Hai đường thẳng vuông góc
Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dời song song về một điểm, nhận ra hai đường vuông góc dù không cắt nhau, và dùng hình lập phương, tứ diện đều để luyện các cặp góc thường gặp.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 22
⚡ Nhớ nhanh
- 1Góc giữa hai đường thẳng a, b: lấy một điểm O bất kì, kẻ a′ ∥ a và b′ ∥ b cùng đi qua O. Góc giữa a′ và b′ chính là góc cần tìm, không phụ thuộc vào điểm O.
- 2Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong [0°; 90°]. Song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0°. Gặp góc tù thì lấy 180° − góc đó.
- 3a ⊥ b ⇔ góc giữa a và b bằng 90°. Hai đường vuông góc không cần cắt nhau: hai đường chéo nhau vẫn có thể vuông góc.
- 4Muốn tính góc giữa hai đường chéo nhau, chỉ cần dời một đường về cắt đường kia, chọn sao cho ra một tam giác đã biết các cạnh hoặc các góc.
- 5Nếu a ∥ b và c ⊥ a thì c ⊥ b. Nhưng a ⊥ c và b ⊥ c không kéo theo a ∥ b: trong không gian hai đường đó có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn cặp đường chéo nhau trên hình lập phương, kéo thanh "Dời song song" để đẩy đường cam về cắt đường xanh rồi đọc góc. Bấm "AB và B′C′" (dời thành BC, được 90°) và "AC và A′B′ (góc tù)" (đo ra 135° thì góc giữa hai đường là 45°) để gặp hai bẫy hay sai nhất.
Kéo trên hình để xoay.
AB và B′C′ chéo nhau · dời B′C′ thành BC
Góc đo được: 90° ⇒ góc giữa hai đường = 90°
AB và B′C′
AB và B′C′ chéo nhau (không cùng mặt phẳng). B′C′ ∥ BC nên dời B′C′ xuống thành BC, cắt AB tại B. Góc ABC = 90° (góc của hình vuông) ⇒ AB ⊥ B′C′ dù hai đường không cắt nhau.
1 📐 Góc giữa hai đường thẳng
Cần nhớ
- ✦Định nghĩa: góc giữa a và b bằng góc giữa a′ và b′, trong đó a′ ∥ a, b′ ∥ b và a′, b′ cắt nhau tại một điểm O tuỳ ý.
- ✦Kết quả không đổi khi đổi điểm O, nên cứ chọn O là đỉnh có sẵn của hình. Ví dụ: O = B khi xét AB và B′C′.
- ✦Góc giữa hai đường thẳng thuộc [0°; 90°]. Hai đường cắt nhau tạo ra góc nhọn và góc tù bù nhau; lấy góc không tù.
- ✦Hai đường song song hoặc trùng nhau có góc 0°. Hai đường vuông góc có góc 90°.
Hình phẳng và hình không gian: khác nhau ở đâu
| Trong mặt phẳng | Trong không gian | |
|---|---|---|
| Vuông góc có cắt nhau không? | Có, luôn cắt nhau | Không bắt buộc: chéo nhau vẫn vuông góc |
| Qua điểm M, số đường ⊥ đường d | Đúng một | Vô số (nằm trong một mặt phẳng) |
| a ⊥ c và b ⊥ c thì a ∥ b? | Đúng | Sai: a, b có thể cắt hoặc chéo nhau |
Dạng bài
Tính góc giữa hai đường chéo nhau
- 1 Nhận ra hai đường chéo nhau (không có điểm chung, không đồng phẳng) nên không đo trực tiếp được.
- 2 Tìm trong hình một đường song song với đường thứ nhất mà cắt đường thứ hai (dời song song).
- 3 Nói góc giữa hai đường ban đầu bằng góc của hai đường cắt nhau vừa có, gọi tên góc bằng ba chữ cái.
