Chủ đề 25 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Hai mặt phẳng vuông góc

Đo góc nhị diện bằng hai tia cùng vuông góc giao tuyến, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc chỉ bằng MỘT đường vuông góc mặt kia, và dùng mặt ⊥ mặt để dựng đường cao của hình chóp.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 25

⚡ Nhớ nhanh

1Góc nhị diện [S, BC, A]: hai nửa mặt phẳng chung bờ BC, một nửa chứa S, một nửa chứa A. Số đo của nó là số đo góc phẳng nhị diện: góc giữa hai tia cùng vuông góc với giao tuyến tại cùng một điểm của giao tuyến.
2Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau luôn thuộc [0°; 90°]. Góc nhị diện tù thì góc giữa hai mặt phẳng là 180° trừ nó.
3(P) ⊥ (Q) khi góc giữa chúng bằng 90°. Cách chứng minh dễ nhất: a ⊂ (P), a ⊥ (Q) ⇒ (P) ⊥ (Q). Chỉ cần một đường.
4Hệ quả chủ lực: (P) ⊥ (Q), a ⊂ (P), a ⊥ giao tuyến ⇒ a ⊥ (Q). Đây là công cụ dựng đường cao khi mặt bên vuông góc với đáy.
5Không phải đường nào trong (P) cũng ⊥ (Q): đường kẻ ngang trên bức tường vuông góc với sàn thì song song với sàn.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn giao tuyến BC, CD hoặc BD trên hình chóp S.ABCD (SA ⊥ đáy) rồi kéo thanh SA: hình dựng hai tia cùng vuông góc giao tuyến, mặt (SBC) quay theo và góc nhị diện đổi. Thử nút mẫu "[S, BC, A]" (45° khi SA = a), "(SAB) ⊥ (ABCD)", "[S, BD, A]" (≈ 54,7°, không phải 45°: nút bẫy) và "S.ABC, (SAB) ⊥ (ABC)" để thấy chân đường cao SH không ở A.

Kéo trên hình để xoay.

Giao tuyến

SA = a

AB ⊥ BC (đáy vuông), SB ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAB))

[S, BC, A] = góc SBA, tan = SA/AB ≈ 1 ⇒ 45°

[S, BC, A]

Giao tuyến BC. Trong đáy: AB ⊥ BC. Trong (SBC): SB ⊥ BC (BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⊃ SB). Vậy góc nhị diện [S, BC, A] = góc SBA. SA = AB = a ⇒ 45°.

1 📐 Góc nhị diện và góc giữa hai mặt phẳng

Cần nhớ

✦Giao tuyến trước: hai mặt phẳng cắt nhau theo đường c. Từ một điểm I ∈ c, kẻ trong mỗi mặt một tia vuông góc với c. Góc giữa hai tia là góc phẳng nhị diện.
✦Kí hiệu như SGK: [S, BC, A] là góc nhị diện có cạnh BC, một mặt chứa S, một mặt chứa A. Với S.ABCD (SA ⊥ đáy, đáy vuông) thì [S, BC, A] chính là góc giữa (SBC) và (ABCD).
✦Cùng một điểm: hai tia phải xuất phát từ cùng một điểm của giao tuyến. Kẻ ở hai điểm khác nhau thì không đo được góc.
✦Hay gặp: SA ⊥ đáy, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB. Hai tia BS và BA cùng vuông góc với BC tại B, nên góc SBA là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].
✦Góc nhị diện tù thì góc giữa hai mặt phẳng lấy phần bù: 180° trừ góc ấy. Hai mặt song song hoặc trùng nhau có góc 0°.

Dạng bài

Dựng và đo góc nhị diện

1 Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng.
2 Chọn một điểm I ∈ c; trong mỗi mặt kẻ tia vuông góc với c tại I (thường dùng "đường ⊥ mặt" để chứng minh).
3 Góc giữa hai tia là góc phẳng nhị diện; gọi tên đúng 3 điểm, ví dụ góc SBA.
4 Đưa góc vào tam giác vuông, tính tan hoặc cos, rồi thử lại bằng đại lượng thứ hai.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn nhầm góc. Góc SBC luôn bằng 90° (vì BC ⊥ SB), nên không phải góc nhị diện. Góc SCA cũng sai: tan SCA = SA/AC = √22 ⇒ 35,3°, khác hẳn 45°. Hãy tìm hai tia cùng vuông góc giao tuyến BC tại B.

