Giới hạn của dãy số

1. 1 Rút gọn uₙ − L, rồi viết |uₙ − L|.
2. 2 Giải bất phương trình |uₙ − L| < ε để tìm n.
3. 3 Lấy số nguyên n nhỏ nhất thoả mãn. Mọi số hạng từ đó trở đi đều nằm trong dải.
4. 4 Thử lại: số hạng đứng ngay trước nằm ngoài dải, số hạng thứ n nằm trong dải.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tưởng "dải hẹp đến đâu cũng có số hạng nằm ngoài" là mâu thuẫn với giới hạn. Không mâu thuẫn: ngoài dải luôn có số hạng, nhưng chỉ hữu hạn (12 số hạng khi ε = 0,1; 103 số hạng khi ε = 0,01). Dãy (−1)ⁿ mới có vô hạn số hạng ngoài dải.

1. 1 Nhận dạng: tử và mẫu đều → ∞ (dạng ∞/∞) nên chưa kết luận được.
2. 2 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n ở mẫu.
3. 3 Mọi số hạng còn chứa n ở mẫu đều → 0 (ba giới hạn gốc). Thay 0 vào.
4. 4 Thử lại bằng cách tính vài giá trị n lớn (n = 100) rồi so với đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chia cho n mũ cao nhất của tử thay vì của mẫu. Ví dụ lim n²/(n + 1): chia cho n² thì mẫu thành 1/n + 1/n² → 0 và không dùng được quy tắc thương. Chia cho n: n/(1 + 1/n) → +∞.

1. 1 Tìm cơ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất ở cả tử và mẫu.
2. 2 Chia tử và mẫu cho luỹ thừa của cơ số đó.
3. 3 Các tỉ số có |q| < 1 → 0, rồi thay vào.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chia cho 3ⁿ (cơ số nhỏ). Khi đó (53)ⁿ → +∞, tử và mẫu lại → ∞ và bài không đi tới đâu.

1. 1 Nhân và chia với biểu thức liên hợp (đổi dấu giữa hai căn, hoặc căn trừ n thành căn cộng n).
2. 2 Tử còn một đa thức (hiệu hai bình phương), mẫu là tổng hai căn.
3. 3 Chia tử và mẫu cho n rồi dùng ba giới hạn gốc.
4. 4 Thử lại bằng số: n = 100 phải gần đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Kết luận vội ∞ − ∞ = 0 (hoặc +∞). Hai bài cùng dạng ∞ − ∞ mà khác đáp số: lim (√(n² + 3n) − n) = 32 còn lim (n² − n) = +∞ (vì n² − n = n²(1 − 1/n)).

1. 1 Chia tử và mẫu cho n mũ cao nhất ở mẫu.
2. 2 Mẫu → hằng số khác 0, tử → ±∞.
3. 3 Kết luận ±∞ theo dấu của hệ số cao nhất tử và mẫu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "lim = ∞/1 = ∞ nên có giới hạn là một số". +∞ chỉ là cách nói dãy tăng vượt mọi số: dãy này không hội tụ về số nào.

1. 1 Tách thành tổng các nhóm lặp lại: u₁ là nhóm đầu, q là 0,1 hoặc 0,01 hoặc … (tuỳ chu kì dài mấy chữ số).
2. 2 Kiểm |q| < 1 rồi áp dụng S = u₁/(1 − q).
3. 3 Rút gọn phân số.
4. 4 Thử lại bằng phép chia tử cho mẫu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy u₁ = 0,27 nhưng quên đổi q: dùng q = 0,1 thì S = 0,270,9 = 0,3 là sai. Chu kì 2 chữ số thì q = 0,01 (= 1100).

1. 1 Xác định u₁ và q = u₂/u₁ (q âm thì dấu các số hạng xen kẽ).
2. 2 Kiểm |q| < 1. Thế vào S = u₁/(1 − q), chú ý 1 − q = 1 + |q| khi q âm.
3. 3 Thử lại bằng vài tổng riêng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết 1 − q = 1 − 12 khi q = −12 rồi ra S = 12. Dấu của q phải mang vào: 1 − q = 1 + 12 = 32.