SC với SM/SB = 13, SN/SC = 23. V(S.AMN) bằng .
- 4Vận dụng
Chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích V. M là trung điểm SC. Mặt phẳng qua A, M song song BD cắt SB, SD tại E, F. Thể tích khối S.AEMF là
- 5Vận dụng
Chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích V. M, N là trung điểm SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P với SP/SC = 13. Thể tích khối S.AMPN là
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3. Thể tích là
- 2Thông hiểu
Chóp S.ABC có thể tích V. M ∈ SA với SM = 2MA, N là trung điểm SB, P ∈ SC với SP/SC = 34. Thể tích khối S.MNP là
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SC hợp với đáy góc 45°. Thể tích khối chóp là
Phần II · Đúng / sai
- 1Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, thể tích V. M là trung điểm SC. Mặt phẳng qua A, M và song song với BD cắt SB, SD tại E, F.
a)SE/SB = SF/SD.
b)SE/SB = 12.
c)V(S.AEMF) = 2V/9.
d)V(S.AEMF) = V/3.
- 2Thông hiểu
Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông tại B, AB = 3, BC = 4 và A′C = 13.
a)AC = 5.
b)Thể tích lăng trụ bằng 144.
c)Thể tích khối chóp A′.ABC bằng 24.
d)Thể tích khối chóp A′.BCC′B′ bằng 36.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Chóp cụt đều có hai đáy là hình vuông cạnh 6 và cạnh 2, chiều cao bằng 3. Tính thể tích. Đáp số:
- 2Thông hiểu Chóp S.ABC có V = 36, M ∈ SB, N ∈ SC với SM/SB = 13, SN/SC = 12. Tính thể tích phần còn lại ABCNM sau khi bỏ khối S.AMN. Đáp số:
- 3Vận dụng Chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, V = 60. M là trung điểm SC, mặt phẳng qua A, M song song BD cắt SB, SD tại E, F. Tính V(S.AEMF). Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Theo chương trình 2018, thể tích khối chóp, lăng trụ được dạy ở bài này; lớp 12 học hình không gian bằng toạ độ, nên các công thức và cách tìm chiều cao ở đây cần nắm chắc để dùng lại (kể cả trong bài toán thực tế).
- •Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi tính V từ dữ kiện chiều cao qua cạnh bên, qua góc, hay tỉ số thể tích khi cắt chóp tam giác bằng trung điểm.
- •Phần II hay có đề dẫn một hình với 4 ý: tính cạnh, thể tích, một tỉ số và một ý bẫy (đáy tứ giác hoặc quên 13). Phần III có thể hỏi V hoặc một tỉ số thể tích, đáp số gọn.
Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập