Chủ đề 16 · Học kỳ 1

Giới hạn của hàm số

Hiểu "f(x) dần tới L khi x dần tới x₀" qua đồ thị và bảng giá trị, tính giới hạn dạng 0/0 (rút gọn, nhân liên hợp), xét giới hạn một bên của hàm từng khúc, giới hạn vô cực và giới hạn khi x → ±∞.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 16

⚡ Nhớ nhanh

1lim f(x) = L khi x → x₀ nghĩa là: x càng sát x₀ (nhưng x ≠ x₀) thì f(x) càng sát L. Giới hạn hỏi f đi tới đâu, không hỏi f bằng bao nhiêu tại x₀.
2Vì vậy f không xác định tại x₀ vẫn có thể có giới hạn: x² − 4x − 2 không xác định tại 2 nhưng giới hạn khi x → 2 bằng 4. Ngược lại f(x₀) có giá trị mà giới hạn không tồn tại cũng bình thường.
3Hàm thông thường (đa thức, phân thức có mẫu ≠ 0 tại x₀): thay số là ra. Thay số ra 00 là dạng vô định: phải phân tích rút gọn hoặc nhân liên hợp.
4Giới hạn một bên: lim khi x → x₀⁻ (từ trái) và x → x₀⁺ (từ phải). Giới hạn tại x₀ tồn tại ⇔ hai bên cùng bằng L. Hàm từng khúc đổi công thức tại x₀ thì bắt buộc xét hai bên.
5Thay số ra c/0 (c ≠ 0) là giới hạn vô cực: phải xét dấu mẫu từng bên. 1/x khi x → 0 có trái −∞, phải +∞ nên không tồn tại.
6Khi x → ±∞: 1/xᵏ → 0. Phân thức thì chia cả tử và mẫu cho x mũ cao nhất ở mẫu. Chú ý √(x²) = |x|, bằng −x khi x → −∞.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo x tiến tới x₀ từ trái và từ phải, đọc bảng giá trị rồi phóng to quanh chỗ lỗ thủng. Bấm nút mẫu (x² − 4)/(x − 2) khi x → 2 (lỗ thủng nhưng giới hạn là 4), hàm từng khúc x + 1 / 3x − 5 (trái 3, phải 1) và 1/x khi x → 0 để gặp bẫy.

● x = x₀ − h (trái) · ● x = x₀ + h (phải) · ○ lỗ thủng

x tiến tới x₀

h = 0,089: f(1,911) = 3,9109 · f(2,089) = 4,0891

Phóng to:

h	f(x₀ − h)	f(x₀ + h)
0,1	3,9	4,1
0,01	3,99	4,01
0,001	3,999	4,001
→	4	4

lim f(x) = 4 khi x → 2

f(2) không xác định (mẫu bằng 0) nên đồ thị THỦNG tại (2; 4). Nhưng giới hạn chỉ hỏi f(x) dần tới đâu khi x sát 2, không cần x = 2: rút gọn (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 → 4.

1 🔍 Giới hạn tại một điểm và dạng 0/0

Cần nhớ

✦ $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ : cho x tiến sát $x_{0}$ từ cả hai phía (x ≠ x₀) thì f(x) tiến sát L. Chỉ quan tâm f gần x₀, không quan tâm f tại x₀.
✦f không xác định tại x₀ vẫn có thể có giới hạn. Ví dụ: (x² + x)/x không xác định tại 0, nhưng bằng x + 1 với mọi x ≠ 0 nên $lim_{x \to 0} \frac{x ^{2} + x}{x} = 1$ .
✦Hai giới hạn gốc: $lim_{x \to x_{0}} c = c$ và $lim_{x \to x_{0}} x = x_{0}$ . Từ đó đa thức thay số là ra. Ví dụ: $lim_{x \to 3} (2 x + 1) = 7$ .
✦Nếu $lim f = a$ , $lim g = b$ thì giới hạn của tổng, hiệu, tích bằng a ± b, a·b; giới hạn của thương bằng a/b với b ≠ 0.
✦Thay số ra 00 là dạng vô định: có thể ra số bất kì, ra vô cực, hoặc không tồn tại. Chưa kết luận được, phải biến đổi tiếp.

Dạng bài

Khử dạng 0/0 bằng phân tích rồi rút gọn

1 Thay x = x₀. Ra 00 thì tử và mẫu cùng chứa nhân tử (x − x₀).
2 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn (x − x₀). Rút gọn hợp lệ vì x → x₀ nghĩa là x ≠ x₀, nên x − x₀ ≠ 0.
3 Thay x = x₀ vào biểu thức đã gọn.
4 Thử lại bằng bảng giá trị: cho x = x₀ ± 0,01 và so với đáp số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai sai lầm ngược nhau. Thấy f(2) không xác định liền ghi "không có giới hạn" là sai (giới hạn là 4). Thấy 00 liền ghi 0 cũng sai: $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 4$ còn $lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4}$ , cùng dạng 00 mà khác đáp số.

🔍

Làm mẫu

Tính $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Bảng giá trị của (x² − 4)/(x − 2) quanh x = 2

x từ trái	f(x)	x từ phải	f(x)
1,9	3,9	2,1	4,1
1,99	3,99	2,01	4,01
1,999	3,999	2,001	4,001

Dạng bài

Khử dạng 0/0 có căn bằng nhân liên hợp

1 Thay số ra 00 và có căn ở tử (hoặc mẫu).
2 Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp (đổi dấu giữa căn và số), dùng (a − b)(a + b) = a² − b².
3 Rút gọn nhân tử (x − x₀) rồi thay số.
4 Thử lại bằng x = x₀ ± 0,01.

⚠️ Bẫy hay gặp: Rút gọn tuỳ tiện kiểu √x − 2x − 4 = √x/x. Thử x = 9: 3 − 25 = 0,2 nhưng √99 = 13. Chỉ được rút nhân tử chung của cả tử và mẫu.

🧮

Làm mẫu

Tính $lim_{x \to 4} \frac{x - 2}{x - 4}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ↔️ Giới hạn một bên

Cần nhớ

✦ $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ là giới hạn bên trái: chỉ cho x < x₀ tiến tới x₀. $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ là giới hạn bên phải: chỉ cho x > x₀.
✦Định lí: $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ ⇔ giới hạn trái và giới hạn phải đều tồn tại và cùng bằng L. Hai bên khác nhau thì giới hạn không tồn tại.
✦Phải tách hai bên khi: hàm cho bằng hai công thức hai phía x₀; có giá trị tuyệt đối; hoặc mẫu → 0 mà đổi dấu. Ví dụ: |x|/x bằng −1 khi x < 0 và bằng 1 khi x > 0.
✦Bên trái dùng công thức ghi cho "x < x₀", bên phải dùng công thức ghi cho "x > x₀". Dấu "=" (như x ≥ x₀) chỉ quyết định f(x₀), không ảnh hưởng tới giới hạn.

Dạng bài

Xét giới hạn của hàm từng khúc tại điểm đổi công thức

1 Xác định công thức dùng cho x < x₀ và công thức dùng cho x > x₀.
2 Tính giới hạn trái bằng công thức bên trái, giới hạn phải bằng công thức bên phải.
3 So sánh: bằng nhau thì có giới hạn chung; khác nhau thì không tồn tại.
4 Thử lại bằng x = x₀ ± 0,01.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy f(2) = 1 làm giới hạn, hoặc lấy trung bình hai bên (2). Giới hạn chỉ tồn tại khi hai bên trùng nhau; f(2) = 1 trùng giới hạn phải nhưng không cứu được bên trái.

↔️

Làm mẫu

Cho f(x) = x + 1 khi x < 2 và f(x) = 3x − 5 khi x ≥ 2. Hỏi $lim_{x \to 2} f (x)$ có tồn tại không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm tham số để giới hạn tồn tại

1 Tính giới hạn trái và giới hạn phải (có chứa tham số).
2 Cho hai giới hạn bằng nhau, viết thành phương trình theo tham số.
3 Giải phương trình.
4 Thử lại: thay tham số vào xem hai bên bằng nhau, thử thêm một giá trị khác để thấy hai bên lệch.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho a bằng luôn giá trị giới hạn (a = 1) thay vì lập phương trình a + 1 = 1. Hãy viết ra phương trình rồi mới giải.

🎛️

Làm mẫu

Cho f(x) = x² khi x ≤ 1 và f(x) = ax + 1 khi x > 1. Tìm a để $lim_{x \to 1} f (x)$ tồn tại.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

📉 |x|/x khi x → 0

x < 0: |x| = −x nên bằng −1. x > 0: bằng 1. Trái −1, phải 1 khác nhau ⇒ giới hạn không tồn tại.

