Chủ đề 26 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Khoảng cách

Dựng đúng đoạn vuông góc để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, rồi dùng ba cách (dựng thẳng, dời điểm, qua thể tích) và đưa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau về khoảng cách đường – mặt.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 26

⚡ Nhớ nhanh

1d(M, (P)) = MH, H là hình chiếu của M trên (P). Đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất: mọi đoạn xiên MA đều dài hơn MH.
2Dựng thẳng: tìm đường vuông góc với (P) bằng chuỗi của bài 23 (BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH, AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC)).
3Dời điểm: MN ∥ (P) thì d(M, (P)) = d(N, (P)); MN cắt (P) tại I thì d(M, (P)) : d(N, (P)) = IM : IN.
4Qua thể tích: d = 3V/S, từ V = (13)·S·h đã học ở lớp dưới. Dùng khi khó thấy chân đường vuông góc.
5Hai đường chéo nhau a, b: d(a, b) là độ dài đoạn vuông góc chung, hoặc d(a, (P)) với (P) chứa b và (P) ∥ a.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo thanh SA trên hình chóp S.ABCD (đáy vuông cạnh a, SA ⊥ đáy), bấm "d(A, (SBC))" để thấy đoạn vuông góc AH, "Dời: d(D, (SBC))" để thấy AD ∥ (SBC) nên khoảng cách không đổi, "d(A, (SBD))" để thấy AH ⊥ SO. Thử nút "Bẫy: đoạn xiên AB" để thấy AB dài hơn AH.

Kéo trên hình để xoay.

SA = a

Mặt phẳng (SBC) tô xanh · đoạn vuông góc AH

AH ≈ 0,707a = a√2/2

d(A, (SBC))

BC ⊥ (SAB) nên (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB. Trong (SAB) hạ AH ⊥ SB thì AH ⊥ (SBC): d(A, (SBC)) = AH. Tam giác SAB vuông tại A: 1/AH² = 1/SA² + 1/AB². SA = AB = a ⇒ AH = a√2/2 ≈ 0,707a.

1 📏 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: dựng thẳng

Cần nhớ

✦d(M, (P)) = MH, H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (MH ⊥ (P)). Nếu M ∈ (P) thì khoảng cách bằng 0.
✦Vì sao chọn đoạn vuông góc: với A ∈ (P), A ≠ H, tam giác MHA vuông tại H nên MA > MH (cạnh huyền dài hơn cạnh góc vuông). Đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất.
✦Khó nhất là chỉ ra MH ⊥ (P). Cách quen thuộc trên hình chóp có SA ⊥ đáy là chuỗi hai bước của bài 23: chứng minh BC ⊥ (SAB), rồi kẻ AH ⊥ SB trong (SAB) thì AH ⊥ BC, nên AH ⊥ (SBC).
✦Có thể nói gọn: (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB, AH ⊂ (SAB) và AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) (bài 25). Nhưng nhớ nêu BC ⊥ (SAB) làm căn cứ.

Năm loại khoảng cách: đều quy về một loại gốc

Loại	Cách quy về	Ghi chú
Điểm – đường thẳng	Hạ vuông góc trong mặt phẳng chứa cả hai	Bài toán phẳng
Điểm – mặt phẳng	Loại gốc	Mọi loại khác quy về đây
Đường – mặt song song	Lấy một điểm bất kì của đường	Chọn điểm dễ nhất
Hai mặt song song	Lấy một điểm bất kì của mặt này	Như trên
Hai đường chéo nhau	Mặt chứa đường này, song song đường kia	Hoặc dựng đoạn vuông góc chung

Dạng bài

Dựng khoảng cách từ A đến (SBC)

1 Tìm đường vuông góc với một đường của (SBC) từ giả thiết (BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB)).
2 Trong mặt phẳng vừa tìm, kẻ AH vuông góc với giao tuyến (AH ⊥ SB).
3 Chứng minh AH ⊥ (SBC) bằng hai đường cắt nhau (AH ⊥ SB, AH ⊥ BC), kết luận d = AH.
4 Tính AH trong tam giác vuông SAB, rồi thử lại bằng AH·SB = SA·AB.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn đoạn xiên làm khoảng cách. AB = a nối A với B ∈ (SBC), nhưng AB và SB tạo góc 45° nên AB không vuông góc (SBC); AB = a > AH = a√22 ≈ 0,71a. Cũng đừng kẻ AH ⊥ SB rồi kết luận AH ⊥ (SBC) mà không nêu BC ⊥ AH: chỉ một góc vuông thì chưa đủ.

📏

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ↔️ Dời điểm: song song giữ nguyên, cắt thì lấy tỉ số

Cần nhớ

✦a ∥ (P) (a ⊄ (P)): mọi điểm của a cách (P) như nhau, nên d(a, (P)) = d(M, (P)) với M ∈ a tuỳ ý. Chọn M là điểm đã dựng được chân đường vuông góc.
✦Dời song song: MN ∥ (P) ⇒ d(M, (P)) = d(N, (P)). Muốn có MN ∥ (P), tìm đường qua M song song với một đường nằm trong (P).
✦Dời theo đường cắt: MN cắt (P) tại I thì d(M, (P)) : d(N, (P)) = IM : IN. Căn cứ: hai đường MM′, NN′ cùng vuông góc (P) nên song song, rồi áp dụng định lí Ta-lét trong mặt phẳng (MM′N′N).
✦Phản xạ khi gặp điểm lạ: "điểm này nối với điểm đã tính bằng đường song song hay đường cắt (P)?" Song song thì giữ nguyên, cắt thì lấy tỉ số.

Dạng bài

Dời điểm về điểm đã tính

1 Chọn điểm quen (chân đường vuông góc dễ dựng, thường là A khi SA ⊥ đáy).
2 Nối điểm lạ với điểm quen, xét đường nối ấy: song song một đường của (P) hay cắt (P) tại I.
3 Song song thì khoảng cách bằng nhau; cắt tại I thì lấy tỉ số IM : IN.
4 Thử lại bằng một đường nối khác hoặc bằng so sánh với đoạn xiên.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dời điểm theo đường cắt (P) mà vẫn giữ nguyên khoảng cách. Phản ví dụ: AC cắt (SBC) tại C, d(A, (SBC)) = a√22 nhưng d(O, (SBC)) chỉ bằng một nửa và d(C, (SBC)) = 0. Chỉ đường song song (P) mới giữ khoảng cách.

↔️

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi O = AC ∩ BD. Tính d(D, (SBC)) và d(O, (SBC)), biết d(A, (SBC)) = $\frac{a 2}{2}$ (ví dụ trên).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧊 Qua thể tích: d = 3V/S

Cần nhớ

✦Thể tích hình chóp V = (13)·S·h (đã học ở lớp dưới), S là diện tích mặt đáy, h là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy. Bài 27 ngay sau sẽ học kĩ về thể tích; ở đây chỉ dùng đúng công thức này.
✦Đảo lại: khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy h = 3V/S.
✦Muốn d(A, (SBD)): coi tứ diện A.SBD có đỉnh A, đáy SBD. Tính V của chính tứ diện ấy bằng cách chọn mặt khác làm đáy (mặt có đường cao sẵn), rồi chia cho diện tích tam giác SBD.
✦Đây là cứu tinh khi khó thấy chân đường vuông góc, nhưng cần V và S đều tính được.

Dạng bài

Tính d(A, (SBD)) qua thể tích

1 Coi A là đỉnh, (SBD) là mặt đáy của tứ diện A.SBD.
2 Tính V của tứ diện bằng cách chọn đáy khác có đường cao sẵn (đáy ABD, đường cao SA).
3 Tính diện tích tam giác SBD (cần SO ⊥ BD).
4 d = 3V/S, rồi thử lại bằng cách dựng thẳng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy V của cả hình chóp S.ABCD (= a³/3) chia cho diện tích tam giác SBD: được $\frac{3 \cdot a ^{3} /3}{a ^{2} 3 /2} = \frac{2 a 3}{3}$ , gấp đôi kết quả đúng. V phải là thể tích của đúng tứ diện có đỉnh A và đáy SBD (V = a³/6). Cũng đừng nhầm d(A, (SBD)) = AO: AO ⊥ BD nhưng AO không vuông góc SO, nên $A O = \frac{a 2}{2}$ chỉ là khoảng cách từ A đến đường thẳng BD.

