Chủ đề 18 · Học kỳ 2

Luỹ thừa với số mũ thực

Rút gọn biểu thức luỹ thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ, thực; nhận ra cơ số nào làm biểu thức không có nghĩa và so sánh hai luỹ thừa mà không cần máy tính.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 18

⚡ Nhớ nhanh

1Mở rộng số mũ sao cho quy tắc cũ vẫn đúng: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Từ đó suy ra a⁰ = 1 và a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
2Số mũ hữu tỉ là căn: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ , và chỉ có nghĩa khi a > 0. Ví dụ: $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ không có nghĩa, dù $3 - 8 = - 2$ .
3Điều kiện cơ số chặt dần: mũ nguyên dương thì a tuỳ ý; mũ 0 hoặc nguyên âm thì a ≠ 0; mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ thì a > 0. Vì thế 0⁰ và 0⁻² không có nghĩa.
4Với a > 0: nhân thì cộng mũ, chia thì trừ mũ, luỹ thừa của luỹ thừa thì nhân mũ. Luỹ thừa không "chia đều" qua phép cộng: (1 + 1)² = 4, còn 1² + 1² = 2.
5Dấu của luỹ thừa do cơ số quyết định, không do số mũ: 2⁻³ = 18 vẫn dương.
6So sánh hai luỹ thừa: đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ, đừng nhìn riêng số mũ hay cơ số.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn cơ số a và số mũ α: bậc thang 4 nấc sáng nấc của α và báo aᵅ có nghĩa hay không. Nút mẫu đầu tiên cho thấy phép nhân chia thành bước cộng trừ trên trục số mũ; bấm (−8) mũ 1/3, 0⁰, 0⁻² để gặp các bẫy.

Cơ số a

Số mũ α

2^4/3 = 2,5198

Nấc hữu tỉ m/n: a^m/n = ⁿ√(aᵐ)

Trục số mũ, bước 3/3 = a^4/3

a^5/3·a^1/3 : a^2/3

Số mũ hữu tỉ nên cần a > 0. Nhân cùng cơ số thì cộng mũ: 5/3 + 1/3 = 2; chia thì trừ mũ: 2 − 2/3 = 4/3. Kết quả a^4/3 = ∛(a⁴) = a·∛a.

1 🪜 Quy tắc luỹ thừa: nhân chia thành cộng trừ số mũ

Cần nhớ (a > 0)

✦Nhân cùng cơ số thì cộng mũ. Ví dụ: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.
✦Chia cùng cơ số thì trừ mũ. Ví dụ: 3⁵ : 3² = 3³ = 27.
✦Luỹ thừa của luỹ thừa thì nhân mũ. Ví dụ: (2³)² = 2⁶ = 64.
✦Luỹ thừa của tích, của thương thì chia đều cho từng thừa số: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Ví dụ: (2 · 3)² = 4 · 9 = 36. Không có quy tắc này cho tổng.
✦Các quy tắc này giữ nguyên khi số mũ là số hữu tỉ hay số thực bất kì. Mục 3 và 4 nói rõ số mũ đó nghĩa là gì; ở đây chỉ cần cộng trừ các phân số.

Dạng bài

Rút gọn biểu thức có nhiều luỹ thừa cùng cơ số

1 Ghi điều kiện a > 0 và đưa mọi căn về dạng luỹ thừa.
2 Phép nhân: cộng các số mũ. Phép chia: lấy mũ tử trừ mũ mẫu.
3 Luỹ thừa của luỹ thừa: nhân mũ. Cộng trừ phân số cẩn thận.
4 Thử lại bằng một giá trị a dễ tính căn (a = 8 hoặc a = 4).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $(a^{2})^{3} = a^{2^{3}} = a^{8}$ là sai: (a²)³ = a⁶ (nhân mũ). Thử a = 2: (2²)³ = 4³ = 64 = 2⁶, còn 2⁸ = 256.

🪜

Làm mẫu

Rút gọn $P = \frac{a ^{\frac{5}{3}} \cdot a ^{\frac{1}{3}}}{a ^{\frac{2}{3}}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hay lẫn: phép nào ứng với phép nào trên số mũ

Phép	Kết quả	Ví dụ
aᵐ · aⁿ	aᵐ⁺ⁿ	2³ · 2² = 2⁵ (không phải 4⁵)
aᵐ : aⁿ	aᵐ⁻ⁿ	2⁵ : 2² = 2³ (không phải 1³)
(aᵐ)ⁿ	aᵐⁿ	(2²)³ = 2⁶ (không phải 2⁵)
aᵐ + aⁿ	không gộp được	2³ + 2² = 12, không phải 2⁵ = 32

2 ⏪ Số mũ 0 và số mũ âm

Cần nhớ (a ≠ 0)

✦a⁰ = 1. Vì nếu a⁰ ≠ 1 thì aᵐ · a⁰ = aᵐ⁺⁰ = aᵐ sẽ sai. Ví dụ: 5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1.
✦a⁻ⁿ = 1/aⁿ: số mũ âm là nghịch đảo, không phải số âm. Ví dụ: 2⁻³ = 18 > 0.
✦Dấu do cơ số quyết định: (−2)⁻³ = 1−8 = −18, còn (−2)⁻² = 14 > 0.
✦0⁰ và 0⁻² không có nghĩa, vì cơ số 0 không có nghịch đảo (a⁰ = aⁿ/aⁿ đòi a ≠ 0).

Dạng bài

Tính luỹ thừa số mũ nguyên

1 Kiểm tra cơ số: số mũ 0 hoặc âm thì phải khác 0.
2 Số mũ âm: đổi thành nghịch đảo của luỹ thừa mũ dương (phân số thì lật tử và mẫu).
3 Tính từng luỹ thừa, rồi cộng trừ.
4 Thử lại: luỹ thừa của số dương luôn dương; số hạng âm chỉ đến từ dấu trừ đứng trước hoặc từ cơ số âm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ 2⁻³ = −8 hoặc −6 là sai: 2⁻³ = 12³ = 18, vẫn dương. Cơ số dương thì luỹ thừa luôn dương, dù số mũ âm đến đâu.

⏪

Làm mẫu

Tính $A = 2^{- 3} + (\frac{1}{2})^{- 2} - 5^{0}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Điều kiện của cơ số a, chặt dần theo loại số mũ

Số mũ	Điều kiện của a	Ví dụ
Nguyên dương	a tuỳ ý	(−2)³ = −8
0 hoặc nguyên âm	a ≠ 0	(−2)⁻¹ = −12; 0⁰ và 0⁻² không có nghĩa
Hữu tỉ	a > 0	$8^{\frac{1}{3}} = 2$
Vô tỉ	a > 0	$2^{2} \approx 2, 665$

3 √ Căn bậc n và số mũ hữu tỉ

Cần nhớ

✦n lẻ: mọi số thực a có đúng một căn bậc n, kí hiệu $n a$ . Ví dụ: $3 - 8 = - 2$ .
✦n chẵn: a < 0 không có căn; a > 0 có hai căn đối nhau và $n a$ là căn dương. Ví dụ: $416 = 2$ (không phải ±2).
✦Số mũ hữu tỉ (a > 0): $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ . Ví dụ: $8^{\frac{2}{3}} = 3 8^{2} = 4$ .
✦ $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ không có nghĩa vì cơ số âm, dù $3 - 8 = - 2$ vẫn có. Với n chẵn: $n a^{n} = ∣ a ∣$ , ví dụ $(- 3)^{2} = 3$ .

Dạng bài

Đổi giữa căn và luỹ thừa mũ hữu tỉ

1 Ghi điều kiện cơ số dương.
2 Bậc căn xuống mẫu, số mũ trong căn lên tử: $n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ .
3 Nhân các luỹ thừa cùng cơ số bằng cách cộng mũ (a = a¹).
4 Thử lại bằng một giá trị a làm căn tính được.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đảo tử mẫu, viết $3 a^{2} = a^{\frac{3}{2}}$ , là sai. Thử a = 8: $364 = 4$ nhưng $8^{\frac{3}{2}} = 512 \approx 22, 6$ .

√

Làm mẫu

Viết $a 3 a^{2}$ (a > 0) dưới dạng $a^{α}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính luỹ thừa mũ hữu tỉ không dùng máy

1 Cơ số dương? Có thì mới tính.
2 Tách $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^{m}$ : lấy căn bậc n trước cho số nhỏ, rồi mới nâng luỹ thừa m.
3 Mũ âm thì lấy nghịch đảo ở cuối.
4 Thử lại bằng cách nâng ngược kết quả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tưởng $1 6^{- \frac{1}{4}}$ âm là sai: số mũ âm chỉ lật thành nghịch đảo, $1 6^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > 0$ .

🧮

Làm mẫu

Tính $B = 8^{\frac{2}{3}} + 1 6^{- \frac{1}{4}}$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

$\sqrt[3]{-8}$ (căn)

Là kí hiệu căn bậc ba. Có nghĩa với mọi số thực, bằng −2.

$(-8)^{\frac13}$ (luỹ thừa)

Mũ hữu tỉ chỉ định nghĩa cho cơ số dương. Cơ số −8 nên không có nghĩa.