✅ |x| khi x → 0

Trái: |x| = −x → 0. Phải: |x| = x → 0. Hai bên cùng bằng 0 ⇒ giới hạn bằng 0. Có giá trị tuyệt đối chưa chắc là không có giới hạn.

Giá trị tại x₀ và giới hạn là hai câu hỏi khác nhau

Hàm, điểm x₀	f(x₀)	Giới hạn khi x → x₀
x² − 4x − 2, x₀ = 2	không xác định	4
(x² + x)/x, x₀ = 0	không xác định	1
x + 1 (x < 2), 3x − 5 (x ≥ 2), x₀ = 2	1	không tồn tại

3 📈 Giới hạn vô cực khi x → x₀ (dạng c/0)

Cần nhớ

✦ $lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ nghĩa là f(x) lớn hơn mọi số cho trước khi x đủ gần x₀. −∞ là nhỏ hơn mọi số. ±∞ không phải số, chỉ cho biết hướng đi.
✦Dạng c/0 (c ≠ 0): tử → c ≠ 0 còn mẫu → 0 thì |f| rất lớn. Kết quả là +∞, −∞ hoặc không tồn tại, nên bắt buộc xét dấu mẫu từng bên.
✦Dấu của kết quả = dấu của tử × dấu của mẫu (mẫu → 0⁺ hay 0⁻). Ví dụ: 1/x với x → 0⁺ thì mẫu dương ⇒ +∞; x → 0⁻ thì mẫu âm ⇒ −∞.
✦Mẫu có bình phương thì mẫu → 0⁺ ở cả hai bên: $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ . Hai bên cùng +∞ nên giới hạn là +∞.
✦Lên lớp 12, đường x = x₀ trong các trường hợp này gọi là tiệm cận đứng của đồ thị.

Dạng bài

Giới hạn dạng c/0

1 Thay số: tử → c ≠ 0, mẫu → 0.
2 Xét dấu mẫu khi x → x₀⁻ và x → x₀⁺ (thử x = x₀ ± 0,01).
3 Nhân dấu tử với dấu mẫu để biết +∞ hay −∞ từng bên.
4 Hai bên cùng dấu ⇒ giới hạn là ±∞ đó; khác dấu ⇒ không tồn tại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Gặp 30 liền ghi +∞ (hoặc "không xác định"). Chỉ khi hai bên cùng dấu mới ghi được ±∞. Ví dụ: $lim_{x \to 2} \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} = + \infty$ vì (x − 2)² > 0 ở cả hai bên.

📈

Làm mẫu

Xét $lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hàm 1/xᵏ khi x → 0

Hàm	Bên trái	Bên phải	Giới hạn tại 0
1/x	−∞	+∞	không tồn tại
1/x²	+∞	+∞	+∞
1/x³	−∞	+∞	không tồn tại
1/x⁴	+∞	+∞	+∞

🚫 Hay sai

"Vì 1/x lớn vô cùng khi x → 0 nên lim = +∞". Sai: x → 0⁻ thì 1/x âm, ví dụ x = −0,001 cho −1000.

✅ Đúng

Chỉ nói "bên phải +∞, bên trái −∞, giới hạn tại 0 không tồn tại". Hỏi giới hạn tại 0 mà không nói bên nào chưa đủ nghĩa.

4 ♾️ Giới hạn khi x → +∞ và x → −∞

Cần nhớ

✦ $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{k}} = 0$ (k nguyên dương). Ví dụ: x = 1000 thì 1/x = 0,001; x = −1000 thì 1/x = −0,001, đều sát 0.
✦ $lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty$ . Khi x → −∞: xᵏ → +∞ nếu k chẵn, → −∞ nếu k lẻ. Ví dụ: x → −∞ thì x² → +∞ còn x³ → −∞.
✦Đa thức khi x → ±∞: xét số hạng bậc cao nhất. Ví dụ: x³ − 2x = x³(1 − 2/x²), thừa số trong ngoặc → 1, nên → −∞ khi x → −∞.
✦Phân thức: chia cả tử và mẫu cho x mũ cao nhất ở mẫu. Bậc tử nhỏ hơn mẫu ⇒ 0; bằng nhau ⇒ tỉ số hai hệ số cao nhất; tử cao hơn ⇒ ±∞.
✦Có căn: √(x²) = |x|, tức là x khi x → +∞ nhưng là −x khi x → −∞.

