Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. 1 Viết tỉ số $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ với số cụ thể của x₀.
2. 2 Khai triển tử, rút gọn cho h (được phép vì h ≠ 0) cho tới khi hết dạng 00.
3. 3 Cho h → 0 trong biểu thức đã rút gọn, đọc kết quả.
4. 4 Thử lại: tính tỉ số với h = 0,01 và h = −0,01 xem có gần kết quả không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thay h = 0 ngay vào $\frac{(1+h{)}^2-1}{h}$ ra 00, vô nghĩa. Phải rút gọn thành 2 + h trước, rồi mới cho h → 0.

1. 1 Viết tỉ số, quy đồng tử số.
2. 2 Rút gọn h ở tử và mẫu.
3. 3 Cho h → 0 và thử lại bằng một giá trị h nhỏ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hàm giảm thì f′ âm. Bỏ sót dấu trừ khi quy đồng (1 − (1 + h) = −h, không phải h) là lỗi hay gặp.

1. 1 Tính y₀ = f(x₀).
2. 2 Tính k = f′(x₀) bằng định nghĩa (tỉ số rồi cho h → 0).
3. 3 Thay vào y = k(x − x₀) + y₀ và rút gọn.
4. 4 Thử lại: thay x = x₀ vào tiếp tuyến phải ra y₀.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn x₀ = 1 làm tung độ, hoặc nhầm k = f(1) = 1. Ở đây f(1) = 1 còn f′(1) = 2: hai số khác nhau, và đáp án khác hẳn.

1. 1 y₀ = f(x₀), k = f′(x₀) bằng định nghĩa.
2. 2 Viết tiếp tuyến.
3. 3 Cho hoành độ giao điểm: giải f(x) = tiếp tuyến. Nghiệm kép là tiếp điểm, nghiệm còn lại là giao điểm thứ hai.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ tiếp tuyến chỉ chạm đồ thị đúng một điểm (như với đường tròn). Với x³, tiếp tuyến tại 1 cắt lại đồ thị tại x = −2. Tiếp tuyến chỉ nói độ dốc trùng nhau tại tiếp điểm.

1. 1 Tính tỉ số cho h > 0 bằng công thức bên phải x₀, cho h < 0 bằng công thức bên trái.
2. 2 Cho h → 0⁺ và h → 0⁻.
3. 3 Hai giới hạn bằng nhau thì f′(x₀) bằng số đó; khác nhau thì không có đạo hàm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ tính một phía rồi kết luận f′(0) = 0. Hàm đổi công thức tại x₀ bắt buộc xét cả hai phía.

1. 1 Tính s(t₀) và s(t₀ + h).
2. 2 Lập tỉ số $\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$, rút gọn.
3. 3 Cho h → 0, được v(t₀).
4. 4 Thử lại: so với vận tốc trung bình trên khoảng thật ngắn (h = 0,01).

⚠️ Bẫy hay gặp: Ba số hay bị nhầm: s(2) = 20 là quãng đường (m); s22 = 10 là vận tốc trung bình từ lúc 0 đến 2; v(2) = 20 mới là vận tốc tức thời. Cùng "20" nhưng khác đơn vị và khác ý nghĩa.