Đường thẳng và mặt phẳng song song
Phân biệt ba vị trí của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh d ∥ (P) bằng điều kiện đủ (có đủ cả d ⊄ (P)), biết khi nào MN song song hay cắt mặt đáy của hình chóp, và dùng đường song song để dựng giao tuyến, thiết diện.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 12
⚡ Nhớ nhanh
- 1Đường thẳng d và mặt phẳng (P) có đúng 3 vị trí: không có điểm chung (d ∥ (P)), đúng 1 điểm chung (cắt nhau), hoặc d nằm trong (P).
- 2Điều kiện đủ để d ∥ (P) có hai vế: d ∥ a với a ⊂ (P) và d ⊄ (P). Thiếu vế thứ hai là mất điểm.
- 3Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, M ∈ SA, N ∈ SB: khi SM/SA = SN/SB thì MN ∥ AB nên MN ∥ (ABCD). Tỉ số khác nhau thì MN cắt đường AB tại I, tức là cắt mặt đáy.
- 4Chiều ngược lại là chìa khoá dựng thiết diện: d ∥ (P), d ⊂ (Q), (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ∥ d.
- 5d ∥ (P) chỉ nói d không có điểm chung với (P). Nó không song song với mọi đường trong (P): với những đường khác không cùng phương, d chéo nhau.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo N trên SB (M là trung điểm SA): chỉ khi SN/SB đúng bằng 1/2 thì MN ∥ AB nên MN ∥ (ABCD), còn lệch một chút là MN cắt đường AB tại I. Bấm các nút mẫu rồi để ý nút MN ∥ (ABCD) mà MN chéo BC: đó là cái bẫy "song song mọi đường".
Kéo trên hình để xoay.
SM/SA = 1/2 cố định.
SM/SA = SN/SB = 1/2 ⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ MN ∥ AB.
AB ⊂ (ABCD), MN ⊄ (ABCD) ⇒ MN ∥ (ABCD). Đủ ba ý: song song với một đường nằm trong mặt, và bản thân không nằm trong mặt.
1 📐 Ba vị trí của đường thẳng và mặt phẳng
Đếm điểm chung
| Vị trí | Số điểm chung | Kí hiệu |
|---|---|---|
| Song song | 0 | d ∥ (P) |
| Cắt nhau | 1 | d ∩ (P) = {M} |
| Nằm trong | Vô số | d ⊂ (P) |
Cần nhớ
- ✦Nếu d và (P) có hai điểm chung thì cả đường d nằm trong (P). Vì vậy không có vị trí nào là "đúng 2 điểm chung".
- ✦Từ "chéo nhau" chỉ dùng cho hai đường thẳng. Giữa đường và mặt phẳng chỉ nói song song, cắt nhau hay nằm trong.
- ✦Ví dụ: S.ABCD đáy hình bình hành. SA và (ABCD) có điểm chung A, nhưng S ∉ (ABCD) nên SA ⊄ (ABCD) ⇒ SA cắt (ABCD) tại A.
Dạng bài
Xác định vị trí của d và (P)
- 1 Tìm các điểm chung của d và (P).
- 2 Có từ hai điểm chung trở lên (hoặc d chứa hai điểm của (P)) ⇒ d ⊂ (P).
- 3 Đúng một điểm chung ⇒ cắt nhau tại điểm đó.
- 4 Không có điểm chung ⇒ song song. Phải chứng minh bằng điều kiện đủ ở phần sau, không kết luận bằng mắt nhìn hình.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "SB và (ABCD) chéo nhau" là sai từ ngữ: chéo nhau chỉ có giữa hai đường thẳng. SB có điểm chung B nên là cắt nhau.
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Xét vị trí của SB và (ABCD).
Hướng dẫn giải
2 🔗 Điều kiện để d ∥ (P)
Cần nhớ
- ✦Định lí: d ⊄ (P), d ∥ a, a ⊂ (P) ⇒ d ∥ (P). Phải có đủ cả hai vế d ⊄ (P) và d ∥ a.
- ✦Nếu d ⊂ (P) thì d cũng song song với vô số đường của (P) nhưng không song song với (P). Ví dụ: AB ∥ CD và CD ⊂ (ABCD), mà AB cũng ⊂ (ABCD) nên AB không song song (ABCD).
- ✦Định nghĩa "không có điểm chung" đúng nhưng không dùng để chứng minh, vì không thể kiểm hết mọi điểm. Luôn đi tìm đường a.
Tìm đường a ở đâu?
| Gặp | Dùng | Ví dụ trên hình chóp S.ABCD |
|---|---|---|
| Hai trung điểm trên hai cạnh của một tam giác | Đường trung bình | M, N trung điểm SA, SB ⇒ MN ∥ AB |
| Đáy là hình bình hành | Cạnh đối song song | AB ∥ CD ⇒ AB ∥ (SCD) |
| Hai tỉ số bằng nhau trong cùng một tam giác | Định lí Ta-lét đảo | SM/SA = SN/SB ⇒ MN ∥ AB |
Dạng bài
Chứng minh d ∥ (P)
- 1 Tìm một đường a nằm trong (P) mà d ∥ a (đường trung bình, cạnh đối hình bình hành, Ta-lét đảo).
- 2 Nêu rõ a ⊂ (P).
- 3 Nêu rõ d ⊄ (P) và nói vì sao.
- 4 Kết luận d ∥ (P) và thử lại bằng cách hình dung nếu d nằm trong (P) thì sao.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ viết "MN ∥ AB ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD)" là thiếu: mệnh đề ấy sai khi MN nằm trong (ABCD). Ví dụ AB ∥ CD ⊂ (ABCD) nhưng AB cũng ⊂ (ABCD), không song song.
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M, N là trung điểm SA, SB. Chứng minh MN ∥ (ABCD).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Dùng cạnh đối của hình bình hành
- 1 Nhận ra hai cạnh đối song song của đáy.
- 2 Cạnh này nằm trong mặt đáy, cạnh kia nằm trong mặt bên cần xét.
- 3 Kiểm cạnh thứ nhất không nằm trong mặt bên đó rồi kết luận.
⚠️ Bẫy hay gặp: AD cũng nằm trong đáy nhưng AD cắt (SCD) tại D, không song song. Đừng chọn cạnh chỉ vì nó "trông song song".
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Chứng minh AB ∥ (SCD).
Hướng dẫn giải
3 🎚️ Kéo N: MN song song hay cắt mặt đáy?
Cần nhớ (S.ABCD đáy hình bình hành, M ∈ SA, N ∈ SB)
- ✦SM/SA = SN/SB ⇒ MN ∥ AB (Ta-lét đảo trong tam giác SAB) ⇒ MN ∥ (ABCD).
- ✦Hai tỉ số khác nhau ⇒ MN không song song AB. Hai đường MN, AB cùng nằm trong (SAB) nên cắt nhau tại I. I ∈ AB ⊂ (ABCD) nên I = MN ∩ (ABCD): MN cắt mặt đáy.
- ✦AB = (SAB) ∩ (ABCD). Giao điểm của đường MN với mặt đáy luôn tìm trên giao tuyến AB.
- ✦Với M cố định, chỉ có đúng một vị trí của N để MN ∥ (ABCD): SN/SB = SM/SA.
M là trung điểm SA (SM/SA = 1/2), N đổi chỗ
| SN/SB | So với 1/2 | Kết luận |
|---|---|---|
| 12 | Bằng | MN ∥ AB, MN ∥ (ABCD) |
| 13 | Nhỏ hơn | MN cắt AB tại I, A là trung điểm IB |
| 23 | Lớn hơn | MN cắt AB tại I, B là trung điểm AI |
| 1 (N = B) | Lớn hơn | MB cắt đáy tại B (I = B) |
Dạng bài
Xét MN với mặt đáy
- 1 Tính SM/SA và SN/SB rồi so sánh.
- 2 Bằng nhau ⇒ MN ∥ AB ⇒ MN ∥ (ABCD) (nhớ MN ⊄ (ABCD)).
- 3 Khác nhau ⇒ MN cắt AB tại I, I = MN ∩ (ABCD).
- 4 Muốn biết I ở đâu: kẻ AK ∥ SB cắt MN tại K, so sánh hai cặp tam giác bằng nhau và đồng dạng. Thử lại bằng số đo.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đừng nhìn hình: SN/SB = 0,45 gần bằng 12 nên MN "trông song song" AB, nhưng 0,45 ≠ 0,5 thì MN vẫn cắt đáy, tại I cách A tới IA = 4,5·AB. Chỉ khi hai tỉ số bằng đúng nhau mới song song.
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M là trung điểm SA, N ∈ SB với SN/SB = 13. Xét vị trí của MN và (ABCD), tìm vị trí điểm chung.
Hướng dẫn giải
4 ✂️ Giao tuyến song song và thiết diện
Cần nhớ
- ✦d ∥ (P), d ⊂ (Q), (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ∥ d. Đây là chìa khoá dựng thiết diện: qua điểm cho trước kẻ đường song song với d thì đường đó nằm trong mặt phẳng.
- ✦Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với d thì giao tuyến cũng song song với d.
- ✦Với hai đường chéo nhau a, b luôn có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
- ✦Điều kiện d ∥ (P) là bắt buộc. Ví dụ: (SAB) ∩ (ABCD) = AB và SA ⊂ (SAB), nhưng SA cắt AB (không song song), vì SA không song song (ABCD).
Dạng bài
Tìm giao tuyến nhờ đường song song
- 1 Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng (thường là đỉnh S).
- 2 Tìm đường d nằm trong mặt thứ nhất mà d ∥ mặt thứ hai (chứng minh bằng điều kiện đủ).
- 3 Giao tuyến là đường qua điểm chung và song song với d.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nối S với giao điểm AD ∩ BC cũng không phải cách làm đúng ở đây: AD ∥ BC (đáy hình bình hành) nên hai đường này không có giao điểm.
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Thiết diện của mặt phẳng song song với hai đường cho trước
- 1 Ở mỗi mặt bên chứa điểm đã cho, dùng giao tuyến song song với đường tương ứng để vẽ một cạnh thiết diện.
- 2 Dùng Ta-lét hoặc đường trung bình để xác định các đỉnh còn lại.
- 3 Xét song song giữa các cặp cạnh thiết diện (bắc cầu qua cạnh đáy).
- 4 Kết luận hình dạng và thử lại bằng số đo.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đáy là hình thang AB ∥ CD với AB = 8, CD = 4 thì MN = 4, PQ = 2 khác nhau, MNPQ chỉ là hình thang, không phải hình bình hành. Kết luận "hình bình hành" chỉ có khi đáy là hình bình hành.
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M là trung điểm SA. Mặt phẳng (α) qua M, AB ∥ (α) và AD ∥ (α), cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Thiết diện MNPQ là hình gì?
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Thấy trung điểm của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh thì nghĩ ngay đường trung bình: MN song song cạnh thứ ba và song song mọi mặt phẳng chứa cạnh thứ ba mà không chứa MN.
- ✦Loại nhanh: mặt phẳng chứa đường d không phải đáp án song song. Mặt phẳng đi qua một đầu mút của d (một điểm của d) cũng loại, vì đã có điểm chung.
- ✦Đề cho hai tỉ số trong cùng một tam giác: so sánh ngay. Bằng nhau ⇒ song song, khác nhau ⇒ cắt. Không cần vẽ.
- ✦Hai đường chéo nhau a, b: có duy nhất một mặt phẳng chứa a mà song song b.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Viết "d ∥ a ⊂ (P) nên d ∥ (P)" mà thiếu d ⊄ (P). Phản ví dụ: AB ∥ CD ⊂ (ABCD) nhưng AB ⊂ (ABCD).
- ✦Cho rằng d ∥ (P) thì d song song với mọi đường trong (P). Phản ví dụ: MN ∥ (ABCD) nhưng MN chéo BC.
- ✦Dùng "chéo nhau" cho đường và mặt: SB cắt (ABCD) tại B, không "chéo".
- ✦Kết luận song song vì hình vẽ "trông như vậy": SM/SA = 12, SN/SB = 0,45 thì MN vẫn cắt đáy.
- ✦Dùng "(P) ∩ (Q) = a, d ⊂ (Q) ⇒ a ∥ d" khi chưa có d ∥ (P). Phản ví dụ: SA ⊂ (SAB) cắt AB = (SAB) ∩ (ABCD).
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ tính toán thường (COMP): nhập hai tỉ số SM/SA và SN/SB, so xem có bằng nhau không. Dạng phân số giúp thấy 920 khác 12.
- ✦Chế độ giải phương trình bậc nhất: đặt IA = x, giải x/(x + AB) = 911 để tìm vị trí điểm I.
- ✦Máy không dựng được hình, chỉ kiểm số. Phần chứng minh vẫn phải trình bày đủ điều kiện.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Vị trí của đường và mặt
- 1Nhận biết
Đường thẳng d và mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung. Vị trí của chúng là
- 2Thông hiểu
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Khẳng định nào đúng?
- 3Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
- 4Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong 8 cạnh của hình chóp, có cạnh song song với mặt phẳng (SCD).
Chứng minh d ∥ (P)
- 1Nhận biết
Cho d ∥ a và a ⊂ (P). Để kết luận d ∥ (P) cần thêm điều kiện
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Đường thẳng AB song song với mặt phẳng
- 3Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, AD. Đường thẳng MN song song với mặt phẳng
- 4Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M, N là trung điểm SB, SC. Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- 5Thông hiểu
Cho CD ∥ AB và AB ⊂ (SAB). Kết luận nào luôn đúng?
- 6Vận dụng Tứ diện ABCD. G₁, G₂ là trọng tâm tam giác ABC, ABD; I là trung điểm AB. Biết IG₁/IC = IG₂/ID = 13 nên G₁G₂ ∥ CD. Khi đó CD = k·G₁G₂ với k = .
Tỉ số và vị trí của MN
- 1Nhận biết
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M ∈ SA, N ∈ SB. Nếu SM/SA = SN/SB thì MN song song với đường thẳng
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M ∈ SA, N ∈ SB có SM = 2, SA = 6, SN = 3, SB = 9. Vị trí của MN và (ABCD) là
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M là trung điểm SA, N ∈ SB với SN/SB = 23. Gọi I = MN ∩ AB. Khẳng định đúng là
- 4Vận dụng Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, AB = 5. M là trung điểm SA, N ∈ SB với SN/SB = 23, I = MN ∩ AB. Độ dài IB = .
- 5Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M là trung điểm SA, N chạy trên cạnh SB (kể cả hai đầu mút). Có bao nhiêu vị trí của N để MN ∥ (ABCD)?
Giao tuyến song song và thiết diện
- 1Nhận biết
Cho d ∥ (P), d ⊂ (Q), (P) ∩ (Q) = a. Khi đó
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với
- 3Thông hiểu Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, AB = 8. Mặt phẳng (α) qua trung điểm M của SA, AB ∥ (α), AD ∥ (α), cắt SB tại N. Khi đó MN = .
- 4Thông hiểu Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, AB = 9. Mặt phẳng (α) qua M ∈ SA với SM/SA = 13, AB ∥ (α), AD ∥ (α), cắt SB tại N. Khi đó MN = .
- 5Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB ∥ CD, AD không song song BC, AB > CD). Mặt phẳng (α) qua trung điểm M của SA, AB ∥ (α), AD ∥ (α), cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Thiết diện MNPQ là
Bẫy: chéo nhau, song song mặt
- 1Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M, N là trung điểm SA, SB. Vị trí của MN và BC là
- 2Vận dụng
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. M là trung điểm SA. Đường thẳng SC và mặt phẳng (MBD)
- 3Thông hiểu Cho tứ diện ABCD. Có mặt phẳng chứa AB và song song với CD.
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. M, N là trung điểm SA, SB. Mệnh đề nào sai?
- 2Vận dụng
Tứ diện ABCD. M ∈ AB với AM/AB = 12, N ∈ AC với AN/AC = 23. Gọi I = MN ∩ BC. Khẳng định đúng là
- 3Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Đường thẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (SBC)?
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a)MN ∥ AB.
b)MN ∥ (SAD).
c)MN ∥ (SCD).
d)MN song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
- 2Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 6. Gọi M là trung điểm SA, N là điểm trên cạnh SB với SN/SB = 13. Gọi I là giao điểm của MN và AB.
a)MN ∥ (ABCD).
b)Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB.
c)A là trung điểm của đoạn IB.
d)IA = 12.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, AB = 6, AD = 4. M là trung điểm SA. Mặt phẳng (α) qua M, AB ∥ (α), AD ∥ (α) cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Tính chu vi hình bình hành MNPQ. Đáp số:
- 2Vận dụng Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, AB = 6. M ∈ SA, N ∈ SB với SM/SA = 13, SN/SB = 12. Gọi I = MN ∩ AB. Tính IA. Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu chứng minh d ∥ (P) trong hình chóp đáy hình bình hành hoặc tứ diện. Điểm hay mất nhất là quên nêu d ⊄ (P).
- •Trắc nghiệm hay hỏi "đường nào song song mặt phẳng nào" và "mệnh đề nào sai", thường có sẵn đáp án gài MN cắt mặt phẳng tại đầu mút hoặc MN nằm trong mặt phẳng.
- •Chủ đề là nền cho khoảng cách ở lớp 11 (d ∥ (P) thì d(d, (P)) = d(A, (P)) với A ∈ d) và có thể gặp lại ở lớp 12 dưới dạng vectơ chỉ phương vuông góc vectơ pháp tuyến cùng một điểm không thuộc mặt phẳng.
Hai mặt phẳng song song