📐

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc nhị diện [S, BC, A].

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🧩 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Cần nhớ

✦Điều kiện đủ: a ⊂ (P), a ⊥ (Q) ⇒ (P) ⊥ (Q). Chỉ cần một đường nằm trong (P) mà vuông góc với cả mặt phẳng (Q).
✦Nhịp làm bài của chương: muốn mặt ⊥ mặt thì đi tìm đường ⊥ mặt trước (bài 23). Không dựng góc nhị diện rồi chứng minh bằng 90°: dài hơn mà không thêm điểm.
✦SA ⊥ (ABCD): mọi mặt phẳng chứa SA đều vuông góc đáy, ví dụ (SAB), (SAD), (SAC). Mặt (SBC) hay (SCD) không chứa SA nên chưa kết luận được.
✦Đáy hình vuông: BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC). Đáy hình vuông: BC ⊥ (SAB) nên (SBC) ⊥ (SAB).

Song song và vuông góc: số đường cần tìm khác nhau

Muốn có	Cần tìm trong (P)	Số lượng
(P) ∥ (Q)	Hai đường cắt nhau cùng song song với (Q)	Hai
(P) ⊥ (Q)	Một đường vuông góc với (Q) (đường này đã vuông góc mọi đường của (Q))	Một

Dạng bài

Chứng minh (P) ⊥ (Q)

1 Tìm trong (P) một đường a có vẻ vuông góc với (Q) (thường là đường chứa SA, hoặc cạnh vuông góc đáy).
2 Chứng minh a ⊥ (Q) bằng hai đường cắt nhau trong (Q) (hoặc có sẵn giả thiết).
3 Kết luận (P) ⊥ (Q), nêu căn cứ "a ⊂ (P), a ⊥ (Q)".
4 Thử lại bằng góc 90° giữa hai tia cùng vuông góc giao tuyến.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy SB ⊥ BC (BC là giao tuyến của (SBC) và (ABCD)) rồi kết luận (SBC) ⊥ (ABCD). Sai: SB không vuông góc với cả mặt (ABCD). Thật vậy [S, BC, A] = góc SBA = 45° khi SA = a, chưa phải 90°. Một đường vuông góc giao tuyến chưa đủ; phải vuông góc cả mặt kia.

🧩

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh (SAB) ⊥ (ABCD) và (SBC) ⊥ (SAB).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ⛏️ Dùng mặt ⊥ mặt để dựng đường cao

Cần nhớ

✦Hệ quả chủ lực: (P) ⊥ (Q), a ⊂ (P), a ⊥ c = (P) ∩ (Q) ⇒ a ⊥ (Q). Phải đúng 3 điều: a trong (P), a vuông giao tuyến, hai mặt vuông nhau.
✦Hai mặt cùng ⊥ mặt thứ ba: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), (P) ∩ (Q) = d ⇒ d ⊥ (R). Ví dụ (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD) nên giao tuyến SA ⊥ (ABCD).
✦Đảo ngược không đúng: hai mặt cùng vuông góc một mặt thứ ba chưa chắc song song. Hai bức tường kề nhau cùng vuông góc sàn, giao tuyến là cạnh góc tường.
✦Lăng trụ đứng: cạnh bên ⊥ đáy ⇒ mọi mặt bên ⊥ đáy. Chóp đều: đáy là đa giác đều, chân đường cao trùng tâm đáy.
✦Giả thiết "SAB đều" hay "SAB cân tại S" bảo đảm trung tuyến SH cũng là đường cao, nên chân đường cao rơi đúng trung điểm H của AB.

