Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Dùng công thức nhân P(A ∩ B) = P(A)·P(B) cho các biến cố độc lập; phân biệt lấy có hoàn lại với không hoàn lại; giải bài “ít nhất một” bằng biến cố đối và bài nhiều bộ phận.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 30
⚡ Nhớ nhanh
- 1Công thức nhân: A, B độc lập thì P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Mở rộng cho nhiều biến cố độc lập: nhân tất cả các xác suất.
- 2Chỉ nhân khi độc lập. Dấu hiệu trong đề: các phép thử tách rời (tung nhiều lần, nhiều người bắn riêng, lấy có hoàn lại).
- 3Không hoàn lại (hay lấy cùng lúc): thành phần hộp đã đổi nên hai lần không độc lập. Lớp 11 tính bằng đếm (định nghĩa cổ điển), không nhân các xác suất ban đầu.
- 4“Ít nhất một”: đi qua biến cố đối. P = 1 − P(không có cái nào), và “không có cái nào” là một phép nhân.
- 5Nhân nhiều xác suất ≤ 1 thì kết quả nhỏ đi: hệ nhiều bộ phận nối tiếp rất dễ hỏng.
👀 Nhìn là hiểu
Cây hai tầng 10 bi (3 đỏ): bấm “Có hoàn lại” thấy hai tầng đều là 0,3 và P(cả hai đỏ) = 0,09; sang “Không hoàn lại” nhánh đổi thành 2/9, 7/9, 3/9, 6/9 và P = 1/15, nhân 0,3·0,3 lúc này là bẫy. Nút “Ít nhất một đỏ” (0,51) và “Máy 3 bộ phận” (0,504; bẫy cộng 0,6) chạy cùng cây.
P(cả hai đỏ) = 0,3 · 0,3 = 0,09
Bốn nhánh cộng lại = 1
Có hoàn lại: cả hai đỏ
Bỏ bi lại vào hộp nên lần 2 vẫn 3 đỏ / 10: hai lần độc lập. P(cả hai đỏ) = P(đỏ lần 1)·P(đỏ lần 2) = 0,3 · 0,3 = 0,09.
1 ✖️ Công thức nhân
Cần nhớ
- ✦Hai biến cố A, B độc lập khi A xảy ra hay không không làm đổi khả năng của B (và ngược lại). Khi đó P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
- ✦Ví dụ: tung đồng xu hai lần, P(cả hai ngửa) = 12 · 12 = 14.
- ✦Mở rộng: nhiều biến cố độc lập thì P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₙ) = P(A₁)·P(A₂)·…·P(Aₙ). Ví dụ: tung xúc xắc 3 lần, cả ba lần ra 6 có xác suất (16)³ = 1216.
- ✦“Và”, “cả hai”, “đồng thời” là giao các biến cố. Chữ “và” chưa đủ để nhân: phải độc lập.
Dạng bài
Tính xác suất của giao các biến cố độc lập
- 1 Đặt tên biến cố cho từng bước (A₁: lần 1 ..., A₂: lần 2 ...) và tính xác suất riêng của từng biến cố.
- 2 Kiểm tra độc lập: các phép thử tách rời, hoặc lấy có hoàn lại. Không độc lập thì dừng, chuyển sang đếm.
- 3 Nhân các xác suất.
- 4 Thử lại: kết quả không lớn hơn thừa số nhỏ nhất (cả hai xảy ra khó hơn từng việc riêng).
⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thay vì nhân: 0,3 + 0,3 = 0,6, lớn hơn cả xác suất “một lần đỏ” (0,3) là vô lí. “Cả hai” là giao, phải nhân.
Hộp có 10 viên bi, trong đó 3 viên đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên, ghi màu rồi bỏ lại vào hộp, sau đó lấy tiếp một viên (lấy 2 lần có hoàn lại). Tính xác suất cả hai viên đều đỏ.
Hướng dẫn giải
Từ khoá trong đề
| Đề nói | Phép làm |
|---|---|
| “cả hai”, “đồng thời”, “và” (độc lập) | Nhân xác suất |
| “hoặc” (bài công thức cộng) | Cộng, rồi trừ phần chung |
| “ít nhất một” | Lấy 1 trừ xác suất “không có cái nào” |
2 🔁 Có hoàn lại và không hoàn lại
Cần nhớ
- ✦Có hoàn lại: hộp trở về như cũ ⇒ các lần lấy độc lập ⇒ nhân.
- ✦Không hoàn lại (hoặc lấy cùng lúc): viên đã lấy không quay lại, thành phần hộp đổi ⇒ hai lần không độc lập ⇒ không nhân các xác suất ban đầu.
- ✦Cách làm ở lớp 11: đếm. Lần 1 có 10 cách, lần 2 còn 9 cách ⇒ 10·9 kết quả có thứ tự. Cả hai đỏ: 3 cách cho lần 1, 2 cách cho lần 2 ⇒ 3·2. Vậy P = 3·210·9.
- ✦Lên lớp 12 sẽ có cách khác (xác suất có điều kiện). Bây giờ chỉ cần nhớ: không hoàn lại thì đếm.
Dạng bài
Lấy lần lượt không hoàn lại: tính bằng đếm
- 1 Đếm số kết quả có thứ tự: lần 1 có N cách, lần 2 còn N − 1 cách ⇒ N·(N − 1).
- 2 Đếm số kết quả thuận lợi theo từng lần, lần sau đã bị lần trước lấy mất bớt.
- 3 P = số kết quả thuận lợi / số kết quả có thứ tự.
- 4 Thử lại: kết quả nhỏ hơn cách có hoàn lại (đỏ đã bị lấy mất một viên).
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân 0,3·0,3 = 0,09 cho cách không hoàn lại là sai: lúc lấy lần hai hộp chỉ còn 9 bi, trong đó 2 đỏ (tỉ lệ 29, không phải 310). Đáp số đúng là 115, không phải 0,09.
Vẫn hộp 10 bi, 3 đỏ. Lần này lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất cả hai viên đều đỏ.
Hướng dẫn giải
Một chữ “hoàn lại” đổi cả bài (hộp 10 bi, 3 đỏ)
| Cách lấy | Độc lập? | P(cả hai đỏ) |
|---|---|---|
| Có hoàn lại | Có | 0,3 · 0,3 = 0,09 |
| Không hoàn lại | Không | 3·210·9 = 115 |
| Lấy cùng lúc 2 viên | Giống không hoàn lại | 115 |
3 🔄 Bài “ít nhất một” và biến cố đối
Cần nhớ
- ✦Biến cố đối: P(đối của A) = 1 − P(A). Ví dụ: P(đỏ) = 0,3 thì P(không đỏ) = 0,7.
- ✦Nếu A, B độc lập thì mọi cặp còn lại cũng độc lập: với B, A với , với . Nhờ vậy nhân được các xác suất “không xảy ra”.
- ✦Đối của “ít nhất một lần đỏ” là “không có lần nào đỏ”.
- ✦P(ít nhất một) = 1 − P(không có cái nào) = 1 − (tích các xác suất “không”).
Dạng bài
Giải bài “ít nhất một”
- 1 Gọi biến cố cần tính, viết biến cố đối là “không có cái nào xảy ra”.
- 2 Tính xác suất “không” của từng lần/từng người, rồi nhân (độc lập).
- 3 P(cần tìm) = 1 − tích vừa tính.
- 4 Thử lại: kết quả lớn hơn xác suất của một lần riêng lẻ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết P(ít nhất một đỏ) = 0,3 + 0,3 = 0,6. Cách này tính ô “đỏ–đỏ” (0,09) tới hai lần, nên ra 0,6 thay vì 0,51. Muốn cộng thì phải trừ phần chung (xem bài công thức cộng).
Hộp 10 bi, 3 đỏ. Lấy 2 lần có hoàn lại. Tính xác suất có ít nhất một viên đỏ.
Hướng dẫn giải
Phải xét nhiều trường hợp: một đỏ (hai cách), hai đỏ... Dễ sót, dễ cộng trùng.
Chỉ một phép nhân rồi lấy 1 trừ đi. Nhanh, ít sai, dùng khi thấy “ít nhất”.
4 ⚙️ Bài nhiều bộ phận
Cần nhớ
- ✦Máy chạy khi tất cả bộ phận tốt (nối tiếp): P(chạy) = tích các P(tốt). P(ngừng) = 1 − P(chạy).
- ✦Hệ có máy dự phòng: chỉ ngừng khi tất cả đều hỏng. Ví dụ: hai máy, mỗi máy hỏng 0,1 ⇒ P(ngừng) = 0,1 · 0,1 = 0,01.
- ✦Càng nhiều bộ phận nối tiếp, P(chạy) càng nhỏ, dù mỗi bộ phận đều rất tốt.
- ✦Không lấy tổng các xác suất hỏng làm xác suất ngừng: các bộ phận có thể cùng hỏng nên phần chung bị tính nhiều lần.
Dạng bài
Tính xác suất máy chạy / máy ngừng
- 1 Đổi mỗi xác suất hỏng thành xác suất tốt: 1 − P(hỏng).
- 2 “Chạy suốt” là giao của các biến cố tốt (độc lập) ⇒ nhân.
- 3 “Ngừng” là biến cố đối của “chạy suốt” ⇒ 1 − P(chạy).
- 4 Thử lại: P(chạy) + P(ngừng) = 1, và P(chạy) không lớn hơn xác suất tốt nhỏ nhất.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng các xác suất hỏng: 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6 và cho rằng máy ngừng với xác suất 0,6. Con số đúng là 0,496: khi có hai hoặc ba bộ phận cùng hỏng, trường hợp ấy bị cộng thừa.
Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng trong tháng lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3. Máy ngừng khi có ít nhất một bộ phận hỏng. Tính xác suất máy chạy suốt tháng và xác suất máy ngừng.
Hướng dẫn giải
Nối tiếp và dự phòng
| Hệ | Khi nào ngừng | Cách tính |
|---|---|---|
| Nối tiếp (máy 3 bộ phận) | Có ít nhất một bộ phận hỏng | 1 − tích các P(tốt) |
| Dự phòng (2 máy song song) | Cả hai máy đều hỏng | Tích các P(hỏng) |
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Đọc đề, gạch chân chữ “hoàn lại” hoặc “cùng lúc” trước khi tính. Có hoàn lại thì nhân, không hoàn lại thì đếm.
- ✦Thấy “ít nhất một” thì viết ngay 1 − (…): chỉ một phép nhân.
- ✦Kết quả của phép nhân phải nhỏ hơn mọi thừa số. Đáp án lớn hơn thừa số nào đó là loại.
- ✦Lấy không hoàn lại cả hai đều “đỏ” luôn nhỏ hơn có hoàn lại (vì đỏ bị lấy mất): dùng để loại đáp án.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Thấy “và” là nhân dù không độc lập. Ví dụ: không hoàn lại, 310 · 310 = 0,09 sai, đúng là 115.
- ✦Coi lấy cùng lúc như có hoàn lại. Ngược lại: cùng lúc giống không hoàn lại, vì một viên đã lấy thì không lấy lại được.
- ✦Cộng xác suất khi cần nhân: “cả hai đỏ” = 0,3 + 0,3 = 0,6 sai, đúng là 0,09.
- ✦Bài “ít nhất một” mà cộng các xác suất: 0,3 + 0,3 = 0,6 trong khi đáp số đúng là 0,51.
- ✦Xác suất máy ngừng bằng 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6 sai: đúng là 1 − 0,9·0,8·0,7 = 0,496.
- ✦Quên đổi “hỏng” thành “tốt”: nhân 0,1·0,2·0,3 = 0,006 là xác suất cả ba cùng hỏng, không phải máy chạy.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Dùng máy như máy tính thường: nhân chuỗi 0,9 × 0,8 × 0,7, rồi lấy 1 trừ kết quả. Bấm xong đọc lại đề xem có đổi “hỏng” thành “tốt” chưa.
- ✦Phân số của cách đếm 3·210·9: bấm tử và mẫu trong ngoặc rồi chia, thử lại dạng phân số bằng chế độ hiển thị phân số.
- ✦Máy không biết lấy có hoàn lại hay không: bước phân biệt này làm ở trên giấy.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Công thức nhân
- 1Nhận biết
Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A ∩ B) bằng
- 2Nhận biết A và B độc lập, P(A) = 0,4 và P(B) = 0,5. Khi đó P(A ∩ B) = .
- 3Thông hiểu
Tung hai đồng xu cân đối. Xác suất cả hai đều ngửa là
- 4Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối hai lần. Xác suất cả hai lần đều ra mặt 6 chấm là
- 5Thông hiểu Hai xạ thủ bắn độc lập vào cùng một bia, xác suất trúng của hai người là 0,9 và 0,8. Xác suất cả hai cùng trúng là .
- 6Vận dụng
Tung một con xúc xắc cân đối ba lần. Xác suất cả ba lần đều ra số chẵn là
Có hoàn lại và không hoàn lại
- 1Nhận biết
Hộp có nhiều bi. Lấy lần lượt hai bi có hoàn lại. Hai lần lấy độc lập vì
- 2Thông hiểu Hộp có 10 viên bi, trong đó 4 viên đỏ. Lấy lần lượt hai viên có hoàn lại. Xác suất cả hai đều đỏ là .
- 3Thông hiểu
Hộp có 10 viên bi, trong đó 3 viên đỏ. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại. Xác suất cả hai đều đỏ là
- 4Thông hiểu
Hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại. Xác suất cả hai đều xanh là
- 5Vận dụng
Hộp có 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại. Xác suất hai viên khác màu là
- 6Thông hiểu Hộp có 10 viên bi, trong đó 4 viên đỏ. Lấy lần lượt hai viên có hoàn lại. Xác suất lần một đỏ, lần hai không đỏ là .
Bài “ít nhất một”
- 1Nhận biết
Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biến cố đối của A và biến cố B có độc lập không?
- 2Thông hiểu Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng là 0,9 và 0,8. Xác suất cả hai cùng trượt là .
- 3Thông hiểu
Tung một con xúc xắc cân đối hai lần. Xác suất có ít nhất một lần ra mặt 6 chấm là
- 4Thông hiểu Hộp có 10 viên bi, trong đó 4 viên đỏ. Lấy lần lượt hai viên có hoàn lại. Xác suất có ít nhất một viên đỏ là .
- 5Vận dụng Một xạ thủ mỗi lần bắn trúng bia với xác suất 0,8, các lần bắn độc lập. Bắn ba lần, xác suất có ít nhất một lần trúng là .
- 6Vận dụng
Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng là 0,7 và 0,6. Xác suất có đúng một người trúng là
Bài nhiều bộ phận
- 1Thông hiểu Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng trong tháng là 0,1; 0,1 và 0,2. Máy chạy suốt tháng khi cả ba bộ phận đều tốt. Xác suất máy chạy suốt tháng là .
- 2Thông hiểu
Một máy có hai bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng là 0,1 và 0,2. Máy ngừng khi có ít nhất một bộ phận hỏng. Xác suất máy ngừng là
- 3Vận dụng
Một nhà máy có hai máy phát điện dự phòng chạy độc lập, mỗi máy hỏng với xác suất 0,1. Nhà máy mất điện khi cả hai máy cùng hỏng. Xác suất mất điện là
- 4Vận dụng Máy có ba bộ phận độc lập, xác suất hỏng 0,1; 0,2; 0,3. Xác suất có đúng một bộ phận hỏng là .
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy lần lượt hai viên có hoàn lại. Xác suất cả hai viên đều xanh là
- 2Vận dụng
Hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại. Xác suất hai viên khác màu là
- 3Vận dụng
Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng là 0,1; 0,2; 0,5. Máy ngừng khi có ít nhất một bộ phận hỏng. Xác suất máy ngừng là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Hộp có 10 viên bi, trong đó 3 viên đỏ và 7 viên xanh. Lấy lần lượt hai viên.
a)Lấy có hoàn lại thì xác suất cả hai viên đều đỏ là 0,09.
b)Lấy không hoàn lại thì xác suất cả hai viên đều đỏ cũng bằng 0,09.
c)Lấy không hoàn lại thì xác suất cả hai viên đều xanh là 715.
d)Lấy có hoàn lại thì xác suất có ít nhất một viên đỏ là 0,6.
- 2Vận dụng
Ba cầu thủ ném phạt độc lập, xác suất ném trúng của ba người lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,5. Mỗi người ném một quả.
a)Xác suất cả ba cùng trúng là 0,28.
b)Xác suất cả ba cùng trượt là 0,03.
c)Xác suất có ít nhất một người trúng là 0,72.
d)Xác suất có đúng một người trúng là 0,12.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Tung một con xúc xắc cân đối ba lần. Tính xác suất không lần nào ra mặt 6 chấm, làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:
- 2Vận dụng Một xạ thủ mỗi lần bắn trúng với xác suất 0,5, các lần bắn độc lập. Cần bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần trúng lớn hơn 0,95? Đáp số:
- 3Vận dụng Hộp có n viên bi, trong đó 2 viên đỏ. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại, xác suất cả hai đều đỏ là 115. Tìm n. Đáp số: n =
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Phần I thường cho một hộp bi hoặc hai xạ thủ và hỏi xác suất giao hay “ít nhất một”. Dễ sai ở chỗ không nhận ra “hoàn lại” hay “cùng lúc”.
- •Phần II hay có một đề dẫn với nhiều ý: cùng một bài nhưng khi có hoàn lại, khi không hoàn lại, hoặc xét ý “ít nhất một” và “đúng một”.
- •Bài này là nền cho xác suất có điều kiện, công thức nhân tổng quát, công thức xác suất toàn phần và Bayes ở lớp 12; bài kiểm tra trên lớp có thể hỏi máy nhiều bộ phận, dạng 1 − (…).
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm