Chủ đề 19 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Lôgarit

Hiểu lôgarit là số mũ cần tìm, tính lôgarit cơ bản, dùng quy tắc tích, thương, luỹ thừa và đổi cơ số, kèm điều kiện đối số dương.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 19

⚡ Nhớ nhanh

1logₐ b = c ⇔ aᶜ = b (0 < a ≠ 1, b > 0). Đọc thành lời: "nâng a lên mũ mấy thì được b".
2Đối số phải dương, nhưng giá trị của lôgarit mang dấu nào cũng được: log₂(18) = −3. logₐ 1 = 0 và logₐ a = 1.
3Lôgarit biến nhân thành cộng: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Chia thành trừ, luỹ thừa thành hệ số: logₐ xᵅ = α·logₐ x.
4Lôgarit của tổng không tách được: log₂(4 + 4) = 3 chứ không phải log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
5Đổi cơ số: logₐ b = log₂ blog₂ a = ln bln a, đổi sang cơ số nào cũng được. Máy tính chỉ có lg (cơ số 10) và ln (cơ số e) nên hay phải đổi.

👀 Nhìn là hiểu

Thước lôgarit cơ số 2: chọn x = 8 thấy log₂ 8 = 3 (3 bước nhân 2); chọn thêm y và phép nhân thì đoạn của 4 nối đoạn của 8 thành đoạn của 32, nên log₂ 4 + log₂ 8 = 5. Bấm nút mẫu bẫy log₂(4 + 4): kết quả là 3 chứ không phải 4.

━ log₂ x · ━ log₂ y · ● kết quả

log₂ 8 = 3

Từ 1 nhân 2 ba lần: 1 → 2 → 4 → 8, nên log₂ 8 = 3 (vì 2³ = 8). Tương tự log₃(1/9) = −2 (vì 3⁻² = 1/9), log₅ 1 = 0. Vậy log₂ 8 + log₃(1/9) − log₅ 1 = 3 − 2 − 0 = 1.

1 🪜 Lôgarit là số mũ cần tìm

Cần nhớ

✦Định nghĩa: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. Ví dụ: log₂ 8 = 3 vì 2³ = 8 (3 bước, mỗi bước nhân 2).
✦Điều kiện: cơ số 0 < a ≠ 1 và đối số b > 0. Ví dụ: log₂ 0 và log₂(−4) không có nghĩa vì không số mũ nào cho 2ᶜ = 0 hoặc −4.
✦Hai giá trị đặc biệt: logₐ 1 = 0 (vì a⁰ = 1) và logₐ a = 1. Ví dụ: log₅ 1 = 0, log₇ 7 = 1.
✦Hai đẳng thức hay dùng: logₐ aᵅ = α và a^(logₐ b) = b. Ví dụ: log₃ 3⁵ = 5, 2^(log₂ 7) = 7.

Thước lôgarit cơ số 2

Đối số x	log₂ x	Vì sao
18	−3	2⁻³ = 18
14	−2	2⁻² = 14
12	−1	2⁻¹ = 12
1	0	2⁰ = 1
2	1	2¹ = 2
4	2	2² = 4
8	3	2³ = 8

Dạng bài

Tính một lôgarit

1 Đặt logₐ b = c, viết thành aᶜ = b.
2 Đưa b về luỹ thừa của a (hoặc của cùng một cơ số) rồi so sánh số mũ.
3 Với phân số thì dùng số mũ âm: 19 = 3⁻².
4 Thử lại bằng cách nâng cơ số lên số mũ vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Số hạng log₃(19) = −2 là âm và hoàn toàn bình thường: đối số 19 dương, còn giá trị −2 thì mang dấu nào cũng được. Còn log₃(−9) mới là sai vì đối số âm.

🪜

Làm mẫu

Tính log₂ 8 + log₃(19) − log₅ 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ➕ Quy tắc tích, thương, luỹ thừa

Cần nhớ (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)

✦Tích → tổng: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Ví dụ: log₂(4·8) = log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 = 5 (và 4·8 = 32 = 2⁵).
✦Thương → hiệu: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Ví dụ: log₂(82) = 3 − 1 = 2.
✦Luỹ thừa → hệ số: logₐ xᵅ = α·logₐ x. Ví dụ: log₂ 4³ = 3·2 = 6 (và 4³ = 64 = 2⁶).
✦Đối số có thể âm mà luỹ thừa chẵn thì phải viết |x|: logₐ x² = 2·logₐ|x|. Ví dụ: log₂(−3)² = log₂ 9 = 2·log₂ 3, còn "2·log₂(−3)" vô nghĩa.

Số mũ nhảy ra khỏi lôgarit thế nào?

