Chủ đề 2 · Học kỳ 1

Công thức lượng giác

Dùng công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tích ↔ tổng để tính giá trị lượng giác của góc lạ (15°, 75°, 2a) và rút gọn biểu thức.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 2

⚡ Nhớ nhanh

1Công thức cộng là gốc của mọi công thức còn lại. Với cos thì dấu ngược dấu trong ngoặc: cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
2Với sin thì dấu giữ nguyên: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b.
3Nhân đôi là công thức cộng với b = a: sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a.
4Hạ bậc: cos²a = 1 + cos 2a2 và sin²a = 1 − cos 2a2. Cos của tổng không bằng tổng các cos: cos(a + b) ≠ cos a + cos b.
5Tích ↔ tổng: cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]. Gặp góc lạ thì tách thành tổng hoặc hiệu hai góc quen (15° = 45° − 30°).
6Thói quen chống sai: sau khi biến đổi, thử lại bằng số thập phân (cos 15° phải gần 1) hoặc thử b = a.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo hai góc a, b trên đường tròn: điểm của a + b hiện ra, so cos(a + b) thật với "cos a + cos b" thì thấy lệch. Bấm mẫu a = b = 30° là bẫy: cos 60° = 0,5 nhưng cos 30° + cos 30° ≈ 1,73.

● cos(a − b) thật · × cos a − cos b (cộng thẳng, sai)

a 45° b 30°

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

= (√2)/2 · (√3)/2 + (√2)/2 · 1/2 = (√6 + √2)/4

sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = (√6 − √2)/4

Sai: cos a − cos b = −0,159 ≠ 0,966

15° không có trong bảng giá trị đặc biệt, nhưng 15° = 45° − 30°: cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.

1 ➕ Công thức cộng

Cần nhớ

✦cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b; cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Ví dụ: cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.
✦sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b; sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Ví dụ: sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°.
✦tan(a + b) = tan a + tan b1 − tan a · tan b; tan(a − b) = tan a − tan b1 + tan a · tan b. Ví dụ: tan 2 và tan 3 cho tan(a + b) = 51 − 6 = −1.
✦Kiểm nhanh dấu: cho b = a thì cos(a − a) phải bằng cos 0 = 1, tức cos²a + sin²a ✓.

Dạng bài

Tính giá trị của góc lạ

1 Tách góc lạ thành tổng hoặc hiệu của hai góc quen (30°, 45°, 60°, 90°).
2 Chọn công thức cộng đúng hàm, đúng dấu.
3 Thay giá trị của sin, cos hai góc quen rồi gộp.
4 Thử lại bằng số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết cos(45° − 30°) = cos 45° − cos 30° là sai: vế phải ≈ 0,707 − 0,866 = −0,159, trong khi cos 15° ≈ 0,966. Với a = b = 30°: cos 60° = 0,5 chứ không phải cos 30° + cos 30° ≈ 1,73.

➕

Làm mẫu

Tính cos 15° mà không dùng máy tính.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính tan của góc lạ

1 Tách góc thành tổng hoặc hiệu hai góc có tan quen.
2 Thay vào tan(a ± b) = tan a ± tan b1 ∓ tan a · tan b.
3 Trục căn ở mẫu rồi rút gọn.
4 Thử lại bằng số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên mẫu số, cộng thẳng: tan 2 và tan 3 cho tan(a + b) = 5. Đúng là 51 − 2 · 3 = −1. Dấu ở mẫu ngược dấu trong ngoặc: tan(a + b) có mẫu 1 − tan a · tan b.

📐

Làm mẫu

Tính tan 75°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Cho sin a, cos b, tính sin(a + b) và cos(a + b)

1 Tìm cos a và sin b từ sin² + cos² = 1, chọn dấu theo phần tư của góc.
2 Thay vào hai công thức cộng.
3 Quy đồng, gộp.
4 Thử lại bằng sin²(a + b) + cos²(a + b) = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy sin b = −1213 vì thấy cos b âm. Góc ở phần tư II có sin dương, cos âm; lấy sai dấu sẽ ra sin(a + b) = −15 − 4865 = −6365, lệch hẳn.

🧩

Làm mẫu

Cho sin a = 35 với 0 < a < π/2 và cos b = −513 với π/2 < b < π. Tính sin(a + b), cos(a + b).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✌️ Nhân đôi và hạ bậc

Cần nhớ

✦sin 2a = 2 sin a cos a. Ví dụ: sin 60° = 2 sin 30° cos 30° = 2 · ½ · $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ .
✦cos 2a có ba dạng: cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a. Đề cho sin a thì chọn dạng 1 − 2sin²a, cho cos a thì chọn 2cos²a − 1.
✦tan 2a = 2 tan a/(1 − tan²a). Ví dụ: tan a = 2 cho tan 2a = 41 − 4 = −43.
✦Hạ bậc là hai dạng cuối của cos 2a viết ngược: cos²a = 1 + cos 2a2, sin²a = 1 − cos 2a2. Lên lớp 12 sẽ dùng nó để tính nguyên hàm của sin²x, cos²x.

Dạng bài

Cho sin a, tính sin 2a và cos 2a

1 Tìm cos a từ sin² + cos² = 1, chọn dấu theo phần tư của a.
2 sin 2a = 2 sin a cos a.
3 Chọn dạng cos 2a chỉ chứa thứ đề đã cho: 1 − 2sin²a.
4 Thử lại: sin²2a + cos²2a = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tưởng a nhọn thì 2a cũng nhọn nên cos 2a > 0. Ở đây sin a = 0,8 ⇒ a ≈ 53° ⇒ 2a ≈ 106° đã sang phần tư II nên cos 2a = −725 < 0.

✌️

Làm mẫu

Cho sin a = 45 với 0 < a < π/2. Tính sin 2a, cos 2a.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Dùng hạ bậc để tính giá trị

1 Nhận ra bình phương sin² hoặc cos² của một góc.
2 Chọn dạng hạ bậc đúng dấu: cos² mang dấu +, sin² mang dấu −.
3 Tính cos của góc gấp đôi.
4 Thử lại bằng số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm dấu hạ bậc: viết cos²x = 1 − cos 2x2. Thử x = 0: vế trái cos² 0 = 1, vế phải 1 − 12 = 0 ✗. Mẹo: có dấu trừ thì đi với sin.

⬇️

Làm mẫu

Tính sin² 22,5°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Ba dạng của cos 2a: chọn dạng nào?

Đề cho	Dùng dạng	Ví dụ
cả sin a và cos a	cos²a − sin²a	sin a = 45, cos a = 35: 925 − 1625 = −725
chỉ cos a	2cos²a − 1	cos a = 35: 2 · 925 − 1 = −725
chỉ sin a	1 − 2sin²a	sin a = 45: 1 − 2 · 1625 = −725

3 🔁 Biến đổi tích ↔ tổng

Tích thành tổng

Tích	Bằng
cos a cos b	½[cos(a − b) + cos(a + b)]
sin a sin b	½[cos(a − b) − cos(a + b)]
sin a cos b	½[sin(a − b) + sin(a + b)]

Tổng thành tích (cần nhớ)

✦ $cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$
✦ $cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$
✦ $sin a + sin b = 2 sin \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$
✦ $sin a - sin b = 2 cos \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$
✦Ví dụ: cos 5x + cos x = 2cos 3x cos 2x, vì 5x + x2 = 3x và 5x − x2 = 2x.

Dạng bài

Biến tích thành tổng để tính

1 Xác định a, b rồi tính a − b và a + b.
2 Chọn dòng đúng trong bảng (chú ý dấu của sin a sin b).
3 Thay giá trị góc quen.
4 Thử lại bằng cách nhân hai số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết sin a sin b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)] (nhầm sang dòng cos cos). Thử a = b = 30°: sin²30° = 0,25, mà ½[1 + 0,5] = 0,75 ✗; đúng là ½[1 − 0,5] = 0,25.