- 4 Tính góc đó bằng tam giác biết cạnh hoặc góc; nếu ra góc tù thì lấy 180° trừ đi.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy "AB và B′C′ không có điểm chung" rồi kết luận "không vuông góc" là sai. Góc giữa hai đường chéo nhau vẫn đo được qua đường dời, và ở đây bằng 90°.
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B′C′.
Hướng dẫn giải
2 ↗️ Chọn đường để dời cho khéo
Cần nhớ
- ✦Chỉ cần dời một đường (không cần dời cả hai). Chọn đường nào để dời sao cho ra tam giác đã biết ba cạnh hoặc có góc đặc biệt.
- ✦Trong hình hộp, hai cạnh đối song song và bằng nhau nên dời bằng hình bình hành. Ví dụ: ABC′D′ là hình bình hành ⇒ BC′ ∥ AD′.
- ✦Đường chéo mặt của hình lập phương cạnh a dài a√2. Tam giác có ba cạnh đều là đường chéo mặt là tam giác đều: góc 60°.
- ✦Dời xong mà đo ra góc tù (ví dụ 135°) thì góc giữa hai đường là 180° − 135° = 45°.
Dạng bài
Dời về tam giác đều hoặc vuông cân
- 1 Gọi tên cạnh lập phương là a, tính độ dài các đoạn xuất hiện (cạnh a, đường chéo mặt a√2).
- 2 Dời một đường để có hai đường cắt nhau tại một đỉnh, nối hai đầu còn lại thành tam giác.
- 3 So ba cạnh: ba cạnh bằng nhau ⇒ góc 60°; hai cạnh bằng nhau và góc vuông ⇒ góc 45°.
⚠️ Bẫy hay gặp: Hai đường chéo mặt của hai mặt kề nhau không vuông góc với nhau. Nhầm là 90° vì thấy hai mặt vuông góc; thực tế là 60° (a√2 ba lần).
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa AB′ và BC′.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Khi hai đường đều là đường chéo
- 1 Đường chéo của hai mặt đối nhau hoặc của hai mặt đáy thường song song với đường chéo của đáy.
- 2 Dời về đường chéo của đáy rồi dùng tính chất hai đường chéo hình vuông vuông góc nhau.
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa AC và B′D′.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Khi góc đo được là góc tù
- 1 Dời song song và đọc góc của hai tia xuất phát từ cùng một điểm.
- 2 Nếu góc đó lớn hơn 90° thì lấy bù: 180° trừ đi góc vừa đo.
- 3 Kiểm bằng cách chọn tia khác của cùng đường thẳng: góc nhọn và góc tù luôn bù nhau.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đọc ra 135° rồi ghi "góc giữa AC và A′B′ bằng 135°" là sai: góc giữa hai đường thẳng không bao giờ vượt quá 90°, đáp số đúng là 45°.
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa AC và A′B′.
Hướng dẫn giải
3 ⊥ Hai đường thẳng vuông góc
Cần nhớ
- ✦a ⊥ b ⇔ góc giữa a và b bằng 90°. Không cần a, b cắt nhau.
- ✦Nếu a ∥ b và c ⊥ a thì c ⊥ b. Dùng để "chuyển" tính vuông góc từ đường này sang đường song song với nó.
- ✦Không có: a ⊥ c và b ⊥ c ⇒ a ∥ b. Ví dụ: AB và AD cùng vuông góc AA′ (hình lập phương) nhưng cắt nhau tại A; AB và B′C′ cùng vuông góc BB′ nhưng chéo nhau.
- ✦Chứng minh vuông góc: dời về hai đường cắt nhau rồi chứng minh góc vuông, hoặc dùng hệ quả bắc cầu ở trên.
Dạng bài
Chứng minh hai đường vuông góc
- 1 Chọn một đường để dời, tạo hai đường cắt nhau tại một điểm (thường bằng đường trung bình).
- 2 Tính độ dài ba cạnh của tam giác tạo ra, chú ý các trung tuyến của tam giác đều.
- 3 Dùng định lí Pi-ta-go đảo để kết luận tam giác vuông, từ đó suy ra góc giữa hai đường là 90°.
⚠️ Bẫy hay gặp: Hai cạnh kề của tứ diện đều như AB và AC tạo góc 60° (tam giác đều ABC), không phải 90°. Chỉ các cặp cạnh đối (AB–CD, AC–BD, AD–BC) mới vuông góc. Cách ngắn hơn bằng "CD ⊥ (ABM)" với M là trung điểm CD sẽ học ở bài 23, đây là hình mà nút "Tứ diện đều" trên hình đang vẽ.
Tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh AB ⊥ CD.
Hướng dẫn giải
4 🧊 Các cặp thường gặp trong hình lập phương
Cạnh a, tính góc nhanh
| Cặp đường | Dời thành | Góc |
|---|---|---|
| AB và B′C′ | AB và BC | 90° |
| AB′ và BC′ | AB′ và AD′ | 60° |
| AC và B′D′ | AC và BD | 90° |
| AC và A′B′ | AC và AB | 45° |
| AC và A′C′ | song song | 0° |
| AB′ và CD′ | AB′ và A′B | 90° |
Cần nhớ
- ✦Mỗi cạnh của hình lập phương vuông góc với 8 cạnh khác (4 cạnh cắt và 4 cạnh chéo nhau), song song với 3 cạnh. Kiểm: 1 + 3 + 8 = 12.
- ✦Hai cạnh không song song của hình lập phương luôn vuông góc. Có 66 cặp cạnh, trừ 18 cặp song song còn 48 cặp vuông góc.
- ✦Hai đường chéo của cùng một mặt vuông góc nhau; hai đường chéo của hai mặt kề tạo góc 60°; đường chéo mặt và cạnh nằm trong cùng mặt ấy tạo góc 45°.
AB và B′C′: dời B′C′ thành BC, được góc ABC = 90°. Hai đường không gặp nhau mà vẫn vuông góc.
AB′ và BC′ là hai đường chéo của hai mặt vuông góc nhau, nhưng góc giữa chúng là 60° (tam giác AB′D′ đều).
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật: cạnh nào cũng vuông góc với mọi cạnh không cùng phương với nó. Chỉ cần đếm xem hai cạnh có cùng phương không.
- ✦Đề cho hai đường chéo mặt: cùng một mặt thì vuông góc; hai mặt kề thì 60°; hai mặt đối diện thì song song (0°) hoặc vuông góc (90°). Đường chéo mặt với cạnh của mặt ấy: 45°.
- ✦Thấy tam giác có ba cạnh đều là đường chéo mặt thì nghĩ ngay tam giác đều, góc 60°.
- ✦Dời xong mà ra góc tù thì lấy 180° − góc; không bao giờ để đáp số lớn hơn 90°.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Cho rằng "vuông góc thì phải cắt nhau". Phản ví dụ: AB và B′C′ trong hình lập phương chéo nhau mà vuông góc.
- ✦Cho rằng a ⊥ c, b ⊥ c thì a ∥ b. Phản ví dụ: AB và AD cùng vuông góc AA′ nhưng cắt nhau tại A.
- ✦Ghi đáp số 135° (hoặc 120°) cho góc giữa hai đường thẳng. Đáp số đúng phải thuộc [0°; 90°], ví dụ 45° thay vì 135°.
- ✦Nhầm hai đường chéo của hai mặt kề (60°) với hai đường vuông góc. Ví dụ: AB′ và BC′ tạo góc 60°, không phải 90°.
- ✦Nhầm cặp cạnh kề của tứ diện đều (60°) với cặp cạnh đối (90°): AB và AC tạo góc 60°, còn AB và CD tạo góc 90°.