4 ⚖️ Số mũ vô tỉ và so sánh luỹ thừa

Cần nhớ (a > 0)

✦Với α vô tỉ, aᵅ là số mà $a^{r}$ tiến đến khi số hữu tỉ r tiến đến α. Ví dụ: $2^{1, 4} \approx 2, 639$ ; $2^{1, 41} \approx 2, 657$ ; $2^{1, 414} \approx 2, 665$ ⇒ $2^{2} \approx 2, 665$ .
✦Quy tắc nhân, chia, luỹ thừa của luỹ thừa vẫn đúng. Ví dụ: $2^{2} \cdot 2^{2 - 2} = 2^{2} = 4$ .
✦Cùng cơ số: a > 1 thì mũ lớn hơn cho luỹ thừa lớn hơn ( $3^{2} < 3^{3}$ ); 0 < a < 1 thì ngược lại ((0,5)³ = 0,125 < (0,5)² = 0,25).
✦Cùng số mũ dương: cơ số lớn hơn thì luỹ thừa lớn hơn. Ví dụ: 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰.

Dạng bài

Rút gọn biểu thức có số mũ vô tỉ

1 Cùng cơ số a > 0 nên chỉ làm việc trên số mũ.
2 Tử: cộng các mũ (căn thức tự triệt tiêu nếu đề thiết kế đẹp).
3 Mẫu có luỹ thừa của luỹ thừa: nhân hai mũ, dùng (x − y)(x + y) = x² − y².
4 Thử lại với a = 2.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thay vì nhân hai mũ ở mẫu, ra $a^{23}$ , là sai: luỹ thừa của luỹ thừa thì nhân mũ, $(3 - 1) (3 + 1) = 2$ .

⚖️

Làm mẫu

Rút gọn $Q = \frac{a ^{2 + 1} \cdot a ^{2 - 2}}{( a ^{3 - 1} ) ^{3 + 1}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

So sánh hai luỹ thừa khác cả cơ số lẫn số mũ

1 Cùng cơ số: so số mũ (nhớ a > 1 hay 0 < a < 1). Cùng số mũ dương: so cơ số.
2 Khác cả hai: tìm ước chung lớn của hai số mũ, đưa về cùng số mũ.
3 So sánh hai cơ số mới.
4 Thử lại bằng bản thu nhỏ (chia các mũ cho ước chung).

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhìn số mũ 300 > 200 rồi kết luận A > B là sai: số mũ lớn chỉ thắng khi cùng cơ số. Bản thu nhỏ: 2³ = 8 mà 3² = 9.

⚖️

Làm mẫu

So sánh A = 2³⁰⁰ và B = 3²⁰⁰ khi không dùng máy tính.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đổi hết căn và mũ âm về dạng $a^{α}$ rồi chỉ cộng trừ phân số; tránh viết căn lồng căn.
✦Câu hỏi "có nghĩa": nhìn cơ số trước, số mũ sau. Cơ số âm mà số mũ không nguyên thì loại ngay.
✦So sánh luỹ thừa khác cơ số: tìm ước chung của hai số mũ, đưa về cùng số mũ.
✦Cho $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = t$ thì bình phương: $a + a^{- 1} = t^{2} - 2$ . Ví dụ t = 3 ⇒ a + a⁻¹ = 7.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng a⁻ⁿ là số âm. Phản ví dụ: 2⁻³ = 18 > 0.
✦Viết (a + b)² = a² + b². Phản ví dụ: (1 + 1)² = 4 còn 1² + 1² = 2.
✦Cho rằng 0⁰ = 1. Đúng: 0⁰ không có nghĩa (cơ số 0 chỉ dùng được với mũ nguyên dương).
✦Viết (a²)³ = a⁸. Đúng: nhân mũ, (a²)³ = a⁶. Phản ví dụ: (2²)³ = 64 = 2⁶ ≠ 2⁸ = 256.
✦Viết $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$ vì $3 - 8 = - 2$ . Mũ hữu tỉ cần cơ số dương nên $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ không có nghĩa.
✦Cho rằng $n a^{n} = a$ với mọi a. Với n chẵn: $(- 3)^{2} = 3$ , không phải −3.
✦So sánh 2³⁰⁰ và 3²⁰⁰ bằng cách nhìn số mũ. Phản ví dụ bản thu nhỏ: 2³ = 8 < 3² = 9.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính toán thường: nhập luỹ thừa bằng phím mũ, số mũ phân số hoặc số mũ âm phải đặt trong ngoặc (nếu không máy hiểu sai thứ tự).
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập vế trái và vế phải của phép rút gọn, cho a chạy vài giá trị dương, hai cột giống nhau là rút gọn đúng.
✦Máy có phím căn bậc n để thử lại phép đổi giữa căn và mũ hữu tỉ. Nhiều máy vẫn ra −2 khi bấm (−8)^(13): máy đang tính căn bậc ba, không có nghĩa là luỹ thừa có nghĩa. Điều kiện cơ số dương phải tự nhớ.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🪜

