Dãy số
Tính số hạng của dãy cho bằng công thức hoặc hệ thức truy hồi, xét dãy tăng, giảm hay không đơn điệu bằng cách xét hiệu, và nhận ra dãy bị chặn.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 5
⚡ Nhớ nhanh
- 1Dãy số là hàm số xác định trên tập số nguyên dương ℕ*: mỗi số thứ tự n ứng với đúng một số hạng uₙ. Vì n chỉ nhận số nguyên nên hình của dãy là các chấm rời rạc.
- 2Ba cách cho dãy: công thức tổng quát (tính ngay uₙ), hệ thức truy hồi (số hạng đầu + cách sinh số hạng sau, phải đi từng bước), mô tả bằng lời.
- 3Dãy tăng khi uₙ₊₁ > uₙ với mọi n; giảm khi uₙ₊₁ < uₙ với mọi n. Lúc tăng lúc giảm thì không tăng không giảm.
- 4Cách xét chính là xét hiệu uₙ₊₁ − uₙ rồi xét dấu. Xét tỉ số uₙ₊₁/uₙ chỉ dùng khi mọi số hạng dương.
- 5Bị chặn trên nếu có M để uₙ ≤ M với mọi n; bị chặn dưới nếu có m để uₙ ≥ m; bị chặn là có cả hai.
- 6Thói quen chống sai: tính vài số hạng đầu chỉ để đoán, kết luận tăng / giảm / bị chặn phải chứng minh cho mọi n.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo thanh trượt n (1–10) hoặc chạm vào chấm để đọc uₙ và uₙ₊₁ − uₙ, bật "Xét hiệu" để thấy dấu + / − từng bước; vạch chặn trên, chặn dưới nét đứt tự hiện nếu có. Bấm 10n − n² để gặp bẫy: 5 số hạng đầu tăng nhưng không phải dãy tăng; bấm 2ⁿ và (−1)ⁿ/n để gặp dãy không bị chặn và dãy không tăng không giảm.
Dãy số là các chấm rời: chỉ có u₁, u₂, u₃…, không có "u₁,₅".
u3 = 0,75 · u4 − u3 = 0,05
Tăng / giảm: uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 với mọi n ⇒ dãy TĂNG.
Bị chặn: Bị chặn: 1/2 ≤ uₙ < 1 (càng về sau càng sát 1 mà không chạm).
Hình chỉ cho thấy 10 số hạng đầu: nó gợi ý, còn kết luận phải chứng minh bằng hiệu (hoặc tỉ số khi mọi uₙ > 0) cho mọi n.
1 🔢 Dãy số và ba cách cho dãy
Cần nhớ
- ✦Dãy số là hàm số trên ℕ*, viết (uₙ). uₙ là số hạng thứ n. Ví dụ: uₙ = n/(n + 1) có u₁ = 12, u₂ = 23, u₃ = 34.
- ✦n chỉ nhận số nguyên dương nên hỏi u₂,₅ là vô nghĩa, còn hàm số y = n/(n + 1) thì có giá trị tại 2,5. Trên hình, dãy là các chấm rời, không nối thành đường.
- ✦Dãy hữu hạn có số hạng cuối (vd 1; 4; 9; 16), dãy vô hạn thì không dừng (vd uₙ = n²).
- ✦Hai dãy khác nhau nếu khác ở dù chỉ một số hạng hoặc khác thứ tự: 1; 2; 3 khác 3; 2; 1.
Ba cách cho một dãy
| Cách cho | Ví dụ | Lợi thế | Bất lợi |
|---|---|---|---|
| Công thức tổng quát | uₙ = n² + 1 | Tính ngay u₁₀₀ | Không phải dãy nào cũng có |
| Hệ thức truy hồi | u₁ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ | Mô tả đúng quy luật sinh | Muốn u₁₀₀ phải đi 99 bước |
| Mô tả bằng lời | Dãy các số nguyên tố | Diễn đạt tự nhiên | Khó tính toán |
Dạng bài
Tính số hạng khi cho công thức tổng quát
- 1 Thay n bằng số thứ tự cần tính, thay vào mọi chỗ có n.
- 2 Muốn tìm số hạng bằng một giá trị cho trước thì giải phương trình uₙ = giá trị, n phải là số nguyên dương.
- 3 Thử lại bằng cách thay n tìm được vào công thức.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thay n = 10 chỉ vào tử rồi viết u₁₀ = 1010 + 1 = 2 là sai. Phải thay vào cả mẫu: u₁₀ = 1011.
Cho uₙ = n/(n + 1). Tính u₁₀ và tìm số hạng bằng 0,9.
Hướng dẫn giải
2 🔁 Dãy cho bằng hệ thức truy hồi
Cần nhớ
- ✦Cho bằng truy hồi gồm số hạng đầu và cách sinh số hạng sau từ số hạng trước. Ví dụ: u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 cho 3; 5; 9; 17; 33.
- ✦Muốn tính u₄ phải đi từng bước u₂, u₃, u₄, không nhảy cóc được (trừ khi tìm được công thức tổng quát).
- ✦Có hệ thức dùng hai số hạng trước, khi đó phải cho hai số hạng đầu. Ví dụ: u₁ = 1, u₂ = 2, uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ cho 1; 2; 3; 5; 8.
Dạng bài
Tính số hạng từ hệ thức truy hồi
- 1 Ghi số hạng đầu. Xác định n trong hệ thức ứng với số hạng trước nào.
- 2 Tính lần lượt u₂, u₃, … đến số hạng cần tìm, ghi từng kết quả.
- 3 Thử lại: tìm quy luật hoặc tính lại một lượt bằng cách khác.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với u₁ = 1, uₙ₊₁ = uₙ + n thì n là chỉ số của số hạng trước: u₂ = 1 + 1 = 2, u₃ = 2 + 2 = 4, u₄ = 4 + 3 = 7. Cộng 4 để được u₄ = 8 là nhầm n.
Cho u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1. Tính u₄.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Đoán công thức tổng quát từ vài số hạng đầu
- 1 Viết 4–5 số hạng đầu, tính hiệu hoặc so với các lũy thừa quen thuộc (n², 2ⁿ).
- 2 Đoán công thức uₙ và kiểm tra khớp tất cả số hạng đã tính.
- 3 Thử lại bằng cách thay công thức vào hệ thức truy hồi.
⚠️ Bẫy hay gặp: Ba số hạng đầu 1; 2; 4 chưa đủ để chốt: số tiếp theo có thể là 8 (uₙ = 2ⁿ⁻¹) hoặc 7 (uₙ = n² − n + 22). Đoán xong phải kiểm bằng truy hồi.
Dãy u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 có công thức tổng quát nào?
Hướng dẫn giải
3 📈 Dãy tăng, dãy giảm
Cần nhớ
- ✦Tăng: uₙ₊₁ > uₙ ∀n. Giảm: uₙ₊₁ < uₙ ∀n. Ví dụ: uₙ = 5 − 2n giảm vì uₙ₊₁ − uₙ = −2 < 0.
- ✦Dãy không tăng không giảm khi có chỗ tăng và có chỗ giảm. Ví dụ: (−1)ⁿ/n có −1; 12; −13: lên rồi xuống.
- ✦Xét hiệu dùng được cho mọi dãy. Xét tỉ số uₙ₊₁/uₙ chỉ khi mọi uₙ > 0: tỉ số > 1 thì tăng, < 1 thì giảm.
- ✦Mẹo: tách phần nguyên. Ví dụ: (2n + 1)/n = 2 + 1/n, mà 1/n giảm nên dãy giảm.
Dạng bài
Xét tăng, giảm bằng cách xét hiệu
- 1 Viết uₙ₊₁ bằng cách thay n bởi n + 1 ở mọi chỗ.
- 2 Lập hiệu uₙ₊₁ − uₙ, quy đồng và rút gọn.
- 3 Xét dấu với mọi n ≥ 1: luôn dương thì tăng, luôn âm thì giảm, đổi dấu thì không đơn điệu.
- 4 Thử lại bằng vài số hạng đầu.
⚠️ Bẫy hay gặp: uₙ = 10n − n² có u₁ = 9, u₂ = 16, u₃ = 21, u₄ = 24, u₅ = 25 tăng liền, nhưng u₆ = 24 < u₅. Thấy vài số hạng đầu tăng rồi kết luận "dãy tăng" là sai.
Xét tính tăng, giảm của uₙ = n/(n + 1).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Xét tăng, giảm bằng cách xét tỉ số (dãy dương)
- 1 Kiểm tra mọi uₙ > 0. Có số hạng âm hoặc bằng 0 thì quay lại xét hiệu.
- 2 Tính uₙ₊₁/uₙ và so với 1.
- 3 Kết luận và thử lại bằng hai số hạng đầu.
⚠️ Bẫy hay gặp: uₙ = −2ⁿ có tỉ số uₙ₊₁/uₙ = 2 > 1 nhưng dãy giảm (−2 > −4 > −8). Số hạng âm làm đảo chiều bất đẳng thức, nên chỉ dùng tỉ số khi mọi số hạng dương.
Xét dãy uₙ = 2ⁿ.
Hướng dẫn giải
Bốn dãy mẫu: nhìn là biết
| Dãy | Vài số hạng | Kết luận |
|---|---|---|
| n/(n + 1) | 12; 23; 34 | Tăng |
| 5 − 2n | 3; 1; −1 | Giảm |
| 7 (mọi n) | 7; 7; 7 | Hằng: không tăng, không giảm |
| (−1)ⁿ/n | −1; 12; −13 | Không tăng không giảm |
Một lời nhắn cho lớp 12
- ✦Công thức đơn giản thì có thể coi uₙ = f(n) và xét hàm f. Lên lớp 12 sẽ có cách mạnh hơn bằng đạo hàm; ở lớp 11, xét hiệu là cách chính.
4 📏 Dãy bị chặn
Cần nhớ
- ✦Bị chặn trên: có M sao cho uₙ ≤ M ∀n. Bị chặn dưới: có m sao cho uₙ ≥ m ∀n. Bị chặn: cả hai.
- ✦Ví dụ: uₙ = n/(n + 1) có 12 ≤ uₙ < 1 nên bị chặn. uₙ = 2ⁿ bị chặn dưới bởi 2 nhưng không bị chặn trên.
- ✦Cận không cần được "chạm tới": n/(n + 1) < 1 với mọi n, không bao giờ bằng 1, vẫn bị chặn trên bởi 1.
- ✦Dãy tăng thì bị chặn dưới bởi u₁; dãy giảm thì bị chặn trên bởi u₁.
Dạng bài
Chứng minh dãy bị chặn
- 1 Tách phần nguyên, viết lại uₙ cho gọn.
- 2 Đánh giá phần còn lại bằng bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 1.
- 3 Nêu cận trên và cận dưới.
- 4 Thử lại bằng u₁ và một số hạng ở n rất lớn.
⚠️ Bẫy hay gặp: "Dãy tăng thì không bị chặn" là sai: uₙ = n/(n + 1) tăng nhưng luôn nhỏ hơn 1. Ngược lại, "dãy bị chặn thì tăng" cũng sai: (−1)ⁿ/n bị chặn mà không tăng.
Chứng minh uₙ = (2n + 1)/n bị chặn.
Hướng dẫn giải
Hay lẫn: tăng giảm và bị chặn là hai chuyện khác nhau
| Dãy | Tăng / giảm | Bị chặn |
|---|---|---|
| n/(n + 1) | Tăng | Có: 12 ≤ uₙ < 1 |
| 2ⁿ | Tăng | Chặn dưới bởi 2, không chặn trên |
| (−1)ⁿ/n | Không tăng không giảm | Có: −1 ≤ uₙ ≤ 12 |
| u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 (uₙ = 2ⁿ + 1) | Tăng (hiệu 2ⁿ > 0) | Chặn dưới bởi 3, không chặn trên |
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Dạng an + bcn + d: tách phần nguyên thành k + t/(n + p). t > 0 thì dãy giảm, t < 0 thì dãy tăng. Vd 3 − 5n + 1 tăng, 2 + 1/n giảm.
- ✦Có (−1)ⁿ nhân vào: các số hạng đổi dấu liên tục nên dãy không tăng không giảm (miễn số hạng khác 0).
- ✦Câu tăng / giảm: thử u₁, u₂, u₃ để loại phương án, nhưng muốn khẳng định phải có lập luận cho mọi n.
- ✦Câu truy hồi: kẻ bảng n | uₙ, điền từng dòng, đếm đủ số bước trước khi chọn đáp án.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Tính vài số hạng thấy tăng rồi kết luận tăng. Phản ví dụ: uₙ = 10n − n² tăng đến u₅ = 25 rồi giảm u₆ = 24.
- ✦Viết uₙ₊₁ bằng cách cộng 1 vào cả biểu thức. Với uₙ = n/(n + 1), đúng là uₙ₊₁ = n + 1n + 2, không phải n/(n + 1) + 1.
- ✦Dùng tỉ số cho dãy có số hạng âm. Phản ví dụ: uₙ = −2ⁿ tỉ số 2 > 1 nhưng dãy giảm.
- ✦Nghĩ "tăng thì không bị chặn". Phản ví dụ: n/(n + 1) tăng mà nhỏ hơn 1.
- ✦Đếm số hạng thoả uₙ > a mà quên xét dấu bằng ở đầu mút. Vd (3n + 1)/n > 3,1 ⇔ n < 10, chọn n = 1; …; 9, không lấy n = 10.
- ✦Hỏi u₂,₅ hay tìm "n = 2,5": n phải là số nguyên dương, nghiệm không nguyên thì không có số hạng đó.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = công thức uₙ, cho x chạy từ 1, bước 1. Cột f(x) cho thấy dãy đang tăng, giảm hay đổi chiều.
- ✦Dãy truy hồi: nhập số hạng đầu rồi bấm bằng, sau đó nhập biểu thức có chứa Ans (số kết quả vừa ra). Mỗi lần bấm bằng được thêm một số hạng.
- ✦Máy chỉ cho thấy vài số hạng đầu nên chỉ dùng để thử lại, bài tự luận vẫn phải chứng minh bằng xét hiệu.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Khái niệm và công thức tổng quát
- 1Nhận biết
Dãy số là hàm số có tập xác định là
- 2Nhận biết
Dãy uₙ = 3n + 2 có u₅ bằng
- 3Thông hiểu Cho uₙ = 2n − 1n + 1. Khi đó u₃ =
- 4Thông hiểu Số 15 là số hạng thứ của dãy uₙ = 2n − 1.
- 5Thông hiểu
Với dãy uₙ = 2n − 1, biểu thức nào không có nghĩa?
Dãy truy hồi
- 1Thông hiểu
Cho u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1. Số hạng u₃ bằng
- 2Thông hiểu
Cho u₁ = 1, uₙ₊₁ = uₙ + n. Số hạng u₄ bằng
- 3Thông hiểu Cho u₁ = 2, uₙ₊₁ = 3uₙ − 2. Khi đó u₄ =
- 4Vận dụng
Cho u₁ = 1, u₂ = 2, uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ. Số hạng u₅ bằng
- 5Vận dụng
Dãy u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 có công thức tổng quát là
Tăng, giảm
- 1Nhận biết
Dãy uₙ = 5 − 2n là dãy
- 2Thông hiểu
Dãy uₙ = n + 3n + 1 là dãy
- 3Thông hiểu
Dãy uₙ = (−1)ⁿ/n là dãy
- 4Thông hiểu
Dãy dương uₙ = 12ⁿ có tỉ số uₙ₊₁/uₙ bằng và là dãy
- 5Thông hiểu Dãy uₙ = n² − 4n thoả uₙ₊₁ > uₙ khi n ≥
- 6Vận dụng Số hạng lớn nhất của dãy uₙ = 10n − n² là số hạng thứ
Dãy bị chặn
- 1Nhận biết
Dãy (uₙ) bị chặn trên khi tồn tại số M sao cho
- 2Thông hiểu
Dãy nào sau đây bị chặn?
- 3Thông hiểu
Dãy uₙ = (2n + 1)/n thoả
- 4Vận dụng
Mệnh đề nào đúng?
- 5Vận dụng Số nguyên M nhỏ nhất để dãy uₙ = 3n + 2n + 1 thoả uₙ ≤ M với mọi n là M =
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Cho dãy uₙ = 2n − 1n + 1. Khẳng định nào đúng?
- 2Thông hiểu
Cho u₁ = 2, uₙ₊₁ = uₙ² − 1. Số hạng u₄ bằng
- 3Vận dụng
Dãy uₙ = n² − 6n + 5 có bao nhiêu số hạng âm?
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho dãy số (uₙ) xác định bởi uₙ = 3n − 2n + 1.
a)u₁ = 12.
b)Dãy (uₙ) là dãy giảm.
c)Dãy có một số hạng bằng 3.
d)u₉ = 2,5.
- 2Vận dụng
Cho dãy (uₙ) xác định bởi u₁ = 1, uₙ₊₁ = uₙ + 2n với mọi n ≥ 1.
a)u₃ = 7.
b)u₄ = 11.
c)Công thức tổng quát của dãy là uₙ = n² + 1.
d)u₁₀ = 91.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Cho u₁ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1. Tính u₅. Đáp số:
- 2Vận dụng Tìm số hạng lớn nhất của dãy uₙ = 12n − n² − 20. Đáp số:
- 3Vận dụng Có bao nhiêu số hạng của dãy uₙ = (3n + 1)/n lớn hơn 3,1? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Chủ đề là nền cho cấp số cộng, cấp số nhân (bài 6, 7) và giới hạn của dãy số (bài 15): các bài đó đều dùng cách cho dãy và xét tăng, giảm, bị chặn.
- •Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi: tính số hạng của dãy truy hồi, xét tăng giảm bằng xét hiệu, chứng minh dãy bị chặn. Câu trắc nghiệm hay có dạng phân thức cần tách phần nguyên.
- •Lên lớp 12, xét chiều biến thiên của hàm số bằng đạo hàm dùng cùng ý "xét dấu hiệu"; hiểu kỹ xét hiệu ở đây thì chuyển sang đạo hàm dễ hơn.
Cấp số cộng