Chủ đề 20 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Nêu tập xác định, tập giá trị, chiều biến thiên của y = aˣ và y = logₐ x; thấy hai đồ thị đối xứng qua y = x; dùng cơ số để so sánh hai số và tìm tập xác định.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 20

⚡ Nhớ nhanh

1Hàm mũ y = aˣ (0 < a ≠ 1): xác định với mọi x, giá trị luôn dương: D = ℝ, T = (0; +∞). Đồ thị luôn qua (0; 1).
2Hàm lôgarit y = logₐ x: chỉ xác định khi x > 0, nhưng giá trị là mọi số thực: D = (0; +∞), T = ℝ. Đồ thị luôn qua (1; 0).
3Hai hàm ngược nhau nên hai đồ thị đối xứng qua đường y = x; tập xác định và tập giá trị đổi vai cho nhau.
4Cơ số quyết định chiều: a > 1 thì cả hai hàm đồng biến; 0 < a < 1 thì cả hai nghịch biến (đảo chiều bất đẳng thức).
5Tìm tập xác định của logₐ(biểu thức): chỉ đặt điều kiện biểu thức > 0, không đặt điều kiện lên x.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo thanh a để thấy y = aˣ và y = logₐ x soi gương qua đường y = x: điểm (0; 1) của hàm mũ ứng với (1; 0) của hàm lôgarit. Bấm a = 1/2 để so sánh (1/2) mũ 2,5 với (1/2)³, rồi bấm a = 1 để gặp bẫy: đó không phải hàm mũ.

━ y = a^x · ━ y = logₐ x · ┅ y = x

a = 1/2 x₀ = 2,5

Hai hàm nghịch biến (a < 1)

M(2,5; 0,177) ↔ M′(0,177; 2,5)

(1/2)^2,5 ≈ 0,177 > (1/2)³ = 0,125

a = 1/2: so sánh

0 < 1/2 < 1 nên y = (1/2)ˣ nghịch biến: x lớn hơn thì y nhỏ hơn. 2,5 < 3 ⇒ (1/2)^2,5 > (1/2)³ = 0,125. Hai chấm trên đường xanh: chấm bên trái nằm cao hơn.

1 📈 Hàm số mũ y = aˣ

Cần nhớ (0 < a ≠ 1)

✦Tập xác định ℝ, tập giá trị (0; +∞): aˣ > 0 với mọi x. Ví dụ: 2⁻¹⁰ = 11024 > 0.
✦Đồ thị luôn qua (0; 1) vì a⁰ = 1, và có tiệm cận ngang là trục hoành: tiến sát mà không chạm, vì aˣ = 0 vô nghiệm.
✦a > 1: đồng biến trên ℝ, x càng lớn y càng lớn. Ví dụ: 2² = 4 < 2³ = 8.
✦0 < a < 1: nghịch biến trên ℝ, x càng lớn y càng nhỏ. Ví dụ: (12)² = 14 > (12)³ = 18.

Dạng bài

So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số

1 Xem cơ số a nằm ở khoảng nào: a > 1 hay 0 < a < 1.
2 So sánh hai số mũ.
3 a > 1 thì giữ chiều; 0 < a < 1 thì đảo chiều rồi viết kết luận.
4 Thử lại bằng trực giác hoặc một cặp số mũ nguyên gần đó.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy 2,5 < 3 rồi viết $(\frac{1}{2})^{2, 5}$ < (12)³ là sai. Với cơ số 12 < 1 thì (12)² = 0,25 > (12)³ = 0,125 dù 2 < 3.

⚖️

Làm mẫu

So sánh $A = (\frac{1}{2})^{2, 5}$ và $B = (\frac{1}{2})^{3}$ mà không tính giá trị.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm cơ số khi biết đồ thị đi qua một điểm

1 Thay toạ độ điểm vào y = aˣ để được một phương trình theo a.
2 Giải với điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (loại nghiệm âm).
3 Nhìn a so với 1 để kết luận đồng biến hay nghịch biến.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên điều kiện a > 0 nên giữ cả a = −13: (−13)ˣ không xác định tại x = 12, không phải hàm mũ.