Dạng bài

Dựng đường cao khi mặt bên ⊥ đáy

1 Xác định giao tuyến c của mặt bên và đáy.
2 Trong mặt bên, kẻ đường thẳng từ đỉnh vuông góc c (đường cao tam giác; tam giác cân hoặc đều thì là trung tuyến).
3 Theo hệ quả, đường vừa kẻ vuông góc đáy: đó là đường cao của hình chóp.
4 Tính độ dài trong tam giác mặt bên và thử lại bằng số đo.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng chân đường cao luôn là trung điểm AB. Chỉ đúng khi SAB cân tại S hoặc đều. Nếu SAB vuông tại S với SA = 6, SB = 8 thì AB = 10, SH = 6·810 = 4,8 và AH = 6²/10 = 3,6 khác 5 (không phải trung điểm).

⛏️

Làm mẫu

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác SAB đều cạnh a. Gọi H là trung điểm AB. Chứng minh SH ⊥ (ABC) và tính SH.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧮 Tính góc giữa mặt bên và đáy

Cần nhớ (S.ABCD, SA ⊥ đáy)

✦Công thức dùng nhiều: gọi d là khoảng cách từ chân đường cao A đến giao tuyến. Khi đó tan(góc nhị diện) = SA/d.
✦Giao tuyến BC hoặc CD: d = a (cạnh đáy), nên SA = a cho 45°, SA = a√3 cho 60°.
✦Giao tuyến BD: d = AO = a√22 (O = AC ∩ BD), nhỏ hơn a, nên góc lớn hơn: SA = a cho tan = √2, tức ≈ 54,7°.
✦Chóp đều: góc giữa mặt bên và đáy là góc SMO (M trung điểm cạnh đáy, O tâm đáy), tan = SO/OM.

Dạng bài

Góc giữa mặt bên và đáy

1 Tìm giao tuyến c của mặt bên và đáy.
2 Từ chân đường cao A hạ AK ⊥ c (K ∈ c), nối SK.
3 Theo ba đường vuông góc, SK ⊥ c. Vậy góc SKA là góc phẳng nhị diện.
4 Tính tan SKA = SA/AK, rồi thử lại bằng cos = AK/SK.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy d = a (khoảng cách tới cạnh đáy) cho giao tuyến BD và kết luận 45°. Khoảng cách từ A tới BD là AO = a√22, không phải a. Dùng a thì ra 45° (sai), dùng AO mới ra 54,7°.

🧮

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc nhị diện [S, BD, A].

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề cho SA ⊥ đáy: ghi ngay "mọi mặt phẳng chứa SA đều ⊥ đáy". Khoanh nhanh (SAB), (SAD), (SAC) vuông góc (ABCD).
✦Góc giữa mặt bên và đáy: tan = chiều cao / khoảng cách từ chân đường cao đến giao tuyến. Chỉ cần tìm đúng khoảng cách d.
✦Đáy hình vuông, SA ⊥ đáy: nhớ sẵn ba cặp vuông góc (SAB) ⊥ (ABCD), (SBC) ⊥ (SAB), (SBD) ⊥ (SAC).
✦Hai mặt cùng vuông góc mặt thứ ba thì đi tìm giao tuyến của chúng: đó là đường cao cần tìm.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng (P) ⊥ (Q) thì mọi đường trong (P) vuông góc với (Q). Phản ví dụ: đường kẻ ngang trên tường song song với sàn.
✦Chỉ kiểm a ⊥ giao tuyến rồi kết luận (P) ⊥ (Q). Phản ví dụ: SB ⊥ BC nhưng (SBC) không vuông (ABCD) vì [S, BC, A] = 45° khi SA = a.
✦Hai mặt cùng vuông góc mặt thứ ba thì song song. Sai: hai tường kề nhau cùng vuông góc sàn mà cắt nhau theo cạnh góc tường.
✦Đo góc nhị diện ở hai điểm khác nhau trên giao tuyến, hoặc dùng góc SBC, SCA thay cho góc SBA.
✦Cho rằng chân đường cao luôn là trung điểm AB khi (SAB) ⊥ (ABC). Chỉ đúng khi SAB cân tại S hoặc đều.
✦Tính góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng AB thay cho AO, ra 45° thay vì 54,7°.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính toán thường (COMP): tính tan⁻¹ của tỉ số SA : d (đổi sang độ) để lấy số đo góc, ví dụ tan⁻¹ √2 ≈ 54,7°.
✦Thử lại bằng hàm khác: tính cos⁻¹ của tỉ số d : SK, phải ra cùng số đo với tan⁻¹.
✦Máy chỉ kiểm số đo; phần chứng minh vuông góc vẫn phải nêu đủ đường cắt nhau và giao tuyến.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📐

