Chủ đề 28 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Viết được biến cố hợp, biến cố giao dưới dạng tập hợp kết quả; phân biệt xung khắc với độc lập; kiểm tra hai biến cố có độc lập không bằng đẳng thức P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 28

⚡ Nhớ nhanh

1Hợp A ∪ B xảy ra khi ít nhất một trong hai xảy ra (chữ "hoặc", gồm cả trường hợp cả hai). Giao A ∩ B xảy ra khi cả hai cùng xảy ra (chữ "và").
2"Không xảy ra cái nào" là $A \cap B$ (không A và không B), không phải $A \cup B$ .
3Xung khắc: A ∩ B = ∅, hai biến cố không bao giờ cùng xảy ra. Đây là chuyện của tập hợp, nhìn danh sách kết quả là biết.
4Độc lập: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Đây là chuyện của con số, nhìn hình không thấy, phải tính.
5Xung khắc không phải độc lập: hai biến cố có xác suất dương mà xung khắc thì chắc chắn không độc lập.
6Bài này tính xác suất bằng đếm kết quả đồng khả năng: P = số kết quả thuận lợi / số kết quả có thể.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm "Chẵn và chia hết cho 3": ô thuộc A viền xanh, ô thuộc B tô cam; bấm "A ∪ B" hay "A ∩ B" để tô rồi đọc bảng so P(A ∩ B) với P(A)·P(B). Thử tiếp "C = {1}, D = {6}" (xung khắc mà không độc lập), rồi hai xúc xắc: "lần 1 ra 6" với "tổng bằng 7" độc lập, với "tổng ≥ 10" thì không.

┅ thuộc A · ■ thuộc B · ▣ A ∩ B

A: "ra mặt chẵn" · B: "ra mặt chia hết cho 3"

Tô

P(A)	1/2	P(B)	1/3
P(A ∪ B)	2/3	P(A ∩ B)	1/6
P(A)·P(B)	1/6

P(A ∩ B) = P(A)·P(B) ⇒ độc lập

Chẵn và chia hết cho 3

A = {2; 4; 6}, B = {3; 6}. A ∪ B = {2; 3; 4; 6} (xảy ra A HOẶC B), A ∩ B = {6} (xảy ra cả A VÀ B). P(A ∩ B) = 1/6 = (1/2)·(1/3) = P(A)·P(B) ⇒ A, B độc lập.

1 🔗 Hợp và giao của hai biến cố

Cần nhớ

✦Biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω. Hợp A ∪ B gồm các kết quả thuộc A hoặc thuộc B; giao A ∩ B gồm các kết quả thuộc cả hai.
✦"Hoặc" trong toán là bao gồm cả hai: kết quả thuộc cả A lẫn B vẫn nằm trong A ∪ B, nhưng chỉ kể một lần.
✦Biến cố đối $A$ : A không xảy ra. "Cả A lẫn B đều không xảy ra" là $A \cap B$ .
✦Cách làm chung: liệt kê A, B thành tập kết quả, tìm hợp, giao, rồi đếm. P(E) = n(E)/n(Ω) khi các kết quả đồng khả năng.

∪ Hợp (hoặc)

Gộp hai tập lại, kết quả chung kể một lần. Xảy ra khi ít nhất một biến cố xảy ra. Ví dụ: A = {2; 4; 6}, B = {3; 6} ⇒ A ∪ B = {2; 3; 4; 6}.

∩ Giao (và)

Chỉ giữ phần chung của hai tập. Xảy ra khi cả hai cùng xảy ra. Ví dụ: A = {2; 4; 6}, B = {3; 6} ⇒ A ∩ B = {6}.

Dạng bài

Tìm hợp, giao rồi kiểm độc lập

1 Liệt kê A và B thành tập kết quả của phép thử.
2 Hợp: gộp lại, kết quả chung chỉ viết một lần. Giao: giữ phần chung.
3 Tính P(A), P(B), P(A ∩ B) bằng cách đếm.
4 So P(A ∩ B) với P(A) · P(B); thử lại bằng cách kiểm từng mặt 1–6.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết A ∪ B = {2; 4; 6; 3; 6} (kể số 6 hai lần) thành 5 kết quả là sai: tập hợp không kể lặp, A ∪ B chỉ có 4 kết quả. Cũng đừng kết luận "A, B cùng nói về một lần tung nên chắc phụ thuộc": ở đây chúng độc lập.