- ✦Dời song song mà không nói rõ đường nào song song với đường nào, hoặc chọn hai đường dời không cắt nhau.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Đổi giá trị cos ra góc: chế độ tính toán thường, để máy ở đơn vị độ, dùng hàm cos⁻¹. Ví dụ cos⁻¹(13) ≈ 70,5°.
- ✦Kiểm Pi-ta-go đảo: nhập tổng bình phương hai cạnh và bình phương cạnh dài nhất rồi so sánh.
- ✦Chứng minh vuông góc và gọi tên đường dời là phần lập luận; máy chỉ giúp thử lại số.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Góc giữa hai đường thẳng
- 1Nhận biết
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian luôn thuộc đoạn
- 2Nhận biết
Góc giữa hai đường thẳng song song bằng
- 3Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AA′ và BC bằng
- 4Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AB và C′D′ bằng
- 5Thông hiểu Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa BD và A′B′ bằng độ.
Dời song song để tính góc
- 1Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AB′ và CD′ bằng
- 2Thông hiểu Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AC và A′C′ bằng độ.
- 3Vận dụng
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AC và DC′ bằng
- 4Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. M, N là trung điểm AB, AD. Góc giữa MN và A′C′ bằng
Hai đường vuông góc
- 1Nhận biết
Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi
- 2Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?
- 3Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với AB?
- 4Thông hiểu Trong 12 cạnh của hình lập phương, số cạnh vuông góc với cạnh AB là .
- 5Thông hiểu
Tứ diện đều ABCD. Cạnh nào vuông góc với cạnh AB?
- 6Vận dụng Tứ diện đều ABCD cạnh 2. Độ dài đoạn nối trung điểm hai cạnh đối AD và BC bằng (làm tròn đến hàng phần trăm).
Tổng hợp
- 1Vận dụng
Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 3, AD = 4. Côsin của góc giữa AC và A′B′ bằng
- 2Vận dụng
Tứ diện đều ABCD. M, N là trung điểm BC, CD. Góc giữa AB và MN bằng
- 3Vận dụng Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Hai đường chéo AC′ và BD′ cắt nhau tại tâm O. Góc giữa AC′ và BD′ làm tròn đến độ bằng độ.
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa AC và A′D bằng
- 2Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây SAI?
- 3Vận dụng
Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 1, AD = √3. Góc giữa AC và B′C′ bằng
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.
a)Góc giữa AB và A′D′ bằng 90°.
b)AB và CC′ không có điểm chung nên chúng không vuông góc.
c)Góc giữa AC và B′D′ bằng 45°.
d)Góc giữa AB′ và BC′ bằng 60°.
- 2Vận dụng
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AC, AD và P là trung điểm BC.
a)MN ∥ CD.
b)MP = MN = 1.
c)NP = 1.
d)Góc giữa AB và CD bằng 60°.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 3, AD = 4. Gọi α là góc giữa AC và A′B′. Tính 10·cos α. Đáp số:
- 2Thông hiểu Tứ diện đều ABCD có bao nhiêu cặp cạnh vuông góc với nhau? Đáp số:
- 3Vận dụng Hình lập phương có bao nhiêu cặp cạnh vuông góc với nhau (mỗi cặp tính một lần)? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài này là nền cho bài 23 (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng), góc giữa đường và mặt, góc nhị diện và khoảng cách. Lên lớp 12, góc giữa hai đường thẳng trong toạ độ Oxyz được tính qua côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương, lấy giá trị tuyệt đối vì góc giữa hai đường không vượt quá 90°.
- •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu tính góc giữa hai đường chéo nhau trong hình lập phương, hình hộp chữ nhật hoặc tứ diện đều, và câu chứng minh hai đường vuông góc bằng cách dời song song.
- •Ý dễ mất điểm: ghi góc tù (135°, 120°) thay vì góc nhọn bù, nhầm 60° với 90° khi hai đường chéo mặt kề nhau, hoặc cho rằng hai đường vuông góc thì phải cắt nhau.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng