Phương trình lượng giác cơ bản
Giải bốn phương trình lượng giác cơ bản sin x = m, cos x = m, tan x = m, cot x = m: biết khi nào vô nghiệm, viết đủ các họ nghiệm kèm k ∈ ℤ, xử lí đối số 2x, x − π/6 và chọn nghiệm trong một đoạn.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 4
⚡ Nhớ nhanh
- 1sin x = m và cos x = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Ngoài khoảng đó là vô nghiệm, không cần giải.
- 2sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π (hai họ). Đường y = m cắt đường tròn lượng giác ở hai điểm.
- 3cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π (hai họ đối nhau, viết gọn bằng ±).
- 4tan x = tan α ⇔ x = α + kπ và cot x = cot α ⇔ x = α + kπ: luôn có nghiệm, chỉ một họ, bước nhảy là π.
- 5Ba trường hợp đặc biệt nên nhớ thẳng: sin x = 0 ⇔ x = kπ; cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ; sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π.
- 6Đối số là 2x thì giải ra 2x rồi chia cả hai vế cho 2, kể cả phần k2π.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn sin x = m hoặc cos x = m rồi kéo đường y = m: đếm giao điểm với đồ thị trên [−2π; 2π] và hai điểm trên đường tròn lượng giác. Bấm m = 1,5 để thấy không cắt (vô nghiệm), rồi sin x = 0 để thấy hai họ gộp thành x = kπ.
x = π/6 + k2π
x = 5π/6 + k2π
(k ∈ ℤ)
Trên [−2π; 2π]: 4 nghiệm
sin π/6 = 1/2 nên α = π/6. Đường y = 1/2 cắt đường tròn tại 2 điểm: góc π/6 và π − π/6 = 5π/6. Nghiệm: x = π/6 + k2π, x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Trên [−2π; 2π] có 4 nghiệm.
1 🌊 Phương trình sin x = m và cos x = m
Cần nhớ
- ✦Điều kiện có nghiệm: |m| ≤ 1. Ví dụ: sin x = 1,5 vô nghiệm vì sin x không bao giờ vượt quá 1.
- ✦sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π, k ∈ ℤ. Hai họ vì hai điểm trên đường tròn cùng tung độ m.
- ✦cos x = cos α ⇔ x = α + k2π hoặc x = −α + k2π, viết gọn x = ±α + k2π. Hai họ vì hai điểm cùng hoành độ m.
- ✦Tính theo độ thì thay 2π bằng 360° và π bằng 180°. Ví dụ: sin x = sin 20° ⇔ x = 20° + k360° hoặc x = 160° + k360°.
- ✦Khi m không là giá trị quen thuộc, dùng máy tính tìm góc α thoả sin α = m (kí hiệu arcsin m) rồi áp công thức như trên.
Dạng bài
Giải sin x = m
- 1 Kiểm tra |m| ≤ 1. Nếu |m| > 1 thì kết luận vô nghiệm.
- 2 Viết m = sin α với α là góc quen thuộc.
- 3 Viết đủ hai họ: x = α + k2π và x = π − α + k2π, k ∈ ℤ.
- 4 Thử lại bằng cách thay một nghiệm của mỗi họ vào phương trình.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ ghi họ x = π/6 + k2π là mất một nửa nghiệm: x = 5π/6 cũng thoả sin 5π/6 = 12. Kiểm nhanh: đường y = 12 cắt đường tròn ở hai điểm.
Giải phương trình 2sin x − 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Giải cos x = m
- 1 Kiểm tra |m| ≤ 1.
- 2 Viết m = cos α với α quen thuộc (chọn α ∈ [0; π]).
- 3 Viết nghiệm gọn: x = ±α + k2π, k ∈ ℤ.
- 4 Thử lại với cả dấu + và dấu −.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "x = 2π/3 + k2π" thiếu dấu ± là mất họ x = −2π/3 + k2π (chẳng hạn x = 4π/3 ứng với 240°, cos 240° = −12).
Giải phương trình cos x = −12.
Hướng dẫn giải
Phương trình sin x = m có bao nhiêu nghiệm trong một chu kì (độ dài 2π)?
| Giá trị m | Số nghiệm trong một chu kì | Ví dụ |
|---|---|---|
| |m| > 1 | 0 (vô nghiệm) | sin x = 1,5 |
| m = 1 hoặc m = −1 | 1 | sin x = 1 ⇒ x = π/2 + k2π |
| |m| < 1 | 2 | sin x = 12 ⇒ π/6 và 5π/6 |
2 ⭐ Các trường hợp đặc biệt
Nhớ thẳng, khỏi qua công thức
| Phương trình | Nghiệm | Số họ |
|---|---|---|
| sin x = 0 | x = kπ | 1 (đã gộp) |
| sin x = 1 | x = π/2 + k2π | 1 |
| sin x = −1 | x = −π/2 + k2π | 1 |
| cos x = 0 | x = π/2 + kπ | 1 (đã gộp) |
| cos x = 1 | x = k2π | 1 |
| cos x = −1 | x = π + k2π | 1 |
Dạng bài
Gộp họ nghiệm khi m = 0
- 1 Viết sin x = 0 = sin 0, áp công thức hai họ: x = k2π và x = π + k2π.
- 2 Hai họ cách nhau đúng π, nên mỗi số nguyên lần π đều thuộc một trong hai họ.
- 3 Gộp lại thành một họ: x = kπ, k ∈ ℤ.
⚠️ Bẫy hay gặp: sin x = 0 chỉ ghi x = k2π thì thiếu x = π (sin π = 0). Ngược lại cos x = 0 là x = π/2 + kπ, không phải π/2 + k2π (vì cos 3π/2 = 0).
Giải sin x = 0 và đếm số nghiệm thuộc đoạn [−2π; 2π].
Hướng dẫn giải
Khi nào chỉ có một họ?
- ✦m = 1 hoặc m = −1 (sin, cos): đường y = m chỉ chạm đường tròn tại một điểm nên chỉ có một họ.
- ✦Ví dụ: sin x = 1 ⇒ x = π/2 + k2π. Thử lại: sin 90° = 1 ✓, và công thức hai họ cho x = π − π/2 = π/2 trùng họ thứ nhất.
- ✦m = 0 với sin hoặc cos: hai họ cách nhau π nên gộp được thành một họ có bước nhảy kπ.
- ✦|m| > 1: đường y = m không cắt đồ thị, vô nghiệm. Ví dụ: cos x = −1,2 vô nghiệm.
3 📐 Phương trình tan x = m và cot x = m
Cần nhớ
- ✦tan x = m luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ. Gọi α là góc có tan α = m (α = arctan m), nghiệm là x = α + kπ, k ∈ ℤ.
- ✦cot x = m luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ, nghiệm cũng là x = α + kπ với cot α = m.
- ✦Chỉ một họ, bước nhảy π (không phải 2π), vì tan và cot lặp lại sau mỗi nửa vòng.
- ✦Điều kiện xác định: tan x cần x ≠ π/2 + kπ; cot x cần x ≠ kπ. Nghiệm tìm được luôn thoả điều kiện này.
Dạng bài
Giải tan x = m hoặc cot x = m
- 1 Không cần điều kiện cho m: luôn có nghiệm.
- 2 Viết m = tan α (hoặc cot α) với α quen thuộc.
- 3 Viết một họ: x = α + kπ, k ∈ ℤ.
- 4 Thử lại bằng 2 nghiệm liên tiếp của họ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết x = π/3 + k2π (bước nhảy 2π) là mất nghiệm x = 4π/3: tan 240° = √3 mà 4π/3 không có dạng π/3 + k2π.
Giải phương trình tan x = √3.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Giải cot x = m
- 1 Viết m = cot α với α quen thuộc.
- 2 Nghiệm x = α + kπ, k ∈ ℤ.
- 3 Thử lại bằng cách tính cos chia sin tại một nghiệm.
Giải phương trình cot x = −1.
Hướng dẫn giải
Bốn phương trình cơ bản đặt cạnh nhau
| Phương trình | Điều kiện có nghiệm | Số họ | Bước nhảy |
|---|---|---|---|
| sin x = m | |m| ≤ 1 | 2 | k2π |
| cos x = m | |m| ≤ 1 | 2 (viết gọn ±) | k2π |
| tan x = m | mọi m | 1 | kπ |
| cot x = m | mọi m | 1 | kπ |
4 🔧 Đối số phức tạp, đưa về cùng hàm, chọn nghiệm trong đoạn
Cần nhớ
- ✦sin u = sin v ⇔ u = v + k2π hoặc u = π − v + k2π. cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π. tan u = tan v ⇔ u = v + kπ.
- ✦Khác tên hàm thì đổi về cùng hàm: cos θ = sin(π/2 − θ). Ví dụ: sin x = cos x ⇔ sin x = sin(π/2 − x).
- ✦Đối số là ax thì giải ra ax rồi chia cả hai vế cho a, nghiệm kèm k2π cũng bị chia: bước nhảy của x là 2π/a.
- ✦Chọn nghiệm trong đoạn: cho k chạy các giá trị nguyên sao cho nghiệm nằm trong đoạn, kiểm tra đầu mút.
Dạng bài
Đối số là 2x hoặc x − α
- 1 Đặt u là đối số (u = 2x hay u = x − π/6), giải phương trình cơ bản theo u.
- 2 Viết nghiệm theo u, nhớ k2π (hoặc kπ).
- 3 Thay u trở lại rồi giải ra x: chia cả hai vế, kể cả phần chứa k.
- 4 Thử lại bằng một nghiệm của mỗi họ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chia 2x cho 2 mà quên chia k2π ra x = ±π/3 + k2π là mất một nửa nghiệm: x = 4π/3 thoả phương trình nhưng không thuộc họ đó. Đối số 2x thì bước nhảy của x chỉ còn π.
Giải phương trình cos 2x = −12.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Đưa về cùng hàm: sin u = sin v và sin u = cos v
- 1 Cùng tên hàm thì áp ngay công thức. Khác tên thì đổi cos θ = sin(π/2 − θ).
- 2 Giải từng họ, kiểm tra họ nào vô nghiệm (khi hệ số của x triệt tiêu).
- 3 Rút gọn nghiệm và thử lại bằng độ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Từ 3x = x + k2π suy ra 2x = k2π, tức x = kπ. Viết x = k2π là quên chia k2π cho 2 và làm mất x = π, 3π, … (sin 3π = 0 = sin π).
Giải phương trình sin 3x = sin x.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Chọn nghiệm trong một đoạn
- 1 Viết các họ nghiệm tổng quát.
- 2 Với mỗi họ, giải bất phương trình theo k (k nguyên) để nghiệm nằm trong đoạn.
- 3 Liệt kê nghiệm, kiểm tra riêng hai đầu mút.
- 4 Đếm số nghiệm của mọi họ rồi cộng lại.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ lấy họ thứ nhất rồi kết luận "2 nghiệm" là thiếu: mỗi chu kì 2π có hai nghiệm, đoạn dài 4π nên có 4 nghiệm.
Tìm các nghiệm của sin x = 12 thuộc đoạn [−2π; 2π].
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Thấy sin x = m hay cos x = m với |m| > 1: chọn ngay "vô nghiệm".
- ✦Có dấu ± trong đáp án là của cos. Hai họ x = α + k2π và x = π − α + k2π là của sin. Một họ với kπ là của tan, cot.
- ✦Đối số là 2x: đáp án phải có bước nhảy π (hoặc kπ/2 với tan), loại phương án còn k2π.
- ✦Đếm nghiệm trong đoạn dài L: mỗi chu kì 2π có 2 nghiệm của sin x = m (|m| < 1), nên đoạn 4π có 4 nghiệm. Tan, cot thì mỗi π có 1 nghiệm.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Giải sin x = 2 bằng x = arcsin 2. Đúng: vô nghiệm, vì sin x ≤ 1.
- ✦Chỉ ghi một họ cho sin x = m. Phản ví dụ: sin x = 12 mà chỉ có x = π/6 thì mất x = 5π/6 (sin 150° = 12).
- ✦Dùng k2π cho tan, cot. Phản ví dụ: tan x = 1 mà chỉ ghi π/4 + k2π thì mất x = 5π/4 (tan 225° = 1).
- ✦Giải cos 2x = a mà viết x = ±α + k2π. Đúng: chia cả vế, được x = ±α/2 + kπ.
- ✦Viết sin x = 0 ⇔ x = k2π hoặc cos x = 0 ⇔ x = π/2 + k2π. Đúng: sin x = 0 ⇔ x = kπ; cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ.
- ✦Quên ghi k ∈ ℤ: công thức không có k chỉ mô tả một nghiệm, không phải vô số nghiệm.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chọn chế độ đơn vị góc phù hợp (độ hoặc rađian) trước khi tính sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹. Máy chỉ trả về một góc α, họ nghiệm còn lại phải tự viết.
- ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = sin x − m, cho x chạy theo bước đẹp, cột nào bằng 0 là nghiệm. Dùng để thử lại từng nghiệm của họ.
- ✦Máy báo lỗi khi bấm sin⁻¹ của số vượt quá 1: đó chính là dấu hiệu phương trình vô nghiệm.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Phương trình sin x = m và cos x = m
- 1Nhận biết
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
- 2Thông hiểu
Nghiệm của phương trình sin x = √22 là
- 3Thông hiểu
Nghiệm của phương trình cos x = √32 là
- 4Nhận biết Góc α ∈ (0°; 180°) thoả cos α = 12 là α = °.
- 5Vận dụng
Số nghiệm của phương trình cos x = 12 trên đoạn [0; 4π] là
- 6Thông hiểu
Nghiệm của phương trình sin x = sin 20° là
Các trường hợp đặc biệt
- 1Nhận biết
Nghiệm của phương trình sin x = 0 là
- 2Thông hiểu
Nghiệm của phương trình cos x = −1 là
- 3Thông hiểu
Nghiệm của phương trình sin x = −1 là
- 4Thông hiểu Số nghiệm của phương trình sin x = 0 trên đoạn [−2π; 2π] là .
- 5Thông hiểu
Số nghiệm của phương trình cos x = 0 trên đoạn [0; 3π] là
Phương trình tan x = m và cot x = m
- 1Nhận biết
Phương trình nào sau đây có nghiệm với mọi số thực m?
- 2Thông hiểu
Nghiệm của phương trình tan x = √3 là
- 3Thông hiểu
Nghiệm của phương trình cot x = 1 là
- 4Vận dụng Phương trình tan x = −1 có nghiệm x = −45° + k180°. Nghiệm lớn nhất thuộc (0°; 360°) là °.
Đối số phức tạp và chọn nghiệm
- 1Thông hiểu
Nghiệm của phương trình cos 2x = 12 là
- 2Thông hiểu
Nghiệm của phương trình tan 2x = 1 là
- 3Vận dụng
Nghiệm của phương trình sin(x − π/6) = √32 là
- 4Thông hiểu Số nghiệm của phương trình sin x = 12 trên đoạn [−2π; 2π] là .
- 5Vận dụng
Nghiệm của phương trình sin 3x = sin x là
- 6Vận dụng Số nghiệm của phương trình cos x = −12 trên đoạn [0; 6π] là .
- 7Vận dụng
Nghiệm của phương trình sin x = cos(x − π/3) là
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Nghiệm của phương trình 2cos x + √3 = 0 là
- 2Thông hiểu
Số nghiệm của phương trình sin x = −12 trên đoạn [−π; 2π] là
- 3Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sin x = 2m − 1 có nghiệm.
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho phương trình 2cos x − √2 = 0.
a)Phương trình tương đương với cos x = √22.
b)Phương trình chỉ có một họ nghiệm là x = π/4 + k2π.
c)x = 7π/4 là một nghiệm của phương trình.
d)Phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn [0; 2π].
- 2Vận dụng
Cho phương trình tan 2x = √3.
a)Phương trình tan 2x = m có nghiệm với mọi m ∈ ℝ.
b)Nghiệm của phương trình là x = π/6 + kπ, k ∈ ℤ.
c)x = π/3 là một nghiệm của phương trình.
d)Phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (0; π).
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Vận dụng Phương trình sin 2x = 12 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]? Đáp số:
- 2Vận dụng Tính tổng các nghiệm của phương trình tan x = 1 thuộc đoạn [0; 3π], theo đơn vị π (viết dạng số thập phân). Đáp số:
- 3Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2cos x = m − 3 có nghiệm? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu giải phương trình sin x = m hoặc cos x = m với m là giá trị quen thuộc, yêu cầu viết đủ họ nghiệm kèm k ∈ ℤ; đối số 2x hay x − π/6 hay gặp ở câu khó hơn.
- •Hay có câu đếm hoặc liệt kê nghiệm trong một đoạn và câu tìm tham số m để phương trình có nghiệm (điều kiện |m| ≤ 1), nên dễ mất điểm ở đầu mút và nghiệm bị bỏ sót.
- •Chủ đề này là nền cho lớp 12: giải y′ = 0 của hàm có sin, cos để xét cực trị, giải phương trình khi tính tích phân hay bài toán dao động, có thể gặp lại ở các câu vận dụng của đề tốt nghiệp.
Dãy số