Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chứng minh d ⊥ (P) bằng điều kiện vuông góc với hai đường CẮT NHAU trong (P), thu hoạch hàng loạt góc vuông d ⊥ a, và dùng định lí ba đường vuông góc khi gặp đường xiên.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 23
⚡ Nhớ nhanh
- 1d ⊥ (P) nghĩa là d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). Đây là định nghĩa, không dùng để chứng minh vì không kiểm hết mọi đường.
- 2Điều kiện đủ: d ⊥ a, d ⊥ b, a và b cắt nhau, a, b ⊂ (P) ⇒ d ⊥ (P). Hai đường song song thì không đủ.
- 3Chiều ngược lại là "mỏ vàng": đã có d ⊥ (P) thì d ⊥ a với mọi a ⊂ (P). Chứng minh đường ⊥ mặt xong, hãy thu góc vuông.
- 4Hình chóp có SA ⊥ đáy thì SA vuông góc mọi đường của đáy. Mẫu chuẩn: đáy hình vuông ⇒ BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC).
- 5Liên hệ với song song: a ∥ b, a ⊥ (P) ⇒ b ⊥ (P); hai đường cùng ⊥ một mặt phẳng thì song song, còn cùng ⊥ một đường thẳng thì chưa kết luận được gì.
👀 Nhìn là hiểu
Bật từng cặp vuông góc trên hình chóp (BC ⊥ AB, BC ⊥ SA, ...) và quan sát: chỉ khi có đủ hai đường CẮT NHAU trong mặt phẳng thì mới hiện kết luận, ví dụ BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC), AH ⊥ (SBC). Thử nút "Bẫy: ⊥ hai đường song song" để thấy vì sao chưa đủ.
Kéo trên hình để xoay.
d = BC, mặt phẳng (SAB) tô tím
Bật đủ hai cặp vuông góc.
1 📌 Điều kiện để d ⊥ (P): hai đường cắt nhau
Cần nhớ
- ✦Định nghĩa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a với mọi a ⊂ (P).
- ✦Điều kiện đủ: d ⊥ a, d ⊥ b, a và b cắt nhau, cùng nằm trong (P) ⇒ d ⊥ (P). Chỉ cần kiểm hai đường, nhưng hai đường ấy phải cắt nhau.
- ✦Giả thiết vàng của hình chóp: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA vuông góc mọi đường của đáy (AB, BC, CD, DA, AC, BD…), kể cả những đường không đi qua A.
- ✦Vì sao hai đường cắt nhau mới đủ: hai phương cắt nhau đã sinh ra cả mặt phẳng. Hai đường song song chỉ cho một phương, nên cột nghiêng vẫn vuông góc với cả chùm vạch kẻ song song trên sàn mà không vuông góc với sàn.
Giống nhau mà khác hẳn: mặt phẳng hay đường thẳng
| Giả thiết | Kết luận | Vì sao |
|---|---|---|
| a ⊥ (P), b ⊥ (P) | a ∥ b (hoặc trùng) | Chỉ có một phương vuông góc với một mặt phẳng |
| a ⊥ c, b ⊥ c (c là đường thẳng) | Chưa kết luận được | Có cả một mặt phẳng đường vuông góc với c |
| (P) ⊥ d, (Q) ⊥ d | (P) ∥ (Q) | Đối ngẫu với dòng đầu |
Dạng bài
Chứng minh d ⊥ (P)
- 1 Tìm đường thứ nhất a ⊂ (P) mà d ⊥ a (từ hình vuông, tam giác vuông, hình thoi…).
- 2 Tìm đường thứ hai b ⊂ (P) mà d ⊥ b (thường từ SA ⊥ đáy).
- 3 Kiểm điều kiện then chốt: a và b cắt nhau (nêu giao điểm) và cùng nằm trong (P).
- 4 Kết luận d ⊥ (P), rồi thử lại bằng số đo hoặc bằng một đường khác của (P).
⚠️ Bẫy hay gặp: Thiếu bước nêu AB và SA cắt nhau. Nếu hai đường dùng để chứng minh song song nhau thì chưa kết luận được: AD ⊥ AB và AD ⊥ CD (AB ∥ CD) nhưng AD nằm ngay trong (ABCD), không thể vuông góc với nó.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh BC ⊥ (SAB).
Hướng dẫn giải
2 ⛏️ Đường ⊥ mặt sinh ra đường ⊥ đường
Cần nhớ
- ✦d ⊥ (P), a ⊂ (P) ⇒ d ⊥ a. Chứng minh xong đường ⊥ mặt là có ngay vô số góc vuông, không cần chứng minh lại từng cái.
- ✦Nhịp làm bài của cả chương: muốn có đường ⊥ đường thì đi qua đường ⊥ mặt.
- ✦Hai đường vuông góc không nhất thiết cắt nhau: SA ⊥ BC dù SA và BC chéo nhau.
- ✦Đáy hình vuông hoặc hình thoi: hai đường chéo vuông góc, nên BD ⊥ AC; kết hợp BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC).
Dạng bài
Thu hoạch góc vuông từ d ⊥ (P)
- 1 Chứng minh d ⊥ (P) bằng hai đường cắt nhau.