Góc nhị diện và góc giữa hai mặt phẳng

1
Nhận biết
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và
2
Nhận biết
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau thuộc đoạn
3
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Góc nhị diện [S, BC, A] bằng
4
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√3. Góc nhị diện [S, CD, A] bằng
5
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là góc
6
Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 3. Giá trị tan của góc nhị diện [S, BC, A] bằng .

🧩

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1
Nhận biết
Điều kiện đủ để (P) ⊥ (Q) là
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng vuông góc với (ABCD) là
3
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng
4
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
5
Thông hiểu
Cho (P) ⊥ (Q). Khẳng định đúng là
6
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Trong 5 mặt (SAB), (SAD), (SBC), (SCD), (ABCD) có mặt vuông góc với (SAB).

⛏️

Dùng mặt ⊥ mặt để dựng đường cao

1
Nhận biết
Cho (P) ⊥ (Q), (P) ∩ (Q) = c, a ⊂ (P) và a ⊥ c. Khi đó
2
Thông hiểu
Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Khi đó
3
Thông hiểu Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác SAB đều cạnh 2. Chiều cao hình chóp, làm tròn đến hàng phần mười, bằng .
4
Vận dụng Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác SAB vuông tại S với SA = 6, SB = 8. Chiều cao hình chóp bằng .
5
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và (SAB) ⊥ (ABCD). Độ dài SC bằng

🧮

Tính góc giữa mặt bên và đáy

1
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi O = AC ∩ BD. Tan của góc nhị diện [S, BD, A] bằng
2
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Góc nhị diện [S, BD, A], làm tròn đến độ, bằng °.
3
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Để góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 45° thì SA bằng
4
Thông hiểu Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, đường cao SO = 1. Góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng °.

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Mệnh đề sai là
2
Thông hiểu
Cho (P) ⊥ (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Mệnh đề đúng là
3
Vận dụng
Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có tam giác ABC vuông tại B. Mệnh đề sai là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2. Gọi O = AC ∩ BD.

a)(SAB) ⊥ (ABCD).

b)Góc nhị diện [S, BC, A] bằng 60°.

c)Tan của góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng √2.

d)(SBC) ⊥ (SCD).
2
Vận dụng
Cho hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác SAB đều cạnh 2, tam giác ABC vuông tại B với BC = 3. Gọi H là trung điểm AB.

a)SH ⊥ (ABC).

b)SH = 2.

c)(SBC) ⊥ (SAB).

d)SC = 4.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, SA ⊥ (ABCD), SA = 2√3. Tính số đo (độ) góc giữa (SCD) và (ABCD). Đáp số:
2
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 3,6. Tính tan của góc giữa (SBD) và (ABCD). Đáp số:
3
Vận dụng Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4, cạnh bên SA = 2√6. Tính tan của góc giữa mặt bên (SBC) và đáy. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường có câu chứng minh hai mặt phẳng vuông góc (hay dùng "mặt chứa SA ⊥ đáy") và câu dựng đường cao khi mặt bên vuông góc với đáy. Điểm hay mất nhất là quên nêu rõ giao tuyến hoặc nhầm đường vuông góc giao tuyến với đường vuông góc cả mặt.
•Trắc nghiệm hay hỏi "mệnh đề nào đúng/sai" về cặp mặt vuông góc trong chóp đáy vuông (SAB, ABCD, SBC, SBD, SAC), hoặc yêu cầu tính góc giữa mặt bên và đáy; thường có đáp án gài khi lấy sai khoảng cách tới giao tuyến.
•Chủ đề là nền cho khoảng cách và thể tích ở các bài sau của lớp 11 (đều cần đường cao đã dựng), và có thể gặp lại ở lớp 12 dưới dạng góc giữa hai mặt phẳng tính bằng vectơ pháp tuyến.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Khoảng cách