🧊

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧵 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cần nhớ

✦Với hai đường chéo nhau a, b có đúng một đường thẳng cắt cả hai và vuông góc với cả hai; đoạn của nó nằm giữa a và b là đoạn vuông góc chung. d(a, b) là độ dài đoạn ấy, và cũng là độ dài ngắn nhất của đoạn nối một điểm của a với một điểm của b.
✦Cách 1 (khi nhìn ra sẵn): tìm đoạn cắt cả hai đường và vuông góc với cả hai. Trong hình lập phương và hình chóp có SA ⊥ đáy, đoạn ấy thường là một cạnh hoặc một nửa đường chéo.
✦Cách 2 (tổng quát, theo SGK): dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Khi đó d(a, b) = d(a, (P)) = d(M, (P)) với M ∈ a, quay về loại gốc (điểm – mặt).
✦Dựng (P): qua một điểm của b kẻ đường song song với a; thường có sẵn một mặt của hình (ví dụ BC ∥ AD thì (SBC) chứa SB và song song AD).

Dạng bài

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

1 Kiểm hai đường có chéo nhau không (không song song, không có điểm chung).
2 Hỏi: có đoạn nào cắt cả hai và vuông góc với cả hai không? Có thì độ dài đoạn đó là đáp số.
3 Nếu không, chọn mặt phẳng (P) chứa một đường và song song với đường kia (nêu rõ đường song song nằm ngoài (P)).
4 Đổi sang d(M, (P)) với M là điểm đã tính, rồi thử lại bằng so sánh với một đoạn nối bất kì (đáp số không vượt quá độ dài đoạn ấy).

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy đoạn nối "trông như ngắn nhất" trên hình vẽ. Hình vẽ là hình chiếu, mắt rất dễ bị lừa. Phản ví dụ: hình lập phương cạnh a, AB và CC′ chéo nhau; d(AB, CC′) = BC = a (BC ⊥ AB và BC ⊥ CC′), còn AC = a√2 nối được hai đường nhưng không vuông góc với AB nên không phải khoảng cách.

🧵

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính d(SA, BC) và d(AD, SB).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hình chóp có SA ⊥ đáy và BC ⊥ AB: d(A, (SBC)) = AH, với 1/AH² = 1/SA² + 1/AB² (hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB, lớp 9). Cạnh bên SA và AB bằng nhau thì AH = AB/√2.
✦Gặp d(D, (SBC)), d(C, (SAB))…: tự hỏi "nối với A bằng đường song song mặt không?". Có thì đổi sang d(A, …) ngay, không dựng lại.
✦Điểm nằm trên đường cắt mặt tại I: khoảng cách tỉ lệ độ dài tới I. Trung điểm của đoạn nối với I cho tỉ số 12.
✦Hai đường chéo nhau: tìm trước cạnh nào vuông góc với cả hai; không có thì chọn mặt chứa một đường và song song đường còn lại.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Lấy đoạn xiên làm khoảng cách. Phản ví dụ: AB = a nhưng d(A, (SBC)) = AH = a√22 < a.
✦Kẻ AH ⊥ SB rồi viết "AH là khoảng cách" mà không chứng minh AH ⊥ BC (từ BC ⊥ (SAB)). Thiếu căn cứ AH ⊥ (SBC) là mất điểm.
✦Dời điểm theo đường cắt mặt mà giữ nguyên khoảng cách. Phản ví dụ: d(O, (SBC)) = ½ · d(A, (SBC)) vì AC cắt (SBC) tại C.
✦Nhầm AO với d(A, (SBD)). AO ⊥ BD nhưng không vuông SO: a√22 là khoảng cách từ A đến đường BD, còn d(A, (SBD)) = a√33.
✦Qua thể tích mà lấy V của cả khối: d(A, (SBD)) bị gấp đôi 2a√33. V phải là của tứ diện A.SBD.
✦Chọn đoạn nối hai đường chéo nhau theo cảm giác nhìn hình: AC không phải d(AB, CC′); đoạn đúng là BC, vuông góc với cả hai.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính toán thường (COMP): thay a bằng số cụ thể (a = 1 hoặc a = 2) rồi so đáp án các phương án. Ví dụ a = 1: √22 ≈ 0,707; √33 ≈ 0,577; √66 ≈ 0,408.
✦Kiểm tra hợp lí: khoảng cách phải nhỏ hơn hoặc bằng mọi đoạn nối. d(A, (SBC)) ≈ 0,707 < AB = 1; d(A, (SBD)) ≈ 0,577 < AO ≈ 0,707 < SA = 1.
✦Dạng căn và phân số cho phép đối chiếu cách dựng thẳng với cách qua thể tích: hai kết quả phải trùng.
✦Máy không thấy được hình học: chỉ kiểm số, còn chứng minh AH ⊥ (SBC) vẫn phải viết đủ.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📏

