Học liệu STEAM
Toán lớp 11
Chủ đề 13 · Học kỳ 1

Hai mặt phẳng song song

Chứng minh hai mặt phẳng song song bằng hai đường cắt nhau, dùng giao tuyến song song và định lí Thalès để dựng thiết diện song song với đáy, tính tỉ số và diện tích, nhận ra hình lăng trụ, hình hộp.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 13

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Điều kiện: (P) chứa hai đường cắt nhau cùng song song với (Q) ⇒ (P) ∥ (Q). Một đường chưa đủ, hai đường song song cũng chưa đủ.
  • 2(P) ∥ (Q) thì mọi đường của (P) đều song song với (Q), nhưng các đường của (P) và (Q) có thể chéo nhau chứ không nhất thiết song song.
  • 3Mặt phẳng thứ ba (R) cắt hai mặt phẳng song song thì hai giao tuyến song song. Đây là công cụ dựng thiết diện.
  • 4Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn tỉ lệ.
  • 5Mặt phẳng song song với đáy hình chóp cắt ra thiết diện đồng dạng với đáy tỉ số k = SM/SA, diện tích gấp k² lần đáy.
  • 6Hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song và bằng nhau; mặt bên là hình bình hành. Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo k = SM/SA để mặt cắt song song đáy chạy dọc hình chóp: thiết diện đồng dạng với đáy tỉ số k, diện tích gấp k² lần đáy. Bấm k = 1/2 thấy M, N, P là trung điểm và diện tích = 1/4 đáy; bấm lăng trụ để gặp cái bẫy: mặt cắt luôn bằng đáy, không thu nhỏ.

SABCDMNPQ

Kéo trên hình để xoay.

S(đáy) ≈ 10,08 · S(thiết diện) ≈ 2,52 · tỉ số ≈ 0,25 = k² = 0,25

Mặt cắt ∥ đáy cắt mỗi mặt bên theo giao tuyến ∥ cạnh đáy (định lí: một mặt cắt hai mặt song song thì hai giao tuyến song song).

M, N, P trung điểm SA, SB, SC ⇒ MN ∥ AB, NP ∥ BC: hai đường cắt nhau cùng ∥ đáy ⇒ (MNP) ∥ (ABCD). Thiết diện đồng dạng với đáy, cạnh = k·cạnh đáy, diện tích = k²·S(đáy) = 1/4 đáy.

1 🧱 Điều kiện hai mặt phẳng song song

Cần nhớ

  • ✦Định nghĩa: hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung.
  • ✦Điều kiện đủ: a, b ⊂ (P), a ∩ b ≠ ∅, a ∥ (Q), b ∥ (Q) ⇒ (P) ∥ (Q). Ví dụ: sàn nhà và trần nhà, trần chứa hai đường cắt nhau cùng song song với sàn.
  • ✦Hệ quả: (P) ∥ (Q) và a ⊂ (P) ⇒ a ∥ (Q). Ví dụ: mọi đường kẻ trên trần đều song song với sàn.
  • ✦Qua một điểm nằm ngoài (Q) có đúng một mặt phẳng song song với (Q).

Dạng bài

Chứng minh (P) ∥ (Q)

  1. 1 Chọn trong (P) hai đường a, b và chỉ ra chúng cắt nhau (nêu giao điểm).
  2. 2 Chứng minh a ∥ (Q): tìm đường a′ ⊂ (Q) với a ∥ a′ (thường là đường trung bình), và a ⊄ (Q).
  3. 3 Làm tương tự cho b.
  4. 4 Kết luận (P) ∥ (Q). Thử lại: hai đường a, b đã chọn có cắt nhau thật không, có song song với nhau không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn MN và một đường khác qua P cũng song song AB thì sai: hai đường này song song nhau, chỉ cho một phương, chưa khoá được mặt phẳng. Phải lấy MN và NP (hai phương AB, BC khác nhau).

🧱
Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. Chứng minh (MNP) ∥ (ABCD).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Một đường hay hai đường? So hai điều kiện cho khỏi lẫn

Muốn chứng minhCần tìmSố lượng
d ∥ (P)Một đường a ⊂ (P) mà d ∥ a (d ⊄ (P))Một đường
(P) ∥ (Q)Hai đường trong (P) cùng ∥ (Q)Hai đường, phải cắt nhau
Vì sao khác nhauMột đường chỉ cho một phươngHai phương cắt nhau mới khoá được cả mặt phẳng

2 🔪 Giao tuyến song song và thiết diện song song đáy

Cần nhớ

  • ✦Tính chất: (P) ∥ (Q), (R) ∩ (P) = a, (R) ∩ (Q) = b ⇒ a ∥ b. Ví dụ: mặt phẳng thẳng đứng cắt sàn và trần theo hai đường song song.
  • ✦Dựng thiết diện: biết một cạnh trong (P) thì suy ra ngay phương của cạnh đối diện trong (Q).
  • ✦Mặt phẳng song song với đáy hình chóp cắt SA, SB, SC, … tại M, N, P, … với cùng một tỉ số k = SM/SA = SN/SB = SP/SC, thiết diện đồng dạng với đáy tỉ số k.
  • ✦Diện tích thiết diện = k² · diện tích đáy. Ví dụ: k = 12 ⇒ 14 diện tích đáy; k = 13 ⇒ 19.
  • ✦Mặt phẳng song song với đáy hình lăng trụ cắt ra thiết diện bằng đáy (k = 1), không thu nhỏ.

Dạng bài

Thiết diện song song đáy của hình chóp

  1. 1 Gọi M là điểm cho trước trên cạnh bên; dựng qua M các đường song song với các cạnh đáy (giao tuyến song song).
  2. 2 Các đường ấy cắt các cạnh bên tại N, P, … Theo Thalès, SM/SA = SN/SB = SP/SC = k.
  3. 3 Mỗi cạnh thiết diện = k · cạnh tương ứng của đáy, các góc bằng nhau ⇒ đồng dạng tỉ số k.
  4. 4 Diện tích = k² · diện tích đáy. Thử lại bằng số: cạnh và chiều cao đều nhân k.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân diện tích với k thay vì k²: k = 12 cho 20 · 12 = 10 là sai. Diện tích là đại lượng hai chiều nên nhân k².

🔪
Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có diện tích 20. M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chứng minh MNPQ là hình bình hành đồng dạng với ABCD và tính diện tích MNPQ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!
🔺 Hình chóp

Mặt cắt song song đáy thu nhỏ dần về đỉnh: tỉ số k = SM/SA, diện tích k² · đáy. Ở k = 1 bằng đáy, ở k → 0 co về điểm S.

🧊 Hình lăng trụ

Mặt cắt song song đáy luôn bằng đáy ở mọi độ cao. Không có tỉ số thu nhỏ vì các cạnh bên song song nhau.

3 📐 Định lí Thalès trong không gian

Cần nhớ

  • ✦Ba mặt phẳng đôi một song song (P), (R), (Q) cắt hai cát tuyến a, b lần lượt tại A, B, C và A′, B′, C′ thì AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′.
  • ✦Viết gọn theo tỉ số cùng phía: AB/BC = A′B′/B′C′. Ví dụ: AB = 2, BC = 3 thì A′B′/B′C′ = 23.
  • ✦Định lí chỉ nói về tỉ số, không cần biết các cát tuyến nghiêng thế nào, cũng không cần độ dài thật.
  • ✦Hai cát tuyến có thể chéo nhau: định lí vẫn đúng.

Dạng bài

Dùng Thalès tìm tỉ số hay độ dài

  1. 1 Chỉ ra ba mặt phẳng đôi một song song (kể cả mặt phẳng phụ kẻ qua một điểm song song với (P)).
  2. 2 Xác định hai cát tuyến và sáu giao điểm, ghi theo cùng thứ tự.
  3. 3 Lập tỉ lệ thức cùng thứ tự: đoạn trên cát tuyến này : đoạn trên cát tuyến kia.
  4. 4 Giải và thử lại bằng cách thay ngược vào hai tỉ số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đề không cho BB′ không phải thiếu dữ kiện: Thalès chỉ cần tỉ số. Đừng đi tìm BB′ rồi mới tính; và đừng lấy AM/MA′ = 24 = 12 thay cho AM/AA′ = 13.

📐
Làm mẫu

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và hai mặt phẳng song song (P), (Q). Đường a cắt (P), (Q) tại A, A′ và đường b cắt (P), (Q) tại B, B′. Biết AA′ = 6, M là điểm trên AA′ với AM = 2. Mặt phẳng (R) qua M song song (P) cắt BB′ tại N. Tính BN/BB′.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧊 Hình lăng trụ và hình hộp

Cần nhớ

  • ✦Hình lăng trụ: hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau; các cạnh bên song song và bằng nhau; mặt bên là hình bình hành.
  • ✦Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành: có 6 mặt, đều là hình bình hành, chia thành 3 cặp mặt đối diện song song.
  • ✦Hình hộp chữ nhật mới có các mặt là hình chữ nhật. Hình hộp nói chung có thể xiên.
  • ✦Cặp mặt phẳng song song hay gặp trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′: (A′BD) ∥ (CB′D′) và (ACB′) ∥ (A′C′D).

Dạng bài

Chứng minh hai mặt phẳng song song trong hình hộp

  1. 1 Chọn trong mặt phẳng thứ nhất hai đường cắt nhau (thường là cạnh đáy hoặc đường chéo mặt).
  2. 2 Với mỗi đường, tìm đường song song với nó trong mặt phẳng thứ hai (dùng các mặt bên là hình bình hành).
  3. 3 Kết luận bằng điều kiện hai đường cắt nhau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nói "các mặt bên của hình hộp là hình chữ nhật" là sai. Đẩy lệch một chồng sách vẫn là hình hộp mà mặt bên chỉ là hình bình hành.

🧊
Làm mẫu

Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh (A′BD) ∥ (CB′D′).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Phân biệt các hình

HìnhHai đáyMặt bên
Lăng trụBằng nhau, nằm trong hai mặt phẳng song songHình bình hành
Hình hộpHình bình hànhHình bình hành
Hình hộp chữ nhậtHình chữ nhậtHình chữ nhật

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

  • ✦Thấy hai mặt phẳng song song thì nghĩ ngay hai đường cắt nhau và đường trung bình: mỗi đường trung bình cho một đường song song với đáy.
  • ✦Tỉ số cạnh k thì tỉ số diện tích k². Gặp "mặt phẳng song song đáy chia SA theo tỉ số …" thì tính k trước, bình phương sau.
  • ✦Chia cạnh bên theo tỉ lệ SM : MA = m : n thì k = m/(m + n), không phải m/n.
  • ✦Hình lăng trụ: thiết diện song song đáy bằng đáy, loại ngay đáp án có tỉ số thu nhỏ.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

  • ✦Cho rằng (P) chứa một đường song song (Q) thì (P) ∥ (Q). Phản ví dụ: tường nhà cắt sàn mà chứa đầy đường song song với sàn.
  • ✦Chọn hai đường song song trong (P) cùng ∥ (Q) rồi kết luận (P) ∥ (Q): hai đường song song chỉ cho một phương.
  • ✦Cho rằng (P) ∥ (Q) thì mọi đường của (P) song song mọi đường của (Q). Thực tế phần lớn các cặp là chéo nhau: đường chéo trần theo hướng này và đường chéo sàn theo hướng kia.
  • ✦Gọi mặt bên hình hộp là hình chữ nhật. Chỉ hình hộp chữ nhật mới đúng.
  • ✦Nhân diện tích với k thay vì k² (k = 12 cho 14, không phải 12).
  • ✦Viết sai thứ tự trong tỉ lệ thức Thalès, ví dụ AB/BC = B′C′/A′B′.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

  • ✦Chế độ tính toán thường: thử lại tỉ lệ thức Thalès và k² bằng phân số, nhập k rồi bình phương.
  • ✦Chế độ Tính toán: kiểm tra tỉ số k và diện tích thiết diện k² · S (vd k = 23 ⇒ k² = 49); phần chứng minh song song vẫn phải dùng định lí.
  • ✦Chế độ giải hệ phương trình: dùng khi cần tìm tỉ số chưa biết từ hai tỉ lệ thức.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧱

Điều kiện hai mặt phẳng song song

  1. 1
    Nhận biết

    Để chứng minh (P) ∥ (Q), cần chỉ ra trong (P) có

  2. 2
    Nhận biết

    Cho (P) ∥ (Q) và đường thẳng a ⊂ (P). Khẳng định nào đúng?

  3. 3
    Thông hiểu

    Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song a, b cùng song song với (Q). Kết luận nào đúng?

  4. 4
    Thông hiểu

    Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. Cặp đường nào đủ để chứng minh (MNP) ∥ (ABCD)?

  5. 5
    Thông hiểu Hình hộp có 6 mặt, chia thành cặp mặt đối diện song song.
🔪

Giao tuyến và thiết diện song song đáy

  1. 1
    Thông hiểu

    (P) ∥ (Q), mặt phẳng (R) cắt (P) theo a và cắt (Q) theo b. Khi đó a và b

  2. 2
    Thông hiểu

    Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Mặt phẳng song song với (ABCD) cắt SA, SB tại M, N. Khẳng định đúng là

  3. 3
    Thông hiểu Tứ diện S.ABC. Mặt phẳng qua M ∈ SA với SM/SA = 13, song song (ABC), cắt SB, SC tại N, P. Biết BC = 9 thì NP = .
  4. 4
    Thông hiểu Cùng hình trên, diện tích tam giác ABC bằng 18. Diện tích tam giác MNP bằng .
  5. 5
    Vận dụng

    Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành diện tích 36. M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Diện tích MNPQ bằng

  6. 6
    Vận dụng

    Hình chóp S.ABCD có mặt phẳng song song đáy cắt SA tại M với SM = 2MA. Tỉ số diện tích thiết diện và đáy là

📐

Định lí Thalès trong không gian

  1. 1
    Thông hiểu

    Ba mặt phẳng đôi một song song cắt đường a tại A, B, C và đường b tại A′, B′, C′. Biết AB = 2, BC = 3, A′B′ = 6. Độ dài B′C′ bằng

  2. 2
    Thông hiểu Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên a các đoạn AB = 4, BC = 6 và chắn trên b đoạn A′C′ = 15. Khi đó A′B′ = .
  3. 3
    Vận dụng

    Hai mặt phẳng song song (P), (Q). Đường a cắt (P), (Q) tại A, A′; đường b cắt tại B, B′. M ∈ AA′ với AM : MA′ = 2 : 3, (R) qua M song song (P) cắt BB′ tại N. Tỉ số BN/BB′ bằng

🧊

Lăng trụ và hình hộp

  1. 1
    Nhận biết

    Các mặt bên của hình lăng trụ là

  2. 2
    Nhận biết

    Hai đáy của hình lăng trụ

  3. 3
    Thông hiểu

    Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Mặt phẳng (ACB′) song song với mặt phẳng

  4. 4
    Thông hiểu

    Mệnh đề nào sai?

  5. 5
    Vận dụng

    Lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC diện tích 12. Mặt phẳng qua trung điểm AA′ và song song đáy cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

  6. 6
    Vận dụng Hình chóp S.ABCD đáy diện tích 27. Mặt phẳng song song đáy cắt SA tại M, biết SA = 12, SM = 8. Thiết diện có diện tích .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

  1. 1
    Thông hiểu

    Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Khẳng định nào đúng?

  2. 2
    Thông hiểu

    Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên a các đoạn AB = 4, BC = 6 và chắn trên b đoạn A′B′ = 10. Độ dài B′C′ bằng

  3. 3
    Vận dụng

    Hình chóp S.ABCD có đáy diện tích 40. Mặt phẳng song song đáy cắt SA tại trung điểm M. Diện tích thiết diện bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

  1. 1
    Thông hiểu

    Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD có diện tích 24. M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q.

    a)MN ∥ (ABCD).

    b)MN ∥ BC.

    c)Q là trung điểm của SD.

    d)Diện tích tứ giác MNPQ bằng 12.

  2. 2
    Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

    a)Tứ giác ABB′A′ là hình bình hành.

    b)Mọi đường thẳng trong (ABCD) đều song song với mọi đường thẳng trong (A′B′C′D′).

    c)(A′BD) ∥ (CB′D′).

    d)(A′BD) ∥ (ACB′).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

  1. 1
    Thông hiểu Hình chóp S.ABCD đáy diện tích 45. Mặt phẳng song song đáy cắt SA tại M sao cho SM = 2MA. Tính diện tích thiết diện. Đáp số:
  2. 2
    Thông hiểu Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên a các đoạn AB = 6, BC = 9 và chắn trên b đoạn A′C′ = 20. Tính B′C′. Đáp số:
  3. 3
    Vận dụng Hình chóp S.ABCD có SA = 10. Mặt phẳng song song đáy cắt SA tại M, diện tích thiết diện bằng 1625 diện tích đáy. Tính SM. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

  • •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu chứng minh hai mặt phẳng song song: chọn hai đường cắt nhau (thường là hai đường trung bình) và kiểm tra từng điều kiện, nhất là chỗ "cắt nhau".
  • •Hay có câu dựng thiết diện của hình chóp, lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt, dùng giao tuyến song song, rồi tính tỉ số hay diện tích bằng k².
  • •Nền cho lớp 12: hai mặt phẳng song song sẽ được kiểm bằng vectơ pháp tuyến cùng phương (phương trình mặt phẳng), và kĩ năng dời một điểm qua mặt phẳng song song dùng khi tính khoảng cách, thể tích ở các bài sau.
Làm đề thi thử trọn bộ
Chủ đề tiếp theo
Phép chiếu song song