🎯

Làm mẫu

Đồ thị y = aˣ đi qua A(2; 19). Tìm a và cho biết hàm đồng biến hay nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Cơ số quyết định hình dạng của y = aˣ

	a > 1 (vd. 2ˣ)	0 < a < 1 (vd. (1/2)ˣ)
Chiều biến thiên	Đồng biến	Nghịch biến
x → +∞	y → +∞	y → 0 (sát trục hoành)
x → −∞	y → 0 (sát trục hoành)	y → +∞
Điểm chung	(0; 1)	(0; 1)

2 📉 Hàm số lôgarit y = logₐ x

Cần nhớ (0 < a ≠ 1)

✦Tập xác định (0; +∞), tập giá trị ℝ. Ví dụ: log₂ 8 = 3, log₂(18) = −3 đều có nghĩa, còn log₂ 0 và log₂(−1) thì không.
✦Đồ thị luôn qua (1; 0) vì logₐ 1 = 0, và có tiệm cận đứng là trục tung: nằm hẳn bên phải trục tung.
✦a > 1: đồng biến trên (0; +∞). Ví dụ: log₂ 3 ≈ 1,585 < log₂ 5 ≈ 2,322.
✦0 < a < 1: nghịch biến trên (0; +∞). Ví dụ: log₁/₂ 2 = −1 > log₁/₂ 4 = −2.

Dạng bài

Tìm tập xác định của y = logₐ(u(x))

1 Chỉ đặt điều kiện u(x) > 0 (cơ số a là số cho trước, đã thoả 0 < a ≠ 1).
2 Phân tích u(x) thành tích rồi xét dấu.
3 Chọn khoảng làm u(x) dương và viết tập xác định.
4 Thử lại bằng một số trong mỗi khoảng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết −2 < x < 2 là nhầm chiều: x = 0 làm x² − 4 = −4 âm. Thêm điều kiện "x > 0" cũng sai: điều kiện đặt lên đối số x² − 4, không đặt lên x (x = −3 vẫn dùng được).

📋

Làm mẫu

Tìm tập xác định của hàm số y = log₃(x² − 4).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

So sánh hai lôgarit cùng cơ số

1 Xem cơ số: a > 1 hay 0 < a < 1.
2 So sánh hai đối số (đều phải dương).
3 a > 1 giữ chiều; 0 < a < 1 đảo chiều.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên đảo chiều ở cơ số 12: 3 < 5 nhưng log₁/₂ 3 ≈ −1,585 lại lớn hơn log₁/₂ 5 ≈ −2,322.

⚖️

Làm mẫu

So sánh log₂ 3 với log₂ 5, rồi so sánh log₁/₂ 3 với log₁/₂ 5.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🪞 Hai hàm ngược nhau: đồ thị soi gương

Cần nhớ

✦logₐ(aˣ) = x và $a^{l o g_{a} x} = x$ : hai phép toán này triệt tiêu nhau, nên y = aˣ và y = logₐ x là hai hàm ngược.
✦Điểm (m; n) thuộc y = aˣ ⇔ điểm (n; m) thuộc y = logₐ x. Ví dụ: M(1; 2) thuộc y = 2ˣ thì M′(2; 1) thuộc y = log₂ x vì log₂ 2 = 1.
✦Hai đồ thị đối xứng qua đường phân giác y = x: hoành độ và tung độ đổi chỗ cho nhau.
✦Vì vậy tập xác định và tập giá trị đổi vai: hàm mũ cho ra giá trị dương, nên hàm ngược của nó chỉ nhận vào giá trị dương.

Mỗi dòng là một cặp soi gương

	y = aˣ	y = logₐ x
Tập xác định	ℝ	(0; +∞)
Tập giá trị	(0; +∞)	ℝ
Điểm luôn đi qua	(0; 1)	(1; 0)
Tiệm cận	Trục hoành (ngang)	Trục tung (đứng)
a > 1	Đồng biến	Đồng biến
0 < a < 1	Nghịch biến	Nghịch biến

Dạng bài

Tìm cơ số hoặc điểm nhờ tính đối xứng

1 Viết điều kiện đi qua điểm: hàm lôgarit qua (p; q) nghĩa là a mũ q bằng p.
2 Giải phương trình đó với a > 0, a ≠ 1.
3 Muốn điểm thuộc hàm kia thì đổi chỗ hai toạ độ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chép nguyên (8; 3) sang hàm mũ: 2⁸ = 256 ≠ 3, không thuộc y = 2ˣ. Phải đổi chỗ thành (3; 8).