Biểu thức	Kết quả	Vì sao
log₂ 4³	3·log₂ 4 = 6	Mũ ở đối số → thành hệ số
log₈ 64	(13)·log₂ 64 = 2	Mũ ở cơ số (8 = 2³) → thành nghịch đảo
(log₂ 4)³	2³ = 8	Mũ nằm ngoài lôgarit: không rút gọn được

Dạng bài

Rút gọn biểu thức nhiều lôgarit cùng cơ số

1 Đưa hệ số vào làm số mũ: n·logₐ x = logₐ xⁿ.
2 Gộp: cộng thành tích, trừ thành thương, để một lôgarit duy nhất (hoặc vài nhóm triệt tiêu nhau).
3 Tính lôgarit còn lại bằng định nghĩa.
4 Thử lại bằng số: tính từng log rồi cộng trừ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Gặp dấu cộng bên trong thì không tách được: log₂(4 + 4) = log₂ 8 = 3, còn log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Hai số khác nhau, nên log(x + y) ≠ log x + log y.

➕

Làm mẫu

Tính log₂ 24 − log₂ 3 + 2·log₂ 5 − log₂ 25.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔄 Đổi cơ số

Cần nhớ

✦Đổi cơ số: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ với mọi cơ số c hợp lệ. Ví dụ: log₄ 8 = log₂ 8log₂ 4 = 32.
✦Hệ quả: $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ . Ví dụ: log₂ 8 = 3 và log₈ 2 = 13.
✦Cơ số luỹ thừa: $lo g_{a^{n}} b = \frac{1}{n} lo g_{a} b$ . Ví dụ: log₄ 32 = (12)·log₂ 32 = 52.
✦Dây chuyền: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ . Ví dụ: log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8 = 3.

Dạng bài

Tính lôgarit theo một số cho trước

1 Chọn một cơ số chung là cơ số của giả thiết (ví dụ log₂ 3 = a thì chọn cơ số 2).
2 Đổi cả lôgarit cần tính về cơ số đó.
3 Phân tích đối số thành tích các luỹ thừa của 2 và 3 rồi áp dụng quy tắc tích, luỹ thừa.
4 Thử lại bằng số: thay a ≈ 1,585 vào kết quả và so với giá trị tính bằng máy.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai biểu thức này khác hẳn nhau: log₂ 8log₂ 4 = 32 là công thức đổi cơ số (bằng log₄ 8), còn log₂(84) = log₂ 2 = 1 là quy tắc thương.

🔄

Làm mẫu

Cho log₂ 3 = a. Tính log₁₂ 18 theo a.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧮 Lôgarit thập phân và tự nhiên

Cần nhớ

✦Lôgarit thập phân: lg x = log₁₀ x. Ví dụ: lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
✦Lôgarit tự nhiên: ln x = logₑ x với e ≈ 2,718. Ví dụ: ln e² = 2.
✦Lôgarit nén số rất lớn: lg 1 000 000 = 6, nên đại lượng nhân lên một triệu lần chỉ làm lôgarit tăng thêm 6 đơn vị.

Dạng bài

Dùng máy tính tính logₐ b với cơ số bất kì

1 Nếu máy không có nút lôgarit hai biến (chỉ có lg và ln) thì phải đổi cơ số.
2 Viết logₐ b = ln bln a.
3 Bấm tử và mẫu rồi chia.
4 Thử lại: nâng a lên kết quả, phải gần b.

⚠️ Bẫy hay gặp: Kết quả log₂ 10 không phải số nguyên, và 3,32 hợp lý vì 10 nằm giữa 8 = 2³ và 16 = 2⁴. Nếu máy cho số ngoài khoảng (3; 4) thì đã bấm sai.