🔁

Làm mẫu

Tính sin 75° cos 15°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Biến tổng thành tích

1 Tính a + b2 và a − b2.
2 Chọn đúng một trong bốn dòng (cos + cos, cos − cos, sin + sin, sin − sin).
3 Thay giá trị góc quen.
4 Thử lại bằng số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết sin 5x + sin x = 2sin 3x sin 2x (lẫn dòng). Thử x = 30°: sin 150° + sin 30° = 1 và 2sin 90° cos 60° = 1 ✓, còn 2sin 90° sin 60° ≈ 1,73 ✗. Tổng sin + sin ra sin · cos.

🔄

Làm mẫu

Tính cos 75° + cos 15°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧮 Rút gọn và chứng minh

Cần nhớ

✦Muốn rút gọn, đưa mọi góc về cùng một góc, thường là góc nhỏ nhất (2x về x).
✦Thấy 1 + cos 2x thì đổi thành 2cos²x; thấy 1 − cos 2x thì đổi thành 2sin²x. Ví dụ: 1 + cos 60° = 1,5 = 2cos²30° = 2 · 0,75.
✦Thấy tích các cos của góc gấp đôi liên tiếp (20°, 40°, 80°) thì nhân và chia sin của góc nhỏ nhất rồi dùng sin 2a = 2 sin a cos a nhiều lần.

Dạng bài

Rút gọn biểu thức có góc gấp đôi

1 Đổi tử và mẫu về góc x bằng công thức nhân đôi.
2 Đặt nhân tử chung ở tử và mẫu.
3 Giản ước, ghi điều kiện mẫu khác 0.
4 Thử lại bằng một góc cụ thể.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết 1 + cos 2x = cos²x (thiếu hệ số 2). Thử x = 0: 1 + cos 0 = 2 mà cos² 0 = 1 ✗; đúng là 1 + cos 2x = 2cos²x.

✂️

Làm mẫu

Rút gọn A = sin 2x/(1 + cos 2x) (cos x ≠ 0).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính tích các cos góc gấp đôi liên tiếp

1 Gọi P là tích, nhân hai vế với sin của góc nhỏ nhất.
2 Dùng sin 2a = 2 sin a cos a để gộp từng cặp, mỗi lần góc gấp đôi.
3 Hai vế còn cùng một giá trị sin nên giản ước được.
4 Thử lại bằng nhân số thập phân.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đoán P = ⅛ rồi quên giản ước sin 20° (≠ 0). Ngoài ra sin 160° = sin(180° − 20°) = sin 20°, không phải −sin 20°.

🎯

Làm mẫu

Tính P = cos 20° cos 40° cos 80°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Góc lạ thường là 15° = 45° − 30°, 75° = 45° + 30°, 105° = 60° + 45°, 135° = 90° + 45°.
✦Nghi ngờ dấu thì thử một góc cụ thể (0°, 30°, 90°) vào cả hai vế, chỉ cần một góc lệch là loại.
✦Đề cho sin a (hoặc cos a) và hỏi cos 2a thì dùng luôn dạng 1 − 2sin²a (hoặc 2cos²a − 1), khỏi tìm thêm cos a.
✦Biểu thức có 1 ± cos 2x thì nghĩ ngay tới hạ bậc: 2cos²x hoặc 2sin²x.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết cos(a + b) = cos a + cos b. Phản ví dụ: a = b = 30°, cos 60° = 0,5 mà cos 30° + cos 30° ≈ 1,73.
✦Sai dấu cos(a − b) = cos a cos b − sin a sin b. Phản ví dụ: a = b = 30° cho cos²30° − sin²30° = 0,5 thay vì cos 0 = 1.
✦Viết sin 2a = 2 sin a. Phản ví dụ: a = 90°, sin 180° = 0 mà 2 sin 90° = 2.
✦Lấy dấu căn sai khi tìm cos a từ sin a: phải xét phần tư. Phản ví dụ: sin a = 45 với a tù thì cos a = −35.
✦Tưởng a nhọn thì 2a nhọn: sin a = 0,8 cho 2a ≈ 106°, cos 2a = −725 < 0.
✦Quên mẫu số của tan(a + b): tan 2 và tan 3 cho −1 chứ không phải 5.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Kiểm tra máy đang ở chế độ độ (Deg) hay rađian (Rad) trước khi tính sin, cos. Sai chế độ là sai cả bài.
✦Tính cả hai vế của một đẳng thức tại cùng một góc (ví dụ 20°): hai vế khác nhau thì đẳng thức sai.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = vế trái − vế phải, cho x chạy vài giá trị, cột luôn bằng 0 thì đẳng thức đúng.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➕

Công thức cộng

1
Nhận biết
cos(a + b) bằng
2
Nhận biết
sin(a − b) bằng
3
Thông hiểu
sin 75° bằng
4
Thông hiểu
cos 75° bằng
5
Thông hiểu
Cho tan a = 2 và tan b = 3. Giá trị tan(a + b) bằng
6
Thông hiểu
tan 75° bằng

✌️

Nhân đôi và hạ bậc

1
Nhận biết
sin 2a bằng
2
Thông hiểu Cho sin a = 35 với a nhọn. Khi đó cos 2a = .
3
Thông hiểu
Cho sin a = 45 với π/2 < a < π. Giá trị sin 2a bằng
4
Thông hiểu
cos² 15° bằng
5
Vận dụng
Cho tan a = 2. Giá trị tan 2a bằng
6
Vận dụng Biết sin x + cos x = 12. Khi đó sin 2x = .

🔁

Tích ↔ tổng

1
Nhận biết
cos a cos b bằng
2
Thông hiểu cos 75° cos 15° = .
3
Thông hiểu
cos 5x + cos x bằng
4
Vận dụng
sin 5x − sin x bằng

🧮

Rút gọn, tính biểu thức

1
Thông hiểu
Rút gọn sin 2x/(1 + cos 2x) (cos x ≠ 0) được
2
Thông hiểu
cos⁴x − sin⁴x bằng
3
Thông hiểu 4 sin 15° cos 15° = .
4
Vận dụng cos 20° cos 40° cos 80° = .
5
Vận dụng Cho a, b nhọn có tan a = 12 và tan b = 13. Khi đó a + b = °.

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho sin a = 45 với 0 < a < π/2 và sin b = 513 với π/2 < b < π. Giá trị cos(a − b) bằng
2
Vận dụng
Giá trị của sin 15° cos 75° bằng
3
Vận dụng
Cho cos x = −35 và π < x < 3π/2. Giá trị sin 2x bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho góc nhọn a có sin a = 513.

a)cos a = 1213.

b)sin 2a = 1013.

c)cos 2a = 119169.

d)2a thuộc phần tư thứ hai.
2
Vận dụng
Cho x = 75° và y = 15°.

a)cos x cos y = 14.

b)cos x + cos y = $\frac{6}{2}$ .

c)cos x − cos y = $\frac{2}{2}$ .

d)sin x + sin y = $\frac{2}{2}$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Biết sin x − cos x = 13. Tính 9 · sin 2x. Đáp số:
2
Vận dụng Cho tan a = 3 và tan b = −12. Tính tan(a − b). Đáp số:
3
Vận dụng Tính 16 · sin 10° sin 50° sin 70°. Đáp số:

🎯 Chủ đề này là nền cho phần nào?

•Bài kiểm tra trên lớp hay có câu tính giá trị góc lạ (15°, 75°), cho sin a tính sin 2a, cos 2a (nhớ xét phần tư), và rút gọn hoặc chứng minh đẳng thức.
•Là nền cho bài hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ngay sau đó: biến tổng thành tích để đưa phương trình về dạng tích.
•Lên lớp 12, công thức hạ bậc thường được dùng để tính nguyên hàm, tích phân của sin²x, cos²x; ở đề tốt nghiệp có thể gặp dưới dạng biến đổi trước khi tính.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hàm số lượng giác