🎲

Làm mẫu

Tung một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm chẵn", B: "số chấm chia hết cho 3". Mô tả A ∪ B, A ∩ B và xét xem A, B có độc lập không.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🚫 Biến cố xung khắc

Cần nhớ

✦Xung khắc: A ∩ B = ∅, tức không có kết quả nào thuộc cả hai; hai biến cố không thể cùng xảy ra trong một lần thử.
✦Xung khắc là tính chất của tập hợp: liệt kê hai tập, thấy rời nhau là đủ, chưa cần tính xác suất.
✦A và $A$ luôn xung khắc. Nhưng xung khắc chưa chắc là đối nhau: C = {1}, D = {6} xung khắc mà C ∪ D = {1; 6} chưa phủ hết Ω.
✦Nếu P(A) > 0, P(B) > 0 mà A, B xung khắc thì P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A) · P(B), nên A, B không độc lập.

Dạng bài

Xét hai biến cố xung khắc hay độc lập

1 Liệt kê hai tập và tính A ∩ B: rỗng thì xung khắc.
2 Tính P(A ∩ B) và P(A) · P(B).
3 Bằng nhau thì độc lập, khác nhau thì không; hai kết luận được xét riêng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ "hai biến cố rời nhau, chẳng ảnh hưởng gì nhau nên độc lập" là nhầm ngược: xung khắc là kiểu phụ thuộc mạnh nhất, vì biết cái này xảy ra là loại hẳn cái kia.

🚫

Làm mẫu

Tung một con xúc xắc cân đối. C: "ra mặt 1", D: "ra mặt 6". C, D xung khắc hay độc lập?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧩 Biến cố độc lập

Cần nhớ

✦Độc lập: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ý nghĩa: A xảy ra hay không không làm đổi khả năng của B.
✦Độc lập là một đẳng thức phải kiểm bằng số. Hai biến cố của cùng một lần tung vẫn có thể độc lập (xem ví dụ chẵn / chia hết cho 3).
✦Hai lần thử tách rời (gieo xúc xắc hai lần, hai người bắn riêng) thì biến cố của lần này độc lập với biến cố của lần kia.
✦Nếu A, B độc lập thì A và $B$ , $A$ và B, $A$ và $B$ cũng độc lập. Ví dụ A chẵn, B chia hết cho 3: P(A ∩ $B$ ) = 26 = 13 = 12 · 23.

Xung khắc và độc lập: hai khái niệm khác hẳn nhau

Tiêu chí	Xung khắc	Độc lập
Nói về	Tập hợp kết quả	Xác suất (con số)
Điều kiện	A ∩ B = ∅	P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Nhìn hình	Hai vùng rời nhau	Không thấy được, phải tính
Ví dụ	Một xúc xắc: "ra 1" và "ra 6"	Hai xúc xắc: "lần 1 ra 6" và "tổng bằng 7"

Dạng bài

Kiểm tra độc lập trên hai xúc xắc

1 Liệt kê A, B và A ∩ B trên 36 kết quả (i; j), i là lần 1, j là lần 2.
2 Tính P(A), P(B), P(A ∩ B) bằng n/36.
3 So P(A ∩ B) với P(A) · P(B).
4 Thử lại bằng lập luận: biết A xảy ra, khả năng của B có đổi không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đổi "tổng bằng 7" thành "tổng ≥ 10" thì kết luận đảo: B = {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}, P(B) = 16, A ∩ B có 3 kết quả nên P(A ∩ B) = 112 ≠ 16 · 16 = 136 ⇒ không độc lập. Hai câu chữ gần giống nhau mà kết luận ngược nhau, nên phải tính.

🎲

Làm mẫu

Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "lần 1 ra 6", B: "tổng số chấm bằng 7". A, B có độc lập không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔢 Đếm hợp và giao trên lưới 36 kết quả

Cần nhớ

✦Hai xúc xắc phân biệt (lần 1, lần 2): có 6 · 6 = 36 kết quả (i; j), mỗi kết quả xác suất 136.
✦Trên lưới 6 × 6: "lần 1 ra a" là một hàng 6 ô, "lần 2 ra b" là một cột 6 ô, "tổng bằng s" là một đường chéo.
✦Đếm hợp: đếm các ô thuộc A, thêm các ô thuộc B chưa nằm trong A. Ô chung chỉ đếm một lần.
✦Tổng hai xúc xắc: tổng 7 có 6 cách, tổng 8 và tổng 6 mỗi tổng 5 cách, tổng 9 và 5 mỗi tổng 4 cách, tổng 10 và 4 mỗi tổng 3 cách.

Dạng bài

Đếm A ∪ B và A ∩ B trên hai xúc xắc

1 Liệt kê các ô của A và các ô của B.
2 Gạch những ô xuất hiện ở cả hai danh sách: đó là A ∩ B.
3 A ∪ B: lấy tất cả ô của A, thêm ô của B chưa có; chia cho 36 để ra xác suất.
4 So P(A ∩ B) với P(A) · P(B) để biết độc lập hay không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng 5 + 6 = 11 ô rồi chia 36 là kể ô (4; 4) hai lần. A ∪ B chỉ có 10 ô.

🔢

Làm mẫu

Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "tổng số chấm bằng 8", B: "hai con ra số chấm bằng nhau". Tính P(A ∪ B) và xét A, B có độc lập không.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Chữ "và" ⇒ giao, "hoặc" ⇒ hợp, "không cái nào xảy ra" ⇒ $A \cap B$ .
✦Hai biến cố xung khắc mà cả hai có xác suất dương thì loại ngay đáp án "độc lập".
✦Kiểm độc lập: ghi ba số P(A), P(B), P(A ∩ B) rồi nhân hai số đầu, không suy theo cảm giác.
✦Hai lần thử tách rời (gieo hai lần, hai xạ thủ bắn riêng): biến cố của hai lần độc lập, được nhân thẳng xác suất.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Nhầm xung khắc với độc lập. Phản ví dụ: C = {1}, D = {6} xung khắc mà P(C ∩ D) = 0 ≠ 136 = P(C) · P(D).
✦Hiểu "hoặc" là loại trừ. Phản ví dụ: A ∪ B = {2; 3; 4; 6} vẫn chứa 6 dù 6 thuộc cả A lẫn B.
✦Đếm hợp bằng cách cộng số phần tử mà quên phần chung. Phản ví dụ: A có 3 kết quả, B có 2 kết quả nhưng A ∪ B chỉ có 4 kết quả.
✦Cho rằng hai biến cố của cùng một phép thử thì không độc lập. Phản ví dụ: chẵn và chia hết cho 3 trên một xúc xắc độc lập vì 16 = 12 · 13.
✦Viết $A \cup B$ cho "không cái nào xảy ra". Phản ví dụ: A chẵn, B chia hết cho 3: không cái nào xảy ra là {1; 5}, còn $A \cup B$ = {1; 2; 3; 4; 5}.
✦Thấy P(A ∩ B) khác 0 là kết luận độc lập. P(A ∩ B) khác 0 chỉ cho biết không xung khắc; vẫn phải so với P(A) · P(B).

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính toán thường: nhập P(A) · P(B) dưới dạng phân số rồi so với P(A ∩ B). Giữ dạng phân số để thấy ngay hai số có bằng nhau không.
✦Phím tổ hợp nCr hữu ích khi đề chọn người hay chọn bi, nhưng với xúc xắc hãy liệt kê tay trên lưới 6 × 6.
✦Máy không có chế độ riêng cho biến cố: đừng làm tròn P(A) hay P(B) trước khi so tích, vì hai số thập phân gần bằng nhau chưa chắc là bằng nhau.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔗

Hợp, giao, biến cố đối

1
Nhận biết
Biến cố A ∪ B xảy ra khi
2
Nhận biết
Biến cố "A và B cùng xảy ra" được kí hiệu là
3
Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm lẻ", B: "số chấm là số nguyên tố". Tập A ∪ B là
4
Thông hiểu
Biến cố "cả A lẫn B đều không xảy ra" là
5
Vận dụng
Hai xạ thủ cùng bắn một bia. A: "xạ thủ thứ nhất trúng", B: "xạ thủ thứ hai trúng". Biến cố "có đúng một xạ thủ trúng" là
6
Vận dụng Tung một con xúc xắc cân đối. Số kết quả thuận lợi cho biến cố "số chấm không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3" là .