Dạng bài

Tính giới hạn phân thức khi x → ±∞

1 Nhận dạng: tử và mẫu đều → ∞ (dạng ∞/∞) nên chưa kết luận được.
2 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x ở mẫu.
3 Mọi số hạng còn chứa x ở mẫu đều → 0. Thay 0 vào.
4 Thử lại bằng x = ±100, ±1000.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thay x = 0 vào rồi ghi 0 + 00 − 5 = 0. x đang tiến ra vô cực, không phải về 0.

♾️

Làm mẫu

Tính $lim_{x \to + \infty} \frac{3 x ^{2} + x}{x ^{2} - 5}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Khử dạng ∞ − ∞ có căn

1 Nhận dạng ∞ − ∞ (hai số hạng cùng → +∞).
2 Nhân và chia với biểu thức liên hợp, tử còn một đa thức.
3 Chia tử và mẫu cho x, chú ý dấu của √(x²).
4 Thử lại bằng x = 100, x = 10000.

⚠️ Bẫy hay gặp: Ghi ∞ − ∞ = 0. Phản ví dụ: $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - x) = + \infty$ (vì x²(1 − 1/x)), cùng dạng ∞ − ∞ mà khác đáp số.

🧮

Làm mẫu

Tính $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + x - x)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Có căn khi x → −∞

1 Với x < 0 viết √(x² + …) = |x|·√(1 + …) = −x·√(1 + …).
2 Rút x (hoặc −x) ra ngoài và rút gọn với tử.
3 Thay các số hạng 1/x → 0.
4 Thử lại bằng x = −100.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho √(x²) = x khi x < 0 rồi ra đáp số +1. Với x = −100 thì x/√(x² + 1) là số âm, không thể bằng +1.

⚠️

Làm mẫu

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Thay số ra gì thì làm gì

Thay số ra	Kết luận	Việc cần làm
Một số cụ thể	Xong	Đó là giới hạn (hàm thông thường)
00	Vô định	Phân tích rút gọn hoặc nhân liên hợp
c/0 (c ≠ 0)	Giới hạn vô cực	Xét dấu mẫu từng bên
∞/∞	Vô định	Chia cho x mũ cao nhất ở mẫu
∞ − ∞	Vô định	Nhân liên hợp hoặc đặt nhân tử chung

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Luôn thay số trước. Ra số cụ thể là xong; ra 00 thì mới phân tích hoặc liên hợp; ra c/0 thì xét dấu.
✦00 với hai đa thức: tử và mẫu cùng chia hết cho (x − x₀). Chia nhanh bằng sơ đồ Horner hoặc nhẩm hằng đẳng thức rồi thay số.
✦x → ±∞ phân thức: so bậc. Bậc bằng nhau lấy tỉ số hai hệ số cao nhất, không cần biến đổi.
✦Hàm từng khúc có tham số: cho hai giới hạn một bên bằng nhau và giải phương trình, nhẩm được ngay.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ luôn bằng f(x₀). Phản ví dụ: x² − 4x − 2 tại 2 không xác định mà giới hạn bằng 4.
✦Gặp 00 liền ghi 0 hoặc "không tồn tại". Phản ví dụ: $lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4}$ .
✦Ghi $lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = + \infty$ . Đúng: trái −∞, phải +∞ nên không tồn tại.
✦Hàm từng khúc mà chỉ thay x₀ vào một công thức. Phản ví dụ: f(2) = 1 nhưng giới hạn trái là 3.
✦Thay x = 0 khi x → ∞ hoặc bỏ qua ∞ − ∞. Phản ví dụ: $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + x - x) = \frac{1}{2}$ , không phải 0.
✦Cho √(x²) = x khi x → −∞. Đúng: √(x²) = |x| = −x.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ CALC: nhập f(x), gán x = x₀ + 0,001 rồi x = x₀ − 0,001 để xem hai bên có dồn về cùng một số không. Hai bên khác nhau là dấu hiệu không có giới hạn.
✦Chế độ Bảng (TABLE): cho x chạy sát x₀ từ hai phía, hoặc x = 10, 100, 1000… để đoán giới hạn khi x → ∞.
✦Máy làm tròn có thể cho kết quả sai khi x quá sát x₀ hoặc với hiệu hai căn gần nhau, nên gán x vừa phải (x₀ ± 0,001) và tin phép biến đổi hơn. Bài tự luận vẫn phải trình bày phân tích rút gọn.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔍

Giới hạn tại một điểm, dạng 0/0

1
Nhận biết
$lim_{x \to 3} (2 x + 1)$ bằng
2
Nhận biết
Khi tính giới hạn của f(x) khi x → x₀, ta xét các giá trị x
3
Thông hiểu
$lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ bằng
4
Thông hiểu $lim_{x \to - 3} \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ = .
5
Vận dụng
$lim_{x \to 0} \frac{x + 9 - 3}{x}$ bằng
6
Vận dụng
$lim_{x \to - 1} \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 1}$ bằng

↔️

Giới hạn một bên, hàm từng khúc

1
Nhận biết
Giới hạn $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ tồn tại khi và chỉ khi
2
Thông hiểu
Cho f(x) = 2x − 1 khi x < 3 và f(x) = x + 2 khi x ≥ 3. Khi đó $lim_{x \to 3} f (x)$ bằng
3
Thông hiểu
$lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣}{x}$ bằng
4
Thông hiểu Cho f(x) = ax + 1 khi x < 2 và f(x) = x² − 1 khi x ≥ 2. Giới hạn của f khi x → 2 tồn tại khi a = .
5
Vận dụng
Cho f(x) = 2x + 1 khi x < 1 và f(x) = x² + m khi x ≥ 1. Giới hạn của f khi x → 1 tồn tại khi

📈

Giới hạn vô cực (dạng c/0)

1
Nhận biết
$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}$ bằng
2
Thông hiểu
$lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2}$ bằng
3
Thông hiểu
$lim_{x \to 3^{-}} \frac{x + 1}{x - 3}$ bằng
4
Vận dụng
$lim_{x \to 1^{-}} \frac{x - 3}{x - 1}$ bằng

♾️

Giới hạn khi x → ±∞

1
Thông hiểu
$lim_{x \to + \infty} \frac{2 x ^{2} - x}{x ^{2} + 3}$ bằng
2
Thông hiểu $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 1}{2 x - 5}$ = .
3
Thông hiểu
$lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} + 1}{x + 2}$ bằng
4
Vận dụng $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + 4 x - x)$ = .
5
Vận dụng
$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x ^{2} + 1}$ bằng

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
$lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ bằng
2
Thông hiểu
$lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x + 1}{1 - x}$ bằng
3
Vận dụng
$lim_{x \to + \infty} (x^{2} + 3 x - x)$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số f(x) = x² − 9x − 3 với x ≠ 3.

a)Hàm số f không xác định tại x = 3.

b) $lim_{x \to 3} f (x) = 0$ vì khi thay x = 3 thì tử bằng 0.

c)Vì f không xác định tại 3 nên $lim_{x \to 3} f (x)$ không tồn tại.

d) $lim_{x \to 3} \frac{f ( x ) - 6}{x - 3} = 1$ .
2
Vận dụng
Cho hàm số g(x) = x² khi x < 1 và g(x) = 2x + m khi x ≥ 1 (m là tham số).

a) $lim_{x \to 1^{-}} g (x) = 1$ .

b)g(1) = m.

c)Giới hạn $lim_{x \to 1} g (x)$ tồn tại khi và chỉ khi m = −1.

d)Với m = 0 thì $lim_{x \to 1} g (x) = 2$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tính $lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4}$ . Đáp số:
2
Thông hiểu Tính $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{4 x ^{2} + 5}$ . Đáp số:
3
Vận dụng Cho f(x) = 2x + a khi x < 3 và f(x) = x² − 4 khi x ≥ 3. Tìm a để f có giới hạn khi x → 3. Đáp số: a =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường có giới hạn dạng 00 (phân tích rút gọn hoặc nhân liên hợp), giới hạn một bên của hàm từng khúc và giới hạn khi x → ±∞ của phân thức.
•Hay có câu tìm tham số (a, m) để giới hạn tồn tại: cho giới hạn trái bằng giới hạn phải rồi giải phương trình. Ý dễ mất điểm là nhầm f(x₀) với giới hạn.
•Chủ đề là nền cho hàm số liên tục (bài 17, ba điều kiện có giá trị, có giới hạn, hai số bằng nhau), đạo hàm định nghĩa bằng giới hạn (bài 31) và tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ở Toán 12.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hàm số liên tục