Chủ đề 6 · Học kỳ 1

Cấp số cộng

Nhận ra cấp số cộng và tìm công sai, tính số hạng thứ n, tính tổng n số hạng đầu, dùng tính chất ba số liên tiếp và giải bài toán thực tế.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 6

⚡ Nhớ nhanh

1Cấp số cộng là dãy mà mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước cộng một hằng số d (công sai): uₙ₊₁ = uₙ + d. Nhận ra bằng cách kiểm hiệu hai số liên tiếp có luôn bằng nhau không.
2Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ + (n − 1)d. Đi từ số hạng thứ nhất đến thứ n chỉ qua n − 1 bước cộng, không phải n.
3Tổng n số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ (biết số cuối) hoặc $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ (chưa biết số cuối).
4Ba số liên tiếp: a, b, c lập cấp số cộng ⇔ b = a + c2. Số giữa là trung bình cộng của hai số kề.
5d có thể âm (dãy giảm) hoặc bằng 0 (dãy hằng, vẫn là cấp số cộng).
6Thói quen chống sai: thử công thức bằng n = 1, kết quả phải ra đúng u₁. Xong bài thì liệt kê vài số hạng đầu để kiểm.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm + / − đổi u₁, d, n và nhìn các cột: mỗi cột cao hơn cột trước đúng d. Bấm "Ghép cặp" để thấy hai bậc thang ghép thành hình chữ nhật n × (u₁ + uₙ), nên Sₙ là một nửa hình chữ nhật. Thử cả d < 0 và d = 0 (mẫu u₁ = 5, d = 3 chỉ là điểm bắt đầu) trước khi đọc lý thuyết.

Mỗi bậc cao hơn bậc trước đúng d.

u₁

uₙ = u₁ + (n − 1)d = 5 + 7·3 = 26 (n − 1 bậc, không phải n bậc)

Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 = 8·(5 + 26)/2 = 124

Hai bậc thang úp vào nhau thành hình chữ nhật n × (u₁ + uₙ), tổng là một nửa.

1 🪜 Nhận ra cấp số cộng, tìm công sai

Cần nhớ

✦Định nghĩa: uₙ₊₁ = uₙ + d với mọi n. Ví dụ: 5; 8; 11; 14; … cộng 3 mỗi lần ⇒ d = 3.
✦Công sai d = uₙ₊₁ − uₙ, và phải là hằng số. Ví dụ: 10; 7; 4; 1 có d = 7 − 10 = −3.
✦d > 0 dãy tăng, d < 0 dãy giảm, d = 0 dãy hằng. Ví dụ: 4; 4; 4; 4 là cấp số cộng với d = 0.
✦Dãy tăng đều nhìn mắt chưa chắc là cấp số cộng. Ví dụ: 1; 4; 9; 16 có hiệu 3; 5; 7 (đổi) nên không phải.

Dạng bài

Chứng minh hoặc kiểm tra một dãy là cấp số cộng

1 Lấy hai số hạng liên tiếp bất kì, tính hiệu uₙ₊₁ − uₙ (nếu cho công thức uₙ thì thay n + 1 vào).
2 Rút gọn xem hiệu có còn chứa n không. Còn n thì không phải cấp số cộng.
3 Hiệu là hằng số thì đó chính là công sai d.
4 Thử lại: viết 3 số hạng đầu và kiểm hiệu từng cặp.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dãy uₙ = n² + 1 cho 2; 5; 10; 17: nhìn tăng đều nhưng hiệu là 3; 5; 7, không phải hằng số nên không là cấp số cộng. Phải kiểm hiệu, không kiểm "có tăng không".

🪜

Làm mẫu

Dãy (uₙ) có uₙ = 3n + 2 có là cấp số cộng không? Công sai bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Nhìn công sai là biết dãy gì

Công sai	Dãy	Ví dụ
d > 0	Tăng, các cột bậc thang cao dần	5; 8; 11; 14 (d = 3)
d < 0	Giảm, bậc thang hạ dần	10; 7; 4; 1 (d = −3)
d = 0	Hằng, mọi cột bằng nhau	4; 4; 4; 4 (d = 0)

2 🔢 Số hạng tổng quát

Cần nhớ

✦uₙ = u₁ + (n − 1)d. Ví dụ: u₁ = 5, d = 3 ⇒ u₂₀ = 5 + 19·3 = 62.
✦Hai số hạng bất kì: uₘ − uₖ = (m − k)d. Ví dụ: u₇ − u₃ = 4d.
✦Đồ thị các điểm (n; uₙ) nằm trên một đường thẳng, vì uₙ = dn + (u₁ − d) là hàm bậc nhất của n. Ví dụ: uₙ = 3n + 2.
✦Kiểm nhanh công thức: n = 1 phải trả về u₁. Công thức u₁ + nd cho u₁ + d ≠ u₁ nên sai.

Dạng bài

Tìm u₁ và d từ hai số hạng cho trước

1 Viết hiệu hai số hạng: uₘ − uₖ = (m − k)d.
2 Giải ra d, rồi tính u₁ = uₖ − (k − 1)d.
3 Viết uₙ = u₁ + (n − 1)d và tính số hạng đề hỏi.
4 Thử lại: tính ngược ra đúng hai số hạng đề cho.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính u₁ = u₃ − d = 8 (chỉ lùi một bước) là sai. Từ u₃ về u₁ phải lùi 2 bước: u₁ = 11 − 2·3 = 5.

🔢

Làm mẫu

Cấp số cộng có u₃ = 11 và u₇ = 23. Tìm u₁, d và u₁₀.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Một số cho trước là số hạng thứ mấy?

1 Cho uₙ bằng số đó: u₁ + (n − 1)d = số cần tìm.
2 Giải n. Nếu n không phải số nguyên dương thì số đó không thuộc dãy.
3 Kết luận số hạng thứ n.
4 Thử lại: thay n vào uₙ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Số 100 có thuộc dãy không? (n − 1)·3 = 95 ⇒ n − 1 = 953 không nguyên ⇒ không thuộc. Đừng làm tròn n.

🎯

Làm mẫu

Số 101 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng 5; 8; 11; … ?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ➕ Tổng n số hạng đầu

Cần nhớ

✦Biết số cuối: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ . Ví dụ: 1 + 2 + … + 100 = 100·1012 = 5050.
✦Chưa biết số cuối: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ . Ví dụ: u₁ = 5, d = 3, n = 20 ⇒ 20·10 + 572 = 670.
✦Vì sao có chia 2: viết tổng thuận rồi viết tổng ngược, cộng từng cặp thì mỗi cặp đều bằng u₁ + uₙ, có n cặp ⇒ 2Sₙ = n(u₁ + uₙ). Đó là hình chữ nhật ở bên trên.
✦Số số hạng từ a đến b (công sai d): n = (b − a)/d + 1. Ví dụ: 3; 6; …; 99 có 99 − 33 + 1 = 33 số.

Dạng bài

Tính tổng một cấp số cộng

1 Xác định u₁, d và số số hạng n (tính n bằng uₙ nếu đề cho số cuối).
2 Biết u₁ và uₙ thì dùng nu₁ + uₙ2; chưa biết uₙ thì dùng dạng có d.
3 Tính, chú ý chia 2.
4 Thử lại bằng cách tính theo dạng còn lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính S₂₀ = 20·62 = 1240 (nhân n với số cuối) là sai: các số hạng khác nhau. Phải lấy trung bình 5 + 622 = 33,5 rồi nhân 20 ⇒ 670.

➕

Làm mẫu

Cấp số cộng có u₁ = 5, d = 3. Tính S₂₀.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm n khi biết tổng

1 Viết Sₙ theo n bằng dạng có d.
2 Cho bằng giá trị đề cho, đưa về phương trình bậc hai theo n.
3 Giải, chỉ lấy n nguyên dương.
4 Thử lại bằng cách tính Sₙ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên loại nghiệm âm hoặc không nguyên: n = −12,5 cũng nghiệm đúng phương trình nhưng số số hạng không thể âm.

