Phép chiếu song song
Hiểu phép chiếu song song, phân biệt cái được giữ (thẳng hàng, song song, tỉ số cùng phương, trung điểm) với cái bị mất (độ dài, góc), và dùng đó để giải thích vì sao hình vuông vẽ thành hình bình hành.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 14
⚡ Nhớ nhanh
- 1Phép chiếu song song theo phương Δ lên mặt phẳng (P): qua mỗi điểm M kẻ đường thẳng song song với Δ, cắt (P) tại M′ gọi là ảnh của M.
- 2Phương chiếu Δ không song song và không nằm trong (P), nếu không các tia chiếu không chạm được mặt phẳng.
- 3Được giữ: thẳng hàng, thứ tự các điểm, tính song song và tỉ số hai đoạn cùng phương. Hệ quả: trung điểm vẫn là trung điểm.
- 4Bị mất: độ dài, số đo góc, và tỉ số hai đoạn khác phương. Vì thế hình vuông vẽ thành hình bình hành, tam giác đều thành tam giác thường.
- 5Quy ước vẽ hình biểu diễn: cạnh khuất vẽ nét đứt; hình bình hành vẫn là hình bình hành, hình thang vẫn là hình thang.
- 6Mẹo nhớ: nói được bằng "tỉ số cùng phương" thì giữ; nói bằng "góc" hoặc "độ dài" thì mất.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo hai thanh trượt để đổi phương chiếu: bóng của hình vuông đổi dạng, nhưng M′ vẫn là trung điểm của A′B′ và các cạnh đối vẫn song song. Thử bấm mẫu tam giác đều (G′ vẫn là trọng tâm) và hình thang, rồi gặp cái bẫy khi phương chiếu song song một cạnh thì cạnh đó co thành một điểm.
Kéo trên hình để xoay.
Giữ nguyên: cặp cạnh đối vẫn song song ⇒ ảnh là hình bình hành; A′M′/M′B′ = 1 ⇒ M′ vẫn là trung điểm.
Không giữ: góc tại A′ ≈ 65° (hình vuông có góc 90°); A′B′ ≈ 0,84·AB.
Kéo hai thanh trượt: số đo góc và độ dài đổi liên tục, còn các tỉ số xanh lá thì không.
1 🔦 Phép chiếu song song là gì
Cần nhớ
- ✦Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng Δ cắt (P). Ảnh của M là giao điểm của (P) với đường thẳng qua M song song với Δ. Ví dụ: Δ vuông góc (P) thì ảnh M′ là hình chiếu quen thuộc "rơi thẳng xuống".
- ✦Điểm M thuộc (P) thì M′ = M (đường qua M song song Δ cắt (P) ngay tại M).
- ✦Ảnh của một đường thẳng a (không song song Δ) là một đường thẳng a′. Ví dụ: ba điểm A, B, C thẳng hàng thì A′, B′, C′ thẳng hàng.
- ✦Ảnh của một hình là tập các ảnh của mọi điểm thuộc hình đó.
Dạng bài
Tìm ảnh của một đoạn thẳng
- 1 Kiểm tra phương chiếu Δ: không song song (P), không song song đoạn đang chiếu.
- 2 Qua hai đầu mút A, B kẻ hai đường song song với Δ, cắt (P) tại A′, B′.
- 3 Nối A′B′ được ảnh của đoạn AB.
- 4 Thử lại: điểm M nằm giữa A, B thì M′ phải nằm giữa A′, B′.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn Δ nằm song song (P) là sai: các tia chiếu không bao giờ chạm (P), không có ảnh nào. Phương chiếu phải cắt (P).
Đoạn AB cắt (P) tại điểm A (A ∈ (P)). Chiếu AB lên (P) theo phương Δ. Ảnh của A và của trung điểm M của AB là gì?
Hướng dẫn giải
2 ⚖️ Giữ gì, mất gì
Bảng tính chất (phương chiếu không song song đoạn đang xét)
| Tính chất | Giữ? | Ví dụ |
|---|---|---|
| Thẳng hàng, thứ tự các điểm | Giữ | A, B, C thẳng hàng ⇒ A′, B′, C′ thẳng hàng |
| Song song | Giữ | AB ∥ CD ⇒ A′B′ ∥ C′D′ (hoặc trùng) |
| Tỉ số hai đoạn cùng phương | Giữ | AM/MB = 23 ⇒ A′M′/M′B′ = 23 |
| Trung điểm | Giữ | M trung điểm AB ⇒ M′ trung điểm A′B′ |
| Độ dài | Mất | AB = 5 mà A′B′ có thể bằng 3 hoặc 7 |
| Số đo góc | Mất | Góc vuông có thể thành góc 60° |
| Tỉ số hai đoạn khác phương | Mất | Cạnh và đường cao của tam giác |
Dạng bài
Tính độ dài ảnh bằng tỉ số cùng phương
- 1 Xác định hai đoạn có cùng phương (cùng nằm trên một đường, hoặc trên hai đường song song).
- 2 Viết tỉ số của chúng trên hình thật. Tỉ số này không đổi trên hình ảnh.
- 3 Thay độ dài ảnh đã biết, giải ra độ dài cần tìm.
- 4 Thử lại: tỉ số trên hình ảnh bằng tỉ số trên hình thật ✓.
⚠️ Bẫy hay gặp: Hay lấy nhầm AM/MB (phần với phần) thành AM/AB (phần với toàn thể). AM/MB = 23 mà A′B′ = 10 thì A′M′ = 4, không phải 10 · 23 ≈ 6,7.
Ba điểm A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó, AM/MB = 23. Ảnh có A′B′ = 10. Tính A′M′.
Hướng dẫn giải
Trung điểm, trọng tâm, đoạn gấp đôi đoạn kia (cùng phương), hai cạnh song song bằng nhau.
Vuông góc, đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp, tam giác đều, hai cạnh kề bằng nhau.
3 🎯 Trung điểm và trọng tâm qua phép chiếu
Cần nhớ
- ✦Hình bình hành ABCD có tâm I = AC ∩ BD (trung điểm cả hai đường chéo) ⇒ ảnh I′ là trung điểm A′C′ và B′D′, nên A′B′C′D′ cũng là hình bình hành tâm I′.
- ✦Trọng tâm G của tam giác ABC chia trung tuyến AM theo tỉ số AG/GM = 2. Hai đoạn này cùng phương nên A′G′/G′M′ = 2 ⇒ G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′.
- ✦Trọng tâm sống sót vì định nghĩa được bằng tỉ số; tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm (định nghĩa bằng vuông góc) thì mất.
Dạng bài
Chứng minh một tính chất còn đúng ở hình ảnh
- 1 Diễn đạt tính chất cần chứng minh bằng trung điểm, song song hoặc tỉ số cùng phương.
- 2 Nêu các điểm thẳng hàng và các đoạn cùng phương liên quan.
- 3 Áp dụng: phép chiếu giữ những thứ đó, suy ra tính chất cho ảnh.
- 4 Thử lại bằng một tính chất mất (góc, độ dài) để chắc không đòi giữ nhầm ✓.
⚠️ Bẫy hay gặp: M là chân đường cao thì không có nghĩa M′ là chân đường cao của ảnh: vuông góc thuộc loại "góc", đã mất.
Hình vuông ABCD, M là trung điểm AB. Hình biểu diễn là hình bình hành A′B′C′D′. Chứng minh M′ là trung điểm A′B′.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tam giác đều: trọng tâm còn, tính đều mất
- 1 Gọi M là trung điểm BC; G ∈ AM với AG/GM = 2.
- 2 Phép chiếu giữ trung điểm: M′ là trung điểm B′C′, nên A′M′ là trung tuyến.
- 3 Giữ tỉ số cùng phương: A′G′/G′M′ = 2 ⇒ G′ chia trung tuyến theo tỉ số 2 : 1.
- 4 Kết luận G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′; thử lại: tam giác A′B′C′ nói chung không đều ✓.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng nghĩ ảnh của tam giác đều là tam giác đều. Có thể A′B′ = 5, B′C′ = 7: tam giác thường, nhưng G′ vẫn là trọng tâm.
Tam giác ABC đều, G là trọng tâm, M là trung điểm BC. Ảnh có A′M′ = 12. Tính G′M′.
Hướng dẫn giải
4 ✏️ Vẽ hình biểu diễn
Hình thật → hình vẽ được
| Hình thật | Vẽ được thành | Vì sao |
|---|---|---|
| Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi | Hình bình hành bất kì | Góc và độ dài không giữ, song song giữ |
| Hình bình hành | Vẫn phải là hình bình hành | Hai cặp cạnh đối vẫn song song |
| Hình thang (AB ∥ CD) | Hình thang, giữ tỉ số AB/CD | Một cặp song song và tỉ số cùng phương được giữ |
| Tam giác đều, cân, vuông | Tam giác bất kì | Không có gì buộc phải giữ về góc |
| Đường tròn | Elip (hoặc đường tròn) | Ảnh của đường tròn có dạng elip |
Dạng bài
Vẽ hình biểu diễn đúng quy ước
- 1 Giữ song song: cạnh nào song song ở hình thật phải song song ở hình vẽ.
- 2 Giữ tỉ số cùng phương: trung điểm vẫn ở giữa, đoạn gấp đôi vẫn gấp đôi.
- 3 Cạnh bị che khuất vẽ nét đứt, cạnh nhìn thấy vẽ nét liền.
- 4 Thử lại: kiểm từng cặp song song và từng trung điểm ✓.
⚠️ Bẫy hay gặp: Vẽ hình bình hành thành hình thang là sai: hình bình hành có hai cặp cạnh song song, hình thang chỉ có một. Hai cặp song song thì vẫn là hai cặp ở ảnh.
Hình thang ABCD có AB ∥ CD và AB = 2CD. Vẽ hình biểu diễn thế nào để đúng?
Hướng dẫn giải
Phương chiếu "cấm"
- ✦Phương chiếu song song một cạnh của hình thì cạnh đó co thành một điểm: ví dụ chiếu hình vuông ABCD theo phương AB thì A′ = B′ và C′ = D′, ảnh chỉ còn là một đoạn thẳng.
- ✦Khi vẽ hình biểu diễn luôn chọn phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu và tránh phương song song cạnh quan trọng của hình.
- ✦Mặt phẳng của hình chứa phương chiếu thì ảnh của cả hình là một đoạn thẳng, không còn "hình" nữa.
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Câu "tính chất nào không được bảo toàn": chọn phương án có chữ góc, độ dài, vuông góc, đều, bằng nhau (khác phương).
- ✦Câu hỏi ảnh của trung điểm, trọng tâm, tâm hình bình hành: chọn đáp án "vẫn là trung điểm / trọng tâm / tâm".
- ✦Câu tính độ dài ảnh: đưa về tỉ số cùng phương (AM/AB hoặc AM/MB) rồi nhân với độ dài ảnh đã cho.
- ✦Câu "ảnh của hình X có thể là": hình có hai cặp cạnh song song thì ảnh vẫn có hai cặp, loại đáp án hình thang.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Nghĩ hình biểu diễn của hình vuông phải là hình vuông. Đúng: là hình bình hành bất kì.
- ✦Cho rằng ảnh của hình bình hành có thể là hình thang. Phản ví dụ: hai cặp cạnh song song luôn giữ ⇒ vẫn là hình bình hành.
- ✦Cho rằng bảo toàn tỉ số của hai đoạn bất kì. Chỉ đúng với đoạn cùng phương: tỉ số cạnh và đường cao của tam giác đổi.
- ✦Coi ảnh của tam giác đều có tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm trùng trọng tâm. Chỉ trọng tâm còn.
- ✦Nhầm AM/MB = 23 với AM/AB = 23 khi tính độ dài ảnh.
- ✦Chọn phương chiếu song song một cạnh: cạnh đó co thành điểm, hình bị suy biến.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ tính toán thường: tính nhanh tỉ số cùng phương (ví dụ 25 · 10) để kiểm độ dài ảnh.
- ✦Dùng phân số (nhập dạng a/b) để giữ đúng tỉ số, đừng làm tròn sớm: 37 · 14 = 6 chính xác, còn 0,43 · 14 lệch.
- ✦Bài này gần như không cần máy: vẽ hình bằng thước rồi đo tỉ số cùng phương cũng là cách kiểm trực quan tốt.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Định nghĩa và tính chất giữ / mất
- 1Nhận biết
Phép chiếu song song không bảo toàn tính chất nào sau đây?
- 2Nhận biết
Phương chiếu Δ lên mặt phẳng (P) cần điều kiện nào?
- 3Thông hiểu
Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ảnh A′, B′, C′ của chúng qua phép chiếu song song (đường ABC không song song Δ) là
- 4Thông hiểu
Hai đường thẳng a ∥ b (không song song Δ). Ảnh của chúng là
- 5Thông hiểu
Biết AB = 5 và A′B′ là ảnh của AB qua một phép chiếu song song. Khẳng định nào sai?
Trung điểm và tỉ số cùng phương
- 1Thông hiểu M là trung điểm AB. Ảnh có A′B′ = 7. Khi đó A′M′ = .
- 2Thông hiểu
M thuộc đoạn AB với AM/MB = 13. Ảnh M′ thoả mãn A′M′/A′B′ bằng
- 3Thông hiểu
Hình bình hành ABCD có tâm I = AC ∩ BD. Ảnh I′ là
- 4Thông hiểu Hình bình hành ABCD có tâm I. Ảnh có A′C′ = 10 thì I′A′ = .
- 5Vận dụng Ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa và AB = 2BC. Ảnh có A′C′ = 12 thì A′B′ = .
- 6Vận dụng AB ∥ CD và AB = 3CD. Ảnh có C′D′ = 4 thì A′B′ = .
- 7Vận dụng
Tam giác ABC, G là trọng tâm, M là trung điểm BC. Ảnh có A′M′ = 9. Khi đó G′M′ bằng
Hình biểu diễn
- 1Nhận biết
Hình biểu diễn của một hình vuông có thể là
- 2Thông hiểu
Hình biểu diễn của một hình bình hành không thể là
- 3Thông hiểu
Hình thang ABCD (AB ∥ CD, AB = 2CD) có hình biểu diễn A′B′C′D′. Khẳng định đúng là
- 4Thông hiểu
Hình biểu diễn của tam giác đều ABC là tam giác A′B′C′, M là trung điểm BC. Khẳng định luôn đúng là
- 5Vận dụng
Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao (H ∈ BC). Trong hình biểu diễn, khẳng định luôn đúng là
Phương chiếu và trường hợp suy biến
- 1Nhận biết
Đoạn thẳng AB nằm trên một đường song song với phương chiếu Δ. Ảnh của AB là
- 2Vận dụng
Chiếu hình vuông ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương song song với cạnh AB (Δ cắt (P)). Ảnh của hình vuông là
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Ảnh qua phép chiếu song song là hình bình hành A′B′C′D′. Khẳng định đúng là
- 2Thông hiểu
Tam giác ABC, G là trọng tâm, M là trung điểm BC; ảnh là tam giác A′B′C′. Khẳng định đúng là
- 3Vận dụng
Hình thang ABCD có AB ∥ CD, AB = 8, CD = 5. Ảnh là hình thang A′B′C′D′. Tỉ số A′B′/C′D′ bằng
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Hình vuông ABCD có tâm I = AC ∩ BD; M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Hình biểu diễn của nó là hình bình hành A′B′C′D′ (các điểm I′, M′, N′ là ảnh).
a)I′ là trung điểm của A′C′.
b)Góc B′A′D′ luôn bằng 90°.
c)Nếu A′C′ = 10 thì M′N′ = 5.
d)M′N′ luôn vuông góc với B′D′.
- 2Vận dụng
Hình thang ABCD có AB ∥ CD và AB = 2CD, hai đường chéo cắt nhau tại I. Hình biểu diễn là hình thang A′B′C′D′ (I′ là ảnh của I).
a)A′B′ ∥ C′D′.
b)A′B′ = 2C′D′.
c)A′B′C′D′ luôn là hình bình hành.
d)I′ là trung điểm của A′C′.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu M thuộc đoạn AB với AM/MB = 34. Ảnh có A′B′ = 14. Tính A′M′. Đáp số:
- 2Vận dụng Tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Ảnh có A′M′ = 12. Tính G′M′. Đáp số:
- 3Vận dụng Hình thang ABCD có AB ∥ CD, AB = 3CD, hai đường chéo cắt nhau tại I. Ảnh có A′C′ = 20. Tính A′I′. Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Trên lớp, bài kiểm tra chương IV thường có câu lí thuyết "phép chiếu song song không bảo toàn tính chất nào" hoặc hỏi hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, tam giác đều là hình gì.
- •Hay có câu tính độ dài ảnh bằng tỉ số cùng phương (trung điểm, trọng tâm, AM/MB cho trước). Bẫy thường gặp là nhầm phần với phần, phần với toàn thể.
- •Chủ đề là nền để vẽ hình không gian đúng quy ước (nét liền, nét đứt) khi giải bài hình chóp, lăng trụ ở chương IV và chương VII của lớp 11, và hình học không gian toạ độ ở lớp 12.
Giới hạn của dãy số