Chủ đề 1 · Học kỳ 1

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Đổi độ ↔ rađian, xác định dấu của sin, cos, tan, cot theo góc phần tư và tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị cùng khoảng chứa góc.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 1

⚡ Nhớ nhanh

1Góc lượng giác có chiều: ngược kim đồng hồ là dương, thuận kim đồng hồ là âm. Các góc α + k2π (k ∈ ℤ) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
2180° = π rad. Độ → rađian nhân π/180; rađian → độ thay π bằng 180°.
3Điểm biểu diễn M(cos α; sin α): hoành độ là cos, tung độ là sin. tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α.
4Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1. Biết sin thì chỉ tính được cos² : dấu phải dựa vào góc phần tư.
5tan α không xác định khi cos α = 0 (α = π/2 + kπ); cot α không xác định khi sin α = 0 (α = kπ).
6Thói quen chống sai: tính xong thử lại sin² + cos² = 1 và tan · cot = 1; máy tính luôn kiểm tra chế độ DEG / RAD trước.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo điểm M trên đường tròn lượng giác: hoành độ là cos, tung độ là sin, đường OM cắt trục tan (x = 1) và trục cot (y = 1). Bấm mẫu sin α = 3/5 với α ∈ (π/2; π) để ra cos α = −4/5, rồi thử 390°, 90° và 180° (tan, cot không xác định) để gặp các bẫy.

cos = hoành độ M · sin = tung độ M

α ≈ 143,13° ≈ 2,5 rad · góc phần tư II

cos α = −4/5

sin α = 3/5

tan α = −3/4

cot α = −4/3

Góc phần tư	sin	cos	tan, cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

α ở góc phần tư II nên cos α < 0: cos²α = 1 − 9/25 = 16/25 ⇒ cos α = −4/5 (bỏ 4/5). Rồi tan α = sin α/cos α = −3/4, cot α = −4/3.

1 🔄 Góc lượng giác và rađian

Cần nhớ

✦Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, quay thuận chiều là chiều âm. Ví dụ: quay thuận 14 vòng được góc −90° (−π/2).
✦Một tia đầu, một tia cuối có vô số số đo α + k2π (k ∈ ℤ), hơn kém nhau cả vòng. Ví dụ: 30°, 390°, −330° cùng một tia cuối.
✦1 rađian là số đo góc ở tâm chắn cung dài bằng bán kính. 180° = π rad nên 1° = π/180 rad, 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°.
✦Cung bán kính R, góc ở tâm α rađian thì độ dài cung l = R·α. Ví dụ: R = 2 cm, α = π/2 ⇒ l = π cm.

Dạng bài

Đổi độ ↔ rađian

1 Độ → rađian: nhân với π/180 rồi rút gọn phân số.
2 Rađian → độ: thay π bằng 180° rồi tính.
3 Thử lại bằng cách đổi ngược về đơn vị ban đầu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết 90° = 90π rad là quên chia 180: đúng là 90° = 90π/180 = π/2 rad.

🔄

Làm mẫu

Đổi 150° sang rađian và 7π/12 sang độ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Góc hay gặp (độ ↔ rađian)

Độ	Rađian
0°	0
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
120°	2π/3
180°	π
270°	3π/2
360°	2π

2 ⭕ Đường tròn lượng giác và dấu

Cần nhớ

✦Đường tròn lượng giác: tâm O, bán kính 1, gốc A(1; 0), chiều dương ngược kim đồng hồ. Mỗi góc α ứng với một điểm M.
✦M có toạ độ (cos α; sin α): hoành độ là cos, tung độ là sin. Ví dụ: α = 90° ⇒ M(0; 1) nên cos 90° = 0, sin 90° = 1.
✦Đường thẳng OM cắt đường x = 1 (trục tan) tại điểm có tung độ tan α, cắt đường y = 1 (trục cot) tại điểm có hoành độ cot α.
✦M thuộc đường tròn bán kính 1 nên −1 ≤ sin α ≤ 1 và −1 ≤ cos α ≤ 1. Ví dụ: sin α = 1,2 không tồn tại. tan và cot nhận mọi giá trị thực.

Dấu theo góc phần tư (nhớ bằng hình, đừng học vẹt)

	I	II	III	IV
sin α (tung độ)	+	+	−	−
cos α (hoành độ)	+	−	−	+
tan α	+	−	+	−
cot α	+	−	+	−

Dạng bài

Xác định dấu của sin, cos, tan, cot

1 Cộng hoặc trừ k·2π để đưa góc về khoảng [0; 2π) rồi xác định phần tư.
2 sin lấy dấu của tung độ (M ở phía trên trục hoành thì dương), cos lấy dấu của hoành độ (M bên phải trục tung thì dương).
3 tan, cot là thương của sin và cos nên cùng dấu ⇒ dương, trái dấu ⇒ âm.
4 Thử lại bằng một góc quen thuộc trong cùng phần tư.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy 13π/4 chứa π/4 mà kết luận phần tư I là sai: 13π/4 = 2π + 5π/4 nên ở phần tư III, sin và cos đều âm.

⭕

Làm mẫu

Xác định dấu của sin α, cos α, tan α với α = 13π/4.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧮 Hệ thức lượng giác cơ bản

Cần nhớ

✦sin²α + cos²α = 1 (định lí Pythagore trên đường tròn bán kính 1). Ví dụ: sin α = 0,6 ⇒ cos²α = 1 − 0,36 = 0,64.
✦1 + tan²α = 1/cos²α (cos α ≠ 0). Ví dụ: tan α = 34 ⇒ 1/cos²α = 2516 ⇒ cos²α = 1625.
✦1 + cot²α = 1/sin²α (sin α ≠ 0) và tan α · cot α = 1 (khi cả hai xác định). Ví dụ: tan α = −34 ⇒ cot α = −43.
✦Biết một giá trị chỉ tính được bình phương của giá trị khác; dấu lấy theo phần tư của α.

Dạng bài

Biết sin α (hoặc cos α) và khoảng của α, tính các giá trị còn lại

1 Dùng sin²α + cos²α = 1 để tính cos²α (hoặc sin²α).
2 Xác định phần tư của α rồi chọn dấu của cos α.
3 Tính tan α = sin α / cos α và cot α = cos α / sin α.
4 Thử lại: sin²α + cos²α = 1 và tan α · cot α = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Bỏ qua điều kiện π/2 < α < π và lấy cos α = 45 thì tan α = 34, cot α = 43: cả ba giá trị sai dấu. Thiếu khoảng của α thì bài có hai đáp số.

🧮

Làm mẫu

Cho sin α = 35 và π/2 < α < π. Tính cos α, tan α, cot α.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Rút gọn biểu thức lượng giác

1 Đổi tan, cot về sin, cos (hoặc dùng 1 + tan² = 1/cos²).
2 Gom hạng tử, dùng sin²x + cos²x = 1.
3 Thử lại bằng một góc cụ thể như 45°.

⚠️ Bẫy hay gặp: x = 0 thì cot x không xác định nên A không có nghĩa: "A = 1" chỉ đúng với x làm cả tan x và cot x xác định, tức x ≠ kπ/2.

✂️

Làm mẫu

Rút gọn A = 11 + tan²x + 11 + cot²x.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 📌 Giá trị đặc biệt và góc cùng điểm

Cần nhớ

✦Hơn kém k2π thì cùng giá trị lượng giác: sin(α + k2π) = sin α, cos(α + k2π) = cos α, tan và cot cũng vậy. Ví dụ: cos 390° = cos 30°.
✦Cùng giá trị lượng giác không có nghĩa là hai góc bằng nhau: π/3 và π/3 + 2π khác nhau một vòng quay.
✦tan α không xác định khi M ở trục tung (α = π/2 + kπ). cot α không xác định khi M ở trục hoành (α = kπ). Ví dụ: tan 90°, cot 180° không xác định.

Giá trị đặc biệt (kxđ = không xác định)

Góc	sin	cos	tan	cot
0°	0	1	0	kxđ
30°	12	√32	√33	√3
45°	√22	√22	1	1
60°	√32	12	√3	√33
90°	1	0	kxđ	0
180°	0	−1	0	kxđ

Dạng bài

Tính giá trị lượng giác của góc lớn hoặc góc âm

1 Cộng hoặc trừ k·360° (k2π) để về góc quen thuộc, hoặc vẽ điểm M.
2 Đọc toạ độ M: cos là hoành độ, sin là tung độ.
3 Thử lại bằng dấu theo phần tư và sin² + cos² = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: tan 90° = 1 hay tan 90° = 0 đều sai: cos 90° = 0 nên tan 90° = 10 không xác định (máy tính báo Math ERROR).

📌

Làm mẫu

Tính cos 390° và sin(−30°).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Nhớ sin của 0°, 30°, 45°, 60°, 90° là √02, √12, √22, √32, √42; cos viết theo thứ tự ngược lại.
✦Đề cho góc lớn hoặc âm: trừ cả vòng (360° hay 2π) trước, rồi mới tra bảng.
✦Đề cho sin (hoặc cos) và khoảng của α: nhìn phần tư trước để loại ngay các phương án sai dấu.
✦Ra tan hoặc cot lớn hơn 1 thì không sao, nhưng sin hoặc cos ngoài [−1; 1] chắc chắn sai.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Lấy cos α = +√(1 − sin²α) mà không xét phần tư. Phản ví dụ: sin α = 35, α ∈ (π/2; π) thì cos α = −45.
✦Cho rằng hai góc cùng điểm biểu diễn thì bằng nhau. Phản ví dụ: 30° và 390° khác nhau.
✦Viết tan 90° = 1 hoặc cot 180° = 0. Cả hai đều không xác định.
✦Đổi 150° ra 150π rad (quên chia 180), đúng là 5π/6.
✦Dùng l = R·α khi α đang tính bằng độ. Phản ví dụ: R = 6 cm, α = 150° ⇒ l = 6·5π/6 = 5π cm, không phải 6·150 = 900 cm.
✦Nhầm cos là tung độ, sin là hoành độ: nhớ M(cos α; sin α) theo thứ tự bảng chữ cái x rồi y.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Kiểm tra chế độ góc trước khi bấm: DEG cho độ, RAD cho rađian. Sai chế độ thì sin 30 ra −0,988 thay vì 0,5.
✦Bấm sin, cos, tan của một góc để thử lại đáp số; tan 90° (chế độ độ) báo lỗi vì không xác định.
✦Tính sin α khi biết cos α: bấm cos⁻¹ ra một góc trong [0°; 180°], nhớ tự xét phần tư vì máy chỉ cho một góc.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔄

Đổi đơn vị và góc lượng giác

1
Nhận biết
Đổi 90° sang rađian được
2
Thông hiểu Góc 2π/3 rađian bằng độ.
3
Thông hiểu
Đổi 225° sang rađian được
4
Thông hiểu
Góc 7π/6 rađian bằng
5
Vận dụng
Một bánh xe quay 2,5 vòng ngược chiều kim đồng hồ. Số đo (rađian) của góc lượng giác mà bánh xe quay được là

⭕

Đường tròn lượng giác và dấu

1
Nhận biết
Điểm M biểu diễn góc α trên đường tròn lượng giác có hoành độ bằng
2
Thông hiểu
Góc α thuộc phần tư thứ hai. Khẳng định nào đúng?
3
Thông hiểu Điểm biểu diễn của 390° trùng với điểm biểu diễn của góc ° (trong khoảng từ 0° đến 360°).
4
Thông hiểu
Điểm biểu diễn của góc −π/3 nằm ở phần tư
5
Vận dụng
Góc nào dưới đây có cùng điểm biểu diễn với −11π/6?

🧮

Hệ thức cơ bản

1
Nhận biết
Với mọi góc α, sin²α + cos²α bằng
2
Thông hiểu Cho sin α = 0,8 và α là góc nhọn. Khi đó cos α = .
3
Thông hiểu
Cho cos α = −513 và π/2 < α < π. Giá trị sin α bằng
4
Vận dụng
Cho cos α = 35 và 3π/2 < α < 2π. Giá trị tan α bằng
5
Vận dụng
Biểu thức (sin x + cos x)² − 2 sin x cos x bằng

📌

Giá trị đặc biệt

1
Nhận biết
sin 30° bằng
2
Thông hiểu
cos 390° bằng
3
Thông hiểu Giá trị của 4 sin 30°·cos 60° + tan 45° bằng .
4
Thông hiểu
Giá trị nào dưới đây không xác định?
5
Vận dụng
Giá trị của tan(−π/4) là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho sin α = 513 và π/2 < α < π. Giá trị tan α bằng
2
Thông hiểu
Góc nào không có cùng điểm biểu diễn với góc 30°?
3
Vận dụng
Cung tròn bán kính 6 cm có góc ở tâm 150°. Độ dài cung là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho góc α thoả cos α = −45 và π < α < 3π/2.

a)sin α < 0.

b)sin α = 35.

c)tan α = 34.

d)tan α − cot α = 712.
2
Vận dụng
Cho góc lượng giác α = 13π/3.

a)Đổi sang độ, α = 780°.

b)Điểm biểu diễn của α trùng với điểm biểu diễn của góc 2π/3.

c)sin α = √32.

d)tan α = −√3.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Đổi 108° sang rađian được kπ. Tìm k (viết số thập phân). Đáp số: k =
2
Vận dụng Cho sin α = 513 và π/2 < α < π. Tính 13·cos α. Đáp số:
3
Vận dụng Kim phút của đồng hồ dài 12 cm. Sau 20 phút, đầu kim phút vạch cung dài bao nhiêu cm? Làm tròn đến hàng đơn vị. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi: đổi độ ↔ rađian, xác định dấu theo góc phần tư, và tính các giá trị còn lại khi biết một giá trị cùng khoảng chứa α. Mất điểm hay do chọn sai dấu.
•Đây là nền cho bài 2–4 của chương (công thức, hàm số, phương trình lượng giác): bảng giá trị đặc biệt và đường tròn lượng giác phải thuộc thì các bài sau mới nhanh.
•Lên lớp 12, các giá trị lượng giác còn có thể xuất hiện trong nguyên hàm, tích phân của sin, cos; nhớ giá trị đặc biệt để khỏi phụ thuộc máy tính.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Công thức lượng giác