🚫

Xung khắc

1
Nhận biết
Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu
2
Nhận biết Hai biến cố A, B xung khắc, P(A) = 0,3 và P(B) = 0,5. Khi đó P(A ∩ B) = .
3
Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối. Cặp biến cố nào sau đây xung khắc?
4
Vận dụng
Hai biến cố xung khắc A, B có P(A) = 0,3 và P(B) = 0,4. Kết luận nào đúng?

🧩

Độc lập

1
Nhận biết
Hai biến cố A, B độc lập khi
2
Thông hiểu Hai biến cố A, B độc lập, P(A) = 0,6 và P(B) = 0,5. Khi đó P(A ∩ B) = .
3
Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm chẵn". Biến cố B nào sau đây độc lập với A?
4
Thông hiểu
Cho hai biến cố A, B độc lập. Khẳng định nào sau đây đúng?
5
Thông hiểu
Hai xạ thủ bắn riêng rẽ, xác suất trúng lần lượt là 0,8 và 0,7. Xác suất cả hai cùng trúng là
6
Thông hiểu Gieo một con xúc xắc hai lần. Xác suất để lần 1 ra số chẵn và lần 2 ra số chấm không nhỏ hơn 5 là (làm tròn đến hàng phần trăm) .
7
Vận dụng
Lớp có 30 học sinh, trong đó 18 bạn nữ, 10 bạn đeo kính, 6 bạn nữ đeo kính. Chọn ngẫu nhiên một bạn. A: "bạn nữ", B: "bạn đeo kính". Kết luận nào đúng?

🔢

Hai xúc xắc

1
Thông hiểu Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "tổng số chấm bằng 9", B: "lần 1 ra mặt 3". Số kết quả của A ∪ B là .
2
Thông hiểu
Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "lần 1 ra số chẵn", B: "tổng số chấm bằng 7". Kết luận nào đúng?
3
Vận dụng
Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "tổng số chấm là số chẵn", B: "lần 1 ra số chẵn". Biết P(A) = P(B) = 12. Giá trị P(A ∩ B) và kết luận là
4
Vận dụng Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "con thứ nhất ra 6", B: "con thứ hai ra 6". P(A ∪ B) = (làm tròn đến hàng phần trăm) .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm lẻ", B: "số chấm không nhỏ hơn 3". Số kết quả của A ∪ B là
2
Vận dụng
Tung một con xúc xắc cân đối. A: "số chấm chia hết cho 3", B: "số chấm lẻ". Hai biến cố A, B
3
Vận dụng
Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "lần 1 ra 5", B: "tổng số chấm bằng 8". Khẳng định nào đúng?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối. Gọi A: "số chấm là số nguyên tố" và B: "số chấm là số lẻ".

a)A ∩ B = {3; 5}.

b)A ∪ B có 6 phần tử vì A có 3 phần tử và B có 3 phần tử.

c)A và B không xung khắc.

d)A và B độc lập.
2
Vận dụng
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Gọi A: "lần 1 ra số chẵn", B: "tổng số chấm bằng 7", C: "tổng số chấm bằng 8".

a)P(B) = 16.

b)B và C độc lập.

c)A và B độc lập.

d)A và C độc lập.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Gieo hai con xúc xắc cân đối. A: "lần 1 ra 5", B: "tổng số chấm không nhỏ hơn 9". Số kết quả của A ∩ B là bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Với A, B như câu trước, tính P(A ∪ B) (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:
3
Vận dụng Lớp có 40 học sinh, trong đó 25 bạn nữ và 16 bạn đeo kính. Chọn ngẫu nhiên một bạn; biết hai biến cố "bạn nữ" và "bạn đeo kính" độc lập. Có bao nhiêu bạn nữ đeo kính? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường có câu viết tập kết quả của A ∪ B, A ∩ B trên một xúc xắc hoặc hai xúc xắc, rồi tính xác suất bằng đếm. Bẫy hay có là kể kết quả chung hai lần.
•Câu hỏi xung khắc hay độc lập hay có: đề cho hai biến cố rồi yêu cầu kiểm cả hai tính chất, hoặc hỏi "kết luận nào đúng". Phải tính P(A ∩ B) và P(A) · P(B), không đoán theo cảm giác.
•Đây là nền cho bài 29 (công thức cộng xác suất) và bài 30 (công thức nhân), và lên lớp 12 dẫn tới xác suất có điều kiện, nơi "độc lập" được nhìn lại bằng P(B | A) = P(B).

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Công thức cộng xác suất