🧮

Làm mẫu

Tính gần đúng log₂ 10, làm tròn đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đọc thành lời "nâng cơ số lên mũ mấy thì ra đối số" nhanh hơn nhớ công thức. Ví dụ: log₃ 81 = 4 vì 3⁴ = 81.
✦Đối số là phân số 1/aⁿ thì đáp số là −n (âm): log₂(116) = −4.
✦Bài "tính theo a": phân tích đối số thành thừa số nguyên tố, rồi thử bằng số để loại phương án nhiễu.
✦Biểu thức nhiều lôgarit: nhóm cộng thành tích, trừ thành thương, rất hay có đáp số là một số nguyên đẹp.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Tách lôgarit của một tổng: log₂(4 + 4) = 3 ≠ log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
✦Cho rằng lôgarit luôn dương: log₂(18) = −3. Điều kiện dương là của đối số, không phải của giá trị.
✦Đối số bằng 0 hoặc âm: log₂ 0 và log₂(−4) vô nghĩa. Điều kiện xác định của log₂(x − 3) là x > 3, không phải x ≥ 3.
✦Rút gọn (log₂ 4)³ thành 3·log₂ 4. Mũ nằm ngoài lôgarit thì không nhảy được: (log₂ 4)³ = 8 còn 3·log₂ 4 = 6.
✦Nhầm đổi cơ số với quy tắc thương: log₂ 8log₂ 4 = 32, còn log₂ 8 − log₂ 4 = 1.
✦Viết logₐ x² = 2·logₐ x cho mọi x. Với x < 0 vế phải vô nghĩa, phải viết 2·logₐ|x|.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Nút lôgarit hai biến (nếu máy có): nhập cơ số và đối số để thử ngay log₂ 8 = 3. Máy không có thì dùng ln chia ln.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = log₂ x rồi cho x chạy, kiểm tra thấy x nhân đôi thì f(x) tăng thêm 1.
✦Thử bài "tính theo a": bấm giá trị gần đúng của a vào cả đề lẫn đáp án, hai kết quả phải trùng nhau.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🪜

Định nghĩa và điều kiện

1
Nhận biết
Giá trị của log₄ 16 là
2
Nhận biết
Giá trị của log₂ 1 là
3
Thông hiểu log₂(18) = .
4
Thông hiểu
Giá trị của log₃(19) + log₂ 16 là
5
Vận dụng
Giá trị của $lo g_{\frac{1}{2}} 8$ là
6
Thông hiểu
Điều kiện xác định của log₃(5 − x) là
7
Vận dụng
Điều kiện xác định của $lo g_{x - 1} 9$ là
8
Thông hiểu
Biểu thức log₂ x² có nghĩa khi và chỉ khi

➕

Quy tắc tích, thương, luỹ thừa

1
Nhận biết
Giá trị của log₂ 4 + log₂ 8 là
2
Thông hiểu log₂ 48 − log₂ 3 = .
3
Vận dụng
Giá trị của 2·log₃ 6 − log₃ 4 là
4
Thông hiểu
Cho log₂ a = 3 và log₂ b = 2 (a, b > 0). Giá trị của log₂(a²/b) là
5
Thông hiểu log₂ 5 + log₂(15) = .
6
Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây sai?
7
Vận dụng
Với x = −2, giá trị của log₂ x² bằng

🔄

Đổi cơ số và tính theo số cho trước

1
Thông hiểu
Giá trị của log₂ 3 · log₃ 8 là
2
Thông hiểu
Giá trị của log₄ 8 là
3
Thông hiểu log₄ 32 = .
4
Vận dụng
Cho log₂ 3 = a. Giá trị của log₆ 12 theo a là
5
Vận dụng
Cho log₂ 5 = m. Giá trị của log₄ 20 theo m là

🧮

Lôgarit thập phân và tự nhiên

1
Nhận biết
Giá trị của lg 1000 là
2
Thông hiểu lg 0,001 + ln e² = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Giá trị của biểu thức log₂ 12 − log₂ 3 + log₃ 27 là
2
Vận dụng
Cho log₂ 3 = a. Giá trị của log₆ 18 theo a là
3
Thông hiểu
Tập xác định của biểu thức log₂(x − 1) + log₂(3 − x) là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho x = log₂ 8 và y = log₂(14).

a)x = 3.

b)y > 0, vì đối số 14 dương nên lôgarit của nó dương.

c)log₂(8 + 14) = x + y.

d)x − y = 5.
2
Vận dụng
Cho log₂ 3 = a và log₂ 5 = b.

a)log₂ 15 = a + b.

b)log₂(35) = a/b.

c)log₂ 45 = a + 2b.

d)log₆ 10 = 1 + b1 + a.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tính log₂ 40 − log₂ 5 + log₃ 9. Đáp số:
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên x để biểu thức log₂(10 − x) + log₃(x + 2) xác định? Đáp số:
3
Vận dụng Tính log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 16. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường có câu tính giá trị biểu thức nhiều lôgarit (dùng quy tắc tích, thương, luỹ thừa) và câu tìm điều kiện xác định.
•Dạng tính log theo a, b (cho log₂ 3 = a, tính log₁₂ 18...) hay có: nhớ chọn một cơ số chung rồi thử lại bằng số.
•Bài này là nền cho hàm số mũ, hàm số lôgarit, phương trình và bất phương trình lôgarit ở các bài sau, và lên lớp 12 còn gặp ở đạo hàm, nguyên hàm của hàm số lôgarit.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hàm số mũ và hàm số lôgarit