Điểm đến mặt phẳng: dựng thẳng

1
Nhận biết
Khoảng cách từ điểm M (M ∉ (P)) đến mặt phẳng (P) là
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng
3
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. H là hình chiếu của A trên SB. Độ dài nào dưới đây là khoảng cách từ A đến (SBC)?
4
Thông hiểu Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = 9, AB = 12. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng .
5
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

↔️

Dời điểm

1
Nhận biết
Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách từ đường thẳng a đến (P) bằng
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 6, AD = 5, SA ⊥ (ABCD), SA = 8. Khoảng cách từ D đến (SBC) bằng .
4
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). O là tâm của đáy. Tỉ số $\frac{d ( O , ( S B C ))}{d ( A , ( S B C ))}$ bằng
5
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 4, AD = 7, SA ⊥ (ABCD), SA = 3. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = 2. Khoảng cách từ M đến (SBC) bằng .

🧊

Qua thể tích

1
Nhận biết
Hình chóp có thể tích V và diện tích đáy S. Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy bằng
2
Thông hiểu Hình chóp S.ABC có thể tích V = 6 và diện tích tam giác ABC bằng 9. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng .
3
Thông hiểu
Muốn tính d(A, (SBD)) qua thể tích, cần dùng
4
Vận dụng
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Khoảng cách từ O đến (ABC) bằng

🧵

Hai đường chéo nhau

1
Nhận biết
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là
2
Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng
3
Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BD bằng
4
Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 6, SA ⊥ (ABCD), SA = 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng .
5
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng
6
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 6, SA ⊥ (ABCD), SA = 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC, làm tròn đến hàng phần trăm, bằng .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P), H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), A là điểm thuộc (P) và A ≠ H. Khẳng định đúng là
2
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a√3, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ A đến (SBD) bằng
3
Vận dụng
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A′C bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi O = AC ∩ BD.

a)Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng AH, với H là hình chiếu của A trên SB.

b)Khoảng cách từ D đến (SBC) bằng a.

c)Khoảng cách từ A đến (SBD) bằng $\frac{a 3}{3}$ .

d)Khoảng cách từ A đến (SBD) bằng AO, tức $\frac{a 2}{2}$ .
2
Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD) và SA = 4. Gọi O = AC ∩ BD.

a)BC ⊥ (SAB).

b)Khoảng cách từ D đến (SBC) bằng $\frac{12}{5}$ .

c)Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 3.

d)Khoảng cách từ O đến (SBC) bằng $\frac{12}{5}$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, SA ⊥ (ABCD), SA = 2. Tính khoảng cách từ D đến (SBC), làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:
2
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3, SA ⊥ (ABCD), SA = 3. Tính khoảng cách từ A đến (SBD), làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:
3
Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD, làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường có câu tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình chóp có SA ⊥ đáy; các mốc quen thuộc là d(A, (SBC)), d(A, (SCD)), d(A, (SBD)). Điểm hay mất nhất là chứng minh AH ⊥ (SBC) (quên BC ⊥ AH) và chọn nhầm đoạn xiên.
•Trắc nghiệm hay hỏi giá trị hoặc so sánh khoảng cách, thường có đáp án gài từ đoạn xiên (AB thay vì AH), từ dời điểm theo đường cắt (quên tỉ số) và từ d(A, (SBD)) bị nhầm với AO. Hay có câu hai đường chéo nhau đưa về khoảng cách đường – mặt song song.
•Chủ đề là nền cho thể tích khối chóp ở bài 27 ngay sau (khoảng cách chính là chiều cao), và có thể gặp lại ở lớp 12 dưới dạng khoảng cách trong hệ toạ độ Oxyz.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Thể tích