- 2 Chọn đường cần chứng minh vuông góc với d: nó phải nằm trong (P).
- 3 Kết luận d ⊥ đường đó, nêu căn cứ "d ⊥ (P) và đường ⊂ (P)".
- 4 Thử lại bằng số đo hoặc bằng định lí Pi-ta-go.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chứng minh BD ⊥ SC mà tìm trực tiếp "BD vuông góc SC vì …" thì khó. Đường chéo nhau thì đi vòng: tìm mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD. Còn nếu đáy là hình chữ nhật không vuông (AB = 2, AD = 4) thì BD không vuông AC, nên BD ⊥ (SAC) sai.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi O = AC ∩ BD. Chứng minh BD ⊥ (SAC), từ đó suy ra BD ⊥ SC.
Hướng dẫn giải
3 🔗 Chuỗi hai bước: AH ⊥ (SBC)
Cần nhớ (S.ABC, SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B)
- ✦BC ⊥ AB (giả thiết) và BC ⊥ SA (SA ⊥ đáy) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB và BC ⊥ AH.
- ✦Gọi H là hình chiếu của A trên SB thì AH ⊥ SB (theo cách dựng).
- ✦AH ⊥ SB, AH ⊥ BC, SB và BC cắt nhau tại B, cùng nằm trong (SBC) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.
- ✦Cả 4 mặt của S.ABC đều là tam giác vuông: ABC (tại B), SAB, SAC (tại A), SBC (tại B).
Dạng bài
Muốn AH ⊥ BC thì không tìm trực tiếp
- 1 Tìm mặt phẳng chứa AH mà BC vuông góc với nó (ở đây là (SAB)).
- 2 Chứng minh BC ⊥ mặt phẳng đó bằng hai đường cắt nhau (AB và SA).
- 3 Suy ra BC ⊥ AH, rồi ghép với AH ⊥ SB (hai đường cắt nhau tại B).
- 4 Kết luận AH ⊥ (SBC) và thử lại bằng số đo.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng viết "AH ⊥ BC vì H thuộc SB" hay "AH ⊥ BC vì cách dựng". Góc vuông AH ⊥ BC phải đi qua BC ⊥ (SAB). Nếu bỏ bước này, bài mất gần hết điểm.
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh AH ⊥ (SBC); tính AH khi SA = 3, AB = 4.
Hướng dẫn giải
4 🧭 Liên hệ với song song và ba đường vuông góc
Cần nhớ
- ✦a ∥ b, a ⊥ (P) ⇒ b ⊥ (P); ngược lại a ⊥ (P), b ⊥ (P) ⇒ a ∥ b (hoặc trùng).
- ✦(P) ∥ (Q), d ⊥ (P) ⇒ d ⊥ (Q); và (P) ⊥ d, (Q) ⊥ d ⇒ (P) ∥ (Q) (hoặc trùng).
- ✦Hình chiếu của điểm M trên (P) là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (P); hình chiếu của một đường là tập hình chiếu của mọi điểm của nó. Ví dụ: hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC (SA ⊥ (ABCD)).
- ✦Định lí ba đường vuông góc: a ⊂ (P), b ⊄ (P), b không vuông góc (P), b′ là hình chiếu của b trên (P) thì a ⊥ b ⇔ a ⊥ b′.
Dạng bài
Dùng định lí ba đường vuông góc
- 1 Xác định mặt phẳng (P) chứa đường a, và hình chiếu b′ của đường xiên b trên (P).
- 2 Kiểm a ⊥ b′ (thường từ hình vuông, tam giác vuông, hình thoi).
- 3 Suy ra a ⊥ b, nêu rõ "theo định lí ba đường vuông góc".
- 4 Thử lại bằng Pi-ta-go trên số đo.
⚠️ Bẫy hay gặp: Ba đường vuông góc chỉ dùng khi a nằm trong (P) và b′ là hình chiếu trên chính (P) đó. Chọn nhầm mặt phẳng chiếu là sai: BC ⊥ SB đúng, nhưng BC không vuông góc với SC (SC cắt BC với góc nhọn).
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh BC ⊥ SB, rồi tính SC khi SA = 3, AB = 4, BC = 12.
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Đề cho SA ⊥ đáy thì ghi ngay: SA ⊥ mọi đường của đáy. Ghép với một góc vuông trong đáy tại A hoặc cắt SA là xong đường ⊥ mặt.
- ✦Đáy hình vuông hoặc hình thoi: BD ⊥ (SAC). Đáy hình chữ nhật không vuông: BD không vuông AC nên đáp án có "BD ⊥ (SAC)" là bẫy.
- ✦Loại nhanh đáp án "d ⊥ (P)" nếu hai đường dùng để chứng minh song song nhau hoặc không cùng nằm trong (P).
- ✦Cả 4 mặt của S.ABC (SA ⊥ (ABC), ABC vuông tại B) đều là tam giác vuông. Nhớ sẵn, đỡ phải chứng minh lại.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Chỉ kiểm hai đường mà quên điều kiện cắt nhau. Phản ví dụ: d vuông góc với AB và CD (AB ∥ CD) mà d không vuông góc đáy.
- ✦Chứng minh d vuông góc một đường của (P) rồi kết luận d ⊥ (P). Còn xa mới đủ, qua mỗi đường có vô số mặt phẳng.
- ✦Nhầm "a ⊥ c, b ⊥ c ⇒ a ∥ b" cho đường thẳng c. Chỉ đúng khi c là mặt phẳng: a ⊥ (P), b ⊥ (P) ⇒ a ∥ b.
- ✦Cho rằng SA ⊥ (ABCD) thì SA ⊥ SB hay SA ⊥ SD. SB, SD không nằm trong đáy; tam giác SAB vuông tại A nên góc ở S nhọn.
- ✦Chứng minh xong d ⊥ (P) rồi dừng, trong khi đề hỏi một góc vuông d ⊥ a. Hãy nối: d ⊥ (P), a ⊂ (P) ⇒ d ⊥ a.
- ✦Muốn AH ⊥ BC mà đi tìm trực tiếp. Nhớ nhịp: BC ⊥ (SAB) ⊃ AH ⇒ BC ⊥ AH.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ tính toán thường (COMP): dùng Pi-ta-go thử lại SB, SC, AH. Ví dụ SC² = SB² + BC² và SC² = SA² + AC² phải ra cùng một số.
- ✦Dạng phân số giúp đọc đúng AH = 125 = 2,4 (AH·SB = SA·AB).
- ✦Máy không chứng minh được vuông góc, chỉ kiểm số đo. Phần lập luận vẫn phải nêu đủ hai đường cắt nhau.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Định nghĩa và đường ⊥ mặt
- 1Nhận biết
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d vuông góc với
- 2Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định sai là
- 3Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Trong 8 cạnh của hình chóp, có cạnh vuông góc với SA.
- 4Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, SA ⊥ (ABCD), SA = 1. Khi đó SC = .
Chứng minh d ⊥ (P)
- 1Nhận biết
Để chứng minh d ⊥ (P), cần chỉ ra d vuông góc với
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng
- 3Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng
- 4Thông hiểu
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng
- 5Vận dụng
Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) nằm trong (P). Đường thẳng d vuông góc với AB và vuông góc với CD. Khẳng định đúng là
- 6Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật (AB ≠ AD), SA ⊥ (ABCD). Mệnh đề sai là
Thu hoạch góc vuông
- 1Nhận biết
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Biết BC ⊥ (SAB), khẳng định đúng là BC vuông góc với
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Đường thẳng vuông góc với BD là
- 3Thông hiểu Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Số mặt của hình chóp là tam giác vuông bằng .
- 4Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Trong các cạnh của hình chóp, có cạnh vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Chuỗi hai bước và AH ⊥ (SBC)
- 1Vận dụng Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = 3, AB = 4. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Khi đó AH = .
- 2Vận dụng
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. H là hình chiếu của A trên SB. Khẳng định đúng là
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Muốn chứng minh AH ⊥ BC (H ∈ SB), cách làm hợp lí nhất là
Song song và ba đường vuông góc
- 1Nhận biết
Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì a và b
- 2Thông hiểu
Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với một đường thẳng c thì
- 3Thông hiểu
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Đường thẳng d vuông góc với (P). Khi đó
- 4Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mệnh đề sai là
- 2Vận dụng
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Mệnh đề sai là
- 3Vận dụng
Cho đường thẳng a ⊥ (P), đường thẳng b ∥ a và đường thẳng c nằm trong (P). Khẳng định đúng là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2. Gọi O = AC ∩ BD.
a)SA ⊥ CD.
b)BC ⊥ (SAC).
c)BD ⊥ SC.
d)Tam giác SBD vuông tại S.
- 2Vận dụng
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = 3, AB = 4, BC = 12. Gọi H là hình chiếu của A trên SB.
a)BC ⊥ (SAB).
b)AH ⊥ AC.
c)SB = 5.
d)Diện tích tam giác SBC bằng 60.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4 và SA ⊥ (ABCD), SA = 12. Tính SC. Đáp số:
- 2Vận dụng Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = 6, AB = 8. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính AH. Đáp số:
- 3Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật (không phải hình vuông) và SA ⊥ (ABCD). Từ 5 đỉnh S, A, B, C, D chọn 3 đỉnh làm tam giác, có bao nhiêu tam giác vuông? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu chứng minh d ⊥ (P) hoặc chứng minh hai đường vuông góc trong hình chóp có SA ⊥ đáy. Điểm hay mất nhất là quên nêu hai đường cắt nhau.
- •Trắc nghiệm hay hỏi "mệnh đề nào đúng/sai" về BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC), AH ⊥ (SBC); thường có sẵn đáp án gài với đáy hình chữ nhật (BD không vuông AC) hoặc dùng hai đường song song.
- •Chủ đề là nền cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện và khoảng cách ở các bài sau của lớp 11 (đều bắt đầu bằng việc tìm đường vuông góc với mặt), và có thể gặp lại ở lớp 12 dưới dạng vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến.
Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng