Chủ đề 11 · Học kỳ 1

Hai đường thẳng song song

Phân biệt hai đường song song với hai đường chéo nhau; dùng đường trung bình, tính chất bắc cầu và định lí về ba giao tuyến để chứng minh song song và tìm giao tuyến trong tứ diện, hình chóp, hình hộp.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 11

⚡ Nhớ nhanh

1Hai đường thẳng song song là hai đường đồng phẳng và không có điểm chung. Thiếu chữ "đồng phẳng" là nhầm sang chéo nhau (không đồng phẳng).
2Bắc cầu: a ∥ c và b ∥ c ⇒ a ∥ b. Chỉ đúng khi cùng song song một đường thẳng; cùng song song một mặt phẳng thì chưa đủ.
3Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Bốn trung điểm của bốn cạnh liên tiếp trong tứ diện ABCD tạo thành hình bình hành.
4Định lí về ba giao tuyến: ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba đường ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.
5Hệ quả: hai mặt phẳng cắt nhau chứa hai đường song song a, b thì giao tuyến song song với cả a và b.
6Muốn chứng minh song song: thử đường trung bình trước, rồi bắc cầu, cuối cùng mới đến định lí giao tuyến.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo đỉnh D để đổi hình tứ diện, MNPQ vẫn là hình bình hành. Bật AC, BD để thấy MN ∥ AC ∥ PQ. Bấm "AC = BD" thấy hình thoi, bấm "MN và BD" là bẫy: nhìn như cắt nhau, xoay hình sẽ thấy chéo nhau.

Kéo trên hình để xoay.

Kéo D Hiện AC, BD

MN = PQ = 2,27 (= AC/2) · NP = QM = 2,1 (= BD/2)

Tam giác ABC: MN là đường trung bình ⇒ MN ∥ AC, MN = AC/2. Tam giác ACD: PQ ∥ AC, PQ = AC/2.

⇒ MN ∥ PQ và MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành, kéo D thế nào cũng vậy.

1 ↔️ Song song hay chéo nhau?

Cần nhớ

✦a ∥ b ⇔ a, b đồng phẳng và a ∩ b = ∅. Ví dụ: hai cạnh đối AB, CD của một hình bình hành.
✦Chéo nhau là không có mặt phẳng nào chứa cả hai. Ví dụ: AB và CC′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
✦Bắc cầu: a ∥ b, b ∥ c (a, c phân biệt) ⇒ a ∥ c. Ví dụ: AB ∥ CD và CD ∥ C′D′ ⇒ AB ∥ C′D′.
✦Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng d có đúng một đường thẳng song song với d.

Song song và chéo nhau: khác nhau ở một chữ

	Song song	Chéo nhau
Điểm chung	Không có	Không có
Đồng phẳng	Có	Không
Cách nhận ra	Chỉ ra một mặt phẳng chứa cả hai	Chứng minh không mặt phẳng nào chứa cả hai
Ví dụ	MN và AB (M, N trung điểm SA, SB)	MN và BC; SC và AB

Dạng bài

Chứng minh hai đường chéo nhau

1 Giả sử hai đường đồng phẳng, tức là có mặt phẳng (α) chứa cả hai.
2 Từ (α) suy ra 3 hoặc 4 điểm của hình nằm trong (α), kéo theo (α) trùng một mặt đã biết (đáy, mặt bên).
3 Điểm thứ tư của hình lại nằm ngoài mặt đó ⇒ mâu thuẫn ⇒ hai đường chéo nhau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy "SC và AB không có điểm chung" rồi kết luận song song là sai: hai đường song song còn phải đồng phẳng. Ở đây chúng không đồng phẳng nên chéo nhau.

↔️

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Chứng minh SC và AB chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✂️ Đường trung bình và tứ giác bốn trung điểm

Cần nhớ

✦Tam giác ABC, M, N là trung điểm AB, AC ⇒ MN ∥ BC và MN = BC/2.
✦Trong tứ diện ABCD, bốn trung điểm M, N, P, Q của AB, BC, CD, DA: MN và PQ đều là đường trung bình ứng với AC; NP và QM đều ứng với BD.
✦Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Với MNPQ: MN = AC/2, NP = BD/2 nên AC = BD ⇒ MNPQ là hình thoi.
✦Chu vi MNPQ = 2·(AC/2 + BD/2) = AC + BD.

Dạng bài

Chứng minh tứ giác bốn trung điểm là hình bình hành

1 Chọn một đường chéo của tứ diện (ví dụ AC), tìm hai tam giác chứa nó (ABC và ACD).
2 Dùng đường trung bình ở từng tam giác: MN ∥ AC, MN = AC/2; QP ∥ AC, QP = AC/2.
3 Bắc cầu: MN ∥ QP, lại có MN = QP ⇒ một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ⇒ hình bình hành.
4 Thử lại bằng cặp cạnh còn lại: NP ∥ BD ∥ MQ ✓.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ nói "MN ∥ QP" mà quên "MN = QP" thì chưa đủ: tứ giác phẳng có một cặp cạnh đối song song có thể chỉ là hình thang. Phải có thêm bằng nhau (hoặc cặp cạnh đối kia cũng song song).

✂️

Làm mẫu

Tứ diện ABCD; M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Khi nào MNPQ là hình thoi?

1 MNPQ đã là hình bình hành với MN = AC/2, NP = BD/2.
2 Hình thoi cần hai cạnh kề bằng nhau: MN = NP.
3 Suy ra AC = BD.

⚠️ Bẫy hay gặp: AB = CD không làm MNPQ thành hình thoi. Cạnh của MNPQ chỉ phụ thuộc hai đường chéo AC và BD.

◇

Làm mẫu

Tứ diện ABCD có AC = BD = 8. Tính chu vi tứ giác bốn trung điểm MNPQ và cho biết hình dạng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

AC và BD quyết định hình dạng MNPQ

Tứ diện ABCD	MNPQ
Bất kì	Hình bình hành, chu vi AC + BD
AC = BD	Hình thoi, cạnh AC/2
Tứ diện đều (mọi cạnh bằng nhau)	Hình thoi (vì AC = BD)

3 🔺 Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường song song

Cần nhớ

✦Định lí ba giao tuyến: (P), (Q), (R) phân biệt đôi một cắt nhau theo a = (Q) ∩ (R), b = (P) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q). Khi đó a, b, c đồng quy hoặc đôi một song song. Không có khả năng thứ ba.
✦Hệ quả: (P) ∩ (Q) = c, a ⊂ (P), b ⊂ (Q) và a ∥ b ⇒ c ∥ a ∥ b (hoặc c trùng một trong hai đường). Cần (P), (Q) cắt nhau thì mới có c.
✦Hai mặt phẳng đã có một điểm chung S thì giao tuyến đi qua S. Ví dụ: (SAB) và (SCD) có chung S.
✦Hai đường a, b của hai mặt cắt nhau tại I thì I là điểm chung thứ hai. Ví dụ: AD ∩ BC = E ⇒ E ∈ (SAD) ∩ (SBC).

Dạng bài

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường song song

1 Tìm một điểm chung dễ thấy (thường là đỉnh S).
2 Tìm điểm chung thứ hai bằng cách kéo dài hai đường: nếu hai đường cắt nhau thì giao điểm là điểm chung thứ hai.
3 Nếu hai đường song song thì không có điểm chung thứ hai. Dùng hệ quả: giao tuyến là đường qua điểm chung và song song với hai đường đó.
4 Thử lại: đường vừa tìm nằm trong cả hai mặt phẳng và đúng phương đã nêu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cố kéo dài AB và CD cho cắt nhau là vô ích: hai đường song song không bao giờ cắt, dù kéo dài bao xa. Gặp song song thì phải đổi sang hệ quả của định lí.

🔺

Làm mẫu

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✖️ Hai đường cắt nhau

Đáy là hình thang AB ∥ CD thì AD cắt BC tại E. Khi đó (SAD) ∩ (SBC) = SE, vì S và E đều là điểm chung.

∥ Hai đường song song

Đáy hình bình hành thì (SAB) ∩ (SCD) là đường qua S, song song AB. Không có điểm chung thứ hai để nối.

4 📦 Bắc cầu trong hình hộp

Cần nhớ

✦Hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình bình hành. 12 cạnh chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 cạnh song song và bằng nhau.
✦Cạnh AB: song song với CD, A′B′, C′D′; cắt AD, AA′, BC, BB′; chéo nhau với CC′, DD′, B′C′, A′D′.
✦Hai cạnh đối song song và bằng nhau thì bốn đỉnh tạo thành hình bình hành. Ví dụ: AB ∥ C′D′ và AB = C′D′ ⇒ ABC′D′ là hình bình hành ⇒ AD′ ∥ BC′.

Dạng bài

Chứng minh song song trong hình hộp

1 Ghi từng cặp cạnh đối của các mặt hình bình hành: song song và bằng nhau.
2 Bắc cầu để nối hai cạnh ở hai mặt khác nhau.
3 Với hai đường chéo (đường chéo mặt), tìm hình bình hành có chúng làm cạnh đối.

⚠️ Bẫy hay gặp: AB ∥ CC′ là sai dù cả hai đều là cạnh của hình hộp: AB và CC′ chéo nhau. Khác nhóm cạnh thì không song song.

📦

Làm mẫu

Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh AD′ ∥ BC′.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy trung điểm của hai cạnh trong cùng một tam giác: nghĩ ngay đường trung bình, kết luận song song với cạnh thứ ba.
✦Hình hộp: cạnh nào cũng có 3 cạnh song song cùng nhóm, 4 cạnh chéo nhau, 4 cạnh cắt. Đếm 3 + 4 + 4 + 1 (chính nó) = 12 để kiểm.
✦Hình chóp có đáy là hình bình hành hoặc hình thang AB ∥ CD: giao tuyến của (SAB) và (SCD) luôn qua S và song song với AB.
✦Đề hỏi "chéo nhau" thì thử loại: hai đường cắt nhau? song song? Còn lại mới là chéo nhau.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng "không cắt nhau thì song song". Phản ví dụ: SC và AB trong hình chóp S.ABCD, hay MN và BC trong hình chóp có M, N trung điểm SA, SB.
✦Tin vào hình vẽ: trong tứ diện ABCD với M, N là trung điểm AB, BC, đoạn MN và BD nhìn như cắt nhau mà thật ra chéo nhau (MN nằm trong (ABC), BD cắt (ABC) tại B ∉ MN).
✦Cho rằng hai đường cùng song song một mặt phẳng thì song song với nhau. Phản ví dụ: hai cạnh kề của trần nhà đều song song với sàn nhưng cắt nhau.
✦Chứng minh hình bình hành mà chỉ nêu "một cặp cạnh song song". Phải thêm bằng nhau, hoặc chỉ ra cặp cạnh đối còn lại cũng song song.
✦Kéo dài hai đường song song cho cắt nhau để tìm giao tuyến. Hai đường song song không bao giờ cắt, phải dùng hệ quả định lí ba giao tuyến.
✦Cho rằng AB = CD thì bốn trung điểm tạo thành hình thoi. Điều kiện đúng là AC = BD.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Bài đếm cặp cạnh chéo nhau của hình hộp: dùng chế độ tính toán thường với tổ hợp nCr: C(12; 2) = 66 cặp cạnh, trừ 18 cặp song song (3 nhóm, mỗi nhóm C(4; 2) = 6) và 24 cặp cắt nhau (8 đỉnh, mỗi đỉnh C(3; 2) = 3) ra 24 cặp chéo nhau.
✦Tính chu vi, độ dài đường trung bình: chế độ tính toán thường, nhập AC + BD hoặc AC ÷ 2 để thử lại đáp số.
✦Bài chứng minh song song không có phím tính. Máy chỉ giúp kiểm số, còn lập luận vẫn phải viết đủ các bước.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

↔️

Song song hay chéo nhau

1
Nhận biết
Hai đường thẳng trong không gian gọi là song song khi chúng
2
Nhận biết
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng d, số đường thẳng song song với d là
3
Thông hiểu
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Cặp đường thẳng chéo nhau là
4
Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?
5
Thông hiểu Hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có cạnh khác AA′ song song với AA′.

✂️

Đường trung bình và bốn trung điểm

1
Nhận biết
Tứ diện ABCD; I, J là trung điểm AD, BD. Khi đó IJ song song với
2
Thông hiểu Tứ diện ABCD có AC = 10; M, N là trung điểm AB, BC. Độ dài MN = .
3
Thông hiểu
Tứ diện ABCD; M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. Cạnh NP song song với
4
Thông hiểu
Với M, N, P, Q như trên, hai đoạn MP và NQ (hai đường chéo của hình bình hành MNPQ)
5
Thông hiểu Tứ diện ABCD có AC = 6, BD = 4. Chu vi hình bình hành MNPQ (bốn trung điểm AB, BC, CD, DA) bằng .
6
Vận dụng
Tứ diện ABCD; M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. Tứ giác MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi
7
Vận dụng Tứ diện ABCD có AC = BD = 10. Chu vi tứ giác bốn trung điểm MNPQ bằng .

🔺

Định lí ba giao tuyến

1
Nhận biết
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến. Ba giao tuyến đó
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và
3
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành; d là giao tuyến của (SAB) và (SCD). Vị trí của d và CD là
4
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AD ∥ BC, AD ≠ BC. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S và điểm nào?
5
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành; Sx là giao tuyến của (SAB) và (SCD). Vị trí của Sx và AD là

📦

Hình hộp và hình chóp

1
Thông hiểu
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đường thẳng song song với AD′ là
2
Thông hiểu
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đường thẳng song song với A′C′ là
3
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành; M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là
4
Vận dụng Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành có AB = 8, AD = 6. M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chu vi MNPQ bằng .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tứ diện ABCD có AC = BD = 8. M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chu vi tứ giác MNPQ là
2
Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Cặp đường thẳng chéo nhau là
3
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, AB ∥ CD, AB = 2CD. Gọi E = AD ∩ BC. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Tứ diện ABCD có AC = 6, BD = 8. M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA.

a)MN ∥ AC.

b)MNPQ là hình thoi.

c)MN ∥ BD.

d)Chu vi MNPQ bằng 14.
2
Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD).

a)Điểm S thuộc d.

b)d ∥ CD.

c)d cắt AB.

d)d ∥ AD.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tứ diện ABCD có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau? Đáp số:
2
Vận dụng Tứ diện ABCD có AC = 2·BD. Chu vi tứ giác bốn trung điểm MNPQ bằng 18. Tính AC. Đáp số:
3
Vận dụng Hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài này là nền cho các bài tiếp theo của chương (đường thẳng – mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, thiết diện). Cách lập luận "song song, đồng phẳng, giao tuyến" cũng là nền cho phần hình không gian của đề kiểm tra và đề tốt nghiệp sau này.
•Bài kiểm tra trên lớp hay có câu chứng minh tứ giác bốn trung điểm là hình bình hành, tìm giao tuyến của hai mặt bên chứa hai đáy song song, và câu trắc nghiệm chọn cặp đường chéo nhau.
•Ý dễ mất điểm: bỏ chữ đồng phẳng, quên điều kiện bằng nhau khi chứng minh hình bình hành, hoặc tin vào hình vẽ mà kết luận MN ∥ BD.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Đường thẳng và mặt phẳng song song