🎯

Làm mẫu

Cấp số cộng u₁ = 3, d = 4. Cần lấy bao nhiêu số hạng đầu để tổng bằng 300?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🏦 Ba số liên tiếp và bài toán thực tế

Cần nhớ

✦a, b, c lập cấp số cộng ⇔ 2b = a + c. Ví dụ: 2; 5; 8 có 2·5 = 2 + 8 ✓.
✦Gặp "mỗi tháng thêm / mỗi hàng nhiều hơn một lượng cố định" là cộng. Ví dụ: 200 nghìn rồi tăng 50 nghìn mỗi tháng.
✦Gặp "gấp k lần tháng trước" thì không phải cấp số cộng (là cấp số nhân, bài sau).

Dạng bài

Tìm x để ba số lập cấp số cộng

1 Viết điều kiện số giữa: 2·(số giữa) = (số đầu) + (số cuối).
2 Giải phương trình theo x.
3 Thay x vào, viết ba số.
4 Thử lại: hai hiệu liên tiếp bằng nhau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đặt 5 = (3x − 1) + (x + 7) quên chia 2 sẽ ra 4x = −1, x = −0,25. Thử lại: 3x − 1 = −1,75; x + 7 = 6,75 không có hiệu bằng nhau. Luôn thay ngược lại.

🧩

Làm mẫu

Tìm x để ba số 3x − 1; 5; x + 7 (theo thứ tự) lập cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Bài toán thực tế

1 Xác định đại lượng cộng thêm đều đặn: u₁, d, n.
2 Chọn công thức: cần số hạng thứ n thì dùng uₙ, cần tổng thì dùng Sₙ.
3 Tính và ghi đơn vị.
4 Thử lại: liệt kê vài số hạng đầu và kiểm hợp lí.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng u₁₂ = 200 + 12·50 = 800 là sai. Tháng thứ 12 chỉ thêm 11 lần 50, ra 750; còn 800 là tháng thứ 13.

🏦

Làm mẫu

Tháng đầu bỏ ống 200 nghìn, mỗi tháng sau bỏ nhiều hơn tháng trước 50 nghìn. Sau 12 tháng để dành được bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Tổng 1 + 2 + … + n = nn + 12; tổng các số lẻ liên tiếp 1 + 3 + … + (2n − 1) = n². Ví dụ: 1 + 3 + … + 99 = 50² = 2500.
✦Số hạng ở giữa của cấp số cộng bằng trung bình cộng hai đầu, nên Sₙ = n·(số hạng giữa) khi n lẻ.
✦Bài ba số hay bốn số lập cấp số cộng: đặt a − d; a; a + d để tổng ba số là 3a, bớt được một ẩn.
✦Chèn k số vào giữa a và b: cấp số cộng có k + 2 số hạng, d = b − ak + 1.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết uₙ = u₁ + nd. Phản ví dụ: n = 1 cho u₁ + d ≠ u₁. Đúng là u₁ + (n − 1)d.
✦Tính Sₙ = n·uₙ, bỏ phép lấy trung bình. Phản ví dụ: 1 + 2 + 3 = 6, không phải 3·3 = 9.
✦Tưởng dãy tăng đều là cấp số cộng. Phản ví dụ: 1; 4; 9; 16.
✦Cho rằng công sai luôn dương. Phản ví dụ: 10; 7; 4; 1 có d = −3.
✦Đếm số số hạng từ a đến b bằng b − a (thiếu +1). Ví dụ: 3 đến 99 bước 3 có 33 số, không phải 32.
✦Giải "ba số lập cấp số cộng" mà quên chia 2 ở số giữa.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = u₁ + (x − 1)d, cho x chạy từ 1, bước 1, đọc ngay các số hạng đầu để kiểm công sai.
✦Chế độ tổng Σ: tính Σ của u₁ + (k − 1)d với k từ 1 đến n để thử lại đáp số Sₙ.
✦Bài tìm n từ Sₙ: dùng chế độ giải phương trình bậc hai, rồi nhớ loại nghiệm không nguyên dương.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🪜

Nhận ra cấp số cộng, công sai

1
Nhận biết
Cấp số cộng 2; 6; 10; 14; … có công sai bằng
2
Nhận biết
Dãy nào sau đây là cấp số cộng?
3
Thông hiểu
Cấp số cộng 10; 7; 4; 1; −2; … có công sai bằng
4
Thông hiểu
Dãy (uₙ) có uₙ = 3n + 2. Khẳng định nào đúng?
5
Thông hiểu Dãy (uₙ) có uₙ = 7 − 2n là cấp số cộng với công sai d = .

🔢

Số hạng tổng quát

1
Nhận biết
Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ và công sai d là
2
Thông hiểu
Cấp số cộng có u₁ = −3, d = 4. Số hạng u₁₀ bằng
3
Thông hiểu Cấp số cộng 5; 8; 11; … có u₂₀ = .
4
Thông hiểu
Số 101 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng 5; 8; 11; … ?
5
Vận dụng Cấp số cộng có u₃ = 11 và u₇ = 23. Khi đó u₁₅ = .

➕

Tổng n số hạng đầu

1
Nhận biết
Tổng 1 + 2 + 3 + … + 100 bằng
2
Thông hiểu Cấp số cộng có u₁ = 5, d = 3. Tổng 20 số hạng đầu S₂₀ = .
3
Thông hiểu
Cấp số cộng có u₁ = 2, d = 4. Tổng 10 số hạng đầu bằng
4
Thông hiểu Tổng 1 + 3 + 5 + … + 99 bằng .
5
Vận dụng
Cấp số cộng có u₁ = 10 và công sai d = −3. Tổng 8 số hạng đầu bằng

🏦

Ba số liên tiếp, bài toán thực tế

1
Thông hiểu
Ba số 3x − 1; 5; x + 7 theo thứ tự lập cấp số cộng khi x bằng
2
Vận dụng Bốn số 3; a; b; 15 lập cấp số cộng. Khi đó a + b = .
3
Thông hiểu Tháng đầu bỏ ống 200 nghìn, mỗi tháng sau nhiều hơn tháng trước 50 nghìn. Tháng thứ 12 bỏ ống nghìn.
4
Vận dụng
Với cách bỏ ống ở câu trên (u₁ = 200, d = 50, nghìn đồng), sau 12 tháng để dành được
5
Vận dụng Hàng ghế đầu của một rạp có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Rạp có 10 hàng thì tổng số ghế là .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cấp số cộng (uₙ) có u₅ = 9 và u₈ = 18. Số hạng đầu u₁ bằng
2
Vận dụng
Dãy (uₙ) có u₁ = 4 và uₙ₊₁ = uₙ − 2 với mọi n. Tổng 10 số hạng đầu bằng
3
Vận dụng
Một người trả nợ: tháng đầu 1 triệu đồng, mỗi tháng sau nhiều hơn tháng trước 0,5 triệu. Sau 10 tháng người đó đã trả tổng cộng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho cấp số cộng (uₙ) có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 3.

a)u₂ = 8.

b)u₁₀ = 35.

c)Số 62 là số hạng thứ 20 của dãy.

d)Tổng 10 số hạng đầu S₁₀ = 200.
2
Vận dụng
Cho cấp số cộng (uₙ) có u₂ = 7 và u₅ = 16.

a)Công sai d = 3.

b)Số hạng đầu u₁ = 10.

c)u₁₀ = 31.

d)Tổng 10 số hạng đầu bằng 310.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Cấp số cộng có u₁ = 3, d = 4. Cần lấy bao nhiêu số hạng đầu để tổng bằng 300? Đáp số:
2
Vận dụng Chèn 4 số vào giữa hai số 2 và 32 để được cấp số cộng gồm 6 số. Tổng bốn số vừa chèn bằng .
3
Vận dụng Tổng các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 100 và chia hết cho 3 bằng bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho phần cấp số nhân ở bài sau: hai bài thường được hỏi so sánh với nhau (cộng d hay nhân q), và cho lớp 12 là mô hình tăng trưởng tuyến tính (đồ thị là các điểm thẳng hàng).
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu tìm u₁ và d từ hai số hạng cho trước, câu tính Sₙ, và câu tìm x để ba số lập cấp số cộng.
•Bài toán thực tế (tiết kiệm, xếp ghế, xếp hàng) hay có: bước dễ mất điểm là đếm sai số số hạng n hoặc dùng uₙ = u₁ + nd.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Cấp số nhân