Quy tắc luỹ thừa, rút gọn

1
Nhận biết
Với a ≠ 0 và m, n nguyên, aᵐ · aⁿ bằng
2
Thông hiểu
Với a ≠ 0, a⁷ : a³ bằng
3
Thông hiểu
Với a ≠ 0, rút gọn $(a^{2})^{3} \cdot a^{- 2}$ được
4
Thông hiểu Tính $\frac{4 ^{\frac{5}{2}} \cdot 4 ^{\frac{1}{2}}}{4 ^{\frac{3}{2}}}$ =
5
Vận dụng
Với a > 0, rút gọn $\frac{a ^{\frac{4}{3}} \cdot a ^{\frac{2}{3}}}{a ^{\frac{1}{3}}}$ được
6
Vận dụng Cho a > 0 thoả $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ . Giá trị của a + a⁻¹ là

⏪

Số mũ 0 và số mũ âm

1
Nhận biết
Giá trị của 2⁻³ là
2
Nhận biết
Điều kiện của cơ số a để a⁻² có nghĩa là
3
Thông hiểu $(\frac{2}{3})^{- 2}$ =
4
Thông hiểu
Giá trị của 3⁻² + 2⁰ là
5
Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?

√

Căn và số mũ hữu tỉ

1
Nhận biết
Căn bậc ba của −8 là
2
Thông hiểu $1 6^{\frac{3}{4}}$ =
3
Thông hiểu
Với a > 0, $5 a^{3}$ viết dưới dạng luỹ thừa là
4
Thông hiểu
Giá trị của $8 1^{- \frac{1}{4}}$ là
5
Vận dụng
Biểu thức nào sau đây KHÔNG có nghĩa?
6
Vận dụng
Với a > 0, $3 a a$ bằng

⚖️

Số mũ thực, so sánh luỹ thừa

1
Thông hiểu $2^{3} \cdot 2^{2 - 3}$ =
2
Thông hiểu $(3^{2})^{2}$ =
3
Thông hiểu
So sánh (0,5)³ và (0,5)⁴.
4
Thông hiểu
So sánh 3⁴⁰ và 4³⁰.
5
Vận dụng
So sánh 5²⁰ và 2⁵⁰.
6
Vận dụng
Số lớn nhất trong ba số 2¹⁰⁰, 3⁶⁰, 5⁴⁰ là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Với a > 0, rút gọn $\frac{a ^{\frac{5}{2}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{3}{2}}}$ được
2
Thông hiểu
Giá trị của $481 - 3 - 27$ là
3
Vận dụng
Khẳng định nào sau đây đúng?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho biểu thức $A = 8^{\frac{2}{3}} + 1 6^{- \frac{1}{4}} - 5^{0}$ .

a) $8^{\frac{2}{3}} = 4$ .

b) $1 6^{- \frac{1}{4}} = - 2$ .

c) $A = \frac{7}{2}$ .

d) $(- 8)^{\frac{2}{3}}$ cũng tính được và bằng 4 như $8^{\frac{2}{3}}$ .
2
Vận dụng
Cho a > 0 thoả $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ .

a) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1}$ .

b)a + a⁻¹ = 9.

c)a + a⁻¹ = 7.

d)a² + a⁻² = 49.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Dùng máy tính, giá trị của $2^{2}$ làm tròn đến hàng phần trăm là
2
Vận dụng Tính $P = 9^{2 + 1} \cdot 3^{- 22} : 3$ . Đáp số:
3
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên dương n thoả n³⁰ < 3⁶⁰? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài này là nền cho lôgarit, hàm số mũ, phương trình mũ (bài 19–21) và cho đạo hàm, nguyên hàm của hàm số mũ ở lớp 12: mọi biến đổi ở đó đều dựa vào quy tắc nhân, chia, luỹ thừa của luỹ thừa.
•Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi rút gọn biểu thức có số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ, tính giá trị bằng đổi căn sang mũ, và hay có câu hỏi "biểu thức nào có nghĩa".
•Dạng so sánh hai luỹ thừa (đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số) có thể xuất hiện ở cả trắc nghiệm lẫn tự luận. Nhớ cơ số nhỏ hơn 1 thì đảo chiều.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Lôgarit