🪞

Làm mẫu

Đồ thị y = logₐ x đi qua B(8; 3). Tìm a rồi viết một điểm thuộc y = aˣ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎛️ Bài có tham số ở cơ số

Cần nhớ

✦Cơ số phải thoả 0 < a ≠ 1. Khi cơ số chứa tham số, bước đầu là viết điều kiện này.
✦Đồng biến ⇔ cơ số > 1. Nghịch biến ⇔ 0 < cơ số < 1.
✦Biết bất đẳng thức giữa hai luỹ thừa thì suy ngược ra cơ số: $a^{3} < a^{2}$ mà √3 > √2 ⇒ hàm nghịch biến ⇒ 0 < a < 1.

Dạng bài

Tìm tham số để hàm y = (u)ˣ nghịch biến

1 Cơ số là u (biểu thức theo tham số). Cần 0 < u < 1.
2 Giải hai bất phương trình u > 0 và u < 1 rồi lấy phần chung.
3 Thử lại ở đầu mút (u = 0, u = 1) và một giá trị bên trong.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ giải 2a − 3 < 1 ⇒ a < 2 rồi chọn a = 1: cơ số 2·1 − 3 = −1 âm, không phải hàm mũ. Phải kèm cơ số > 0.

🎛️

Làm mẫu

Tìm a để hàm số y = (2a − 3)ˣ nghịch biến trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

📈 Cơ số > 1

Số mũ (hay đối số) lớn hơn thì giá trị lớn hơn. Giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

📉 Cơ số trong (0; 1)

Số mũ (hay đối số) lớn hơn thì giá trị nhỏ hơn. Đảo chiều bất đẳng thức. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của chương.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đọc cơ số trước khi so sánh: lớn hơn 1 thì giữ chiều, nhỏ hơn 1 thì đảo chiều.
✦Tập giá trị của aˣ + k là (k; +∞), của aˣ luôn là (0; +∞); đừng chọn đáp án có số 0 hoặc số âm cho aˣ.
✦Tìm tập xác định log: viết đối số > 0, giải bất phương trình, không thêm điều kiện nào khác.
✦Đồ thị qua điểm (p; q): thay vào y = aˣ (hàm mũ) hoặc đổi chỗ toạ độ rồi thay (hàm lôgarit) để loại đáp án nhanh.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng aˣ nhận giá trị âm. Sai: 2⁻¹⁰ = 11024 > 0, đồ thị nằm trọn phía trên trục hoành.
✦Nghĩ logₐ x xác định với mọi x vì aˣ xác định với mọi x. Ngược lại: log₂(−4) không có nghĩa.
✦Viết $a^{u} > a^{v}$ ⇒ u > v với mọi a. Phản ví dụ: (12)² > (12)³ mà 2 < 3.
✦Giải log₃(x² − 4) xác định thành −2 < x < 2. Đúng là x < −2 hoặc x > 2; x = 0 làm đối số bằng −4.
✦Coi y = 1ˣ là hàm mũ. Sai: 1ˣ = 1 với mọi x, là hàm hằng nên cơ số phải khác 1.
✦Chép toạ độ sang hàm ngược mà không đổi chỗ: (3; 8) thuộc y = 2ˣ thì (8; 3) mới thuộc y = log₂ x.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = 0,5ˣ, cho x chạy từ −3 đến 3 để thấy cột giá trị giảm; nhập 2ˣ thì cột tăng, mọi giá trị đều dương.
✦Phím lôgarit cơ số tuỳ ý (logₐ b): nhập cơ số và đối số để so sánh hai lôgarit; thử cả cơ số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1.
✦Muốn thử tập xác định: nhập log của đối số tại một số trong mỗi khoảng, máy báo lỗi ở chỗ đối số ≤ 0.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📈

Hàm số mũ

1
Nhận biết
Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
2
Thông hiểu
Tập xác định và tập giá trị của hàm số y = 5ˣ là
3
Thông hiểu
Hàm số nào nghịch biến trên ℝ?
4
Thông hiểu Đồ thị hàm số y = aˣ (a > 0) đi qua điểm (2; 9) thì a = .
5
Nhận biết
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2ˣ là
6
Thông hiểu
Tập giá trị của hàm số y = 2ˣ − 1 là

📉

Hàm số lôgarit và tập xác định

1
Nhận biết
Tập xác định của hàm số y = log₅ x là
2
Nhận biết Đồ thị hàm số y = log₇ x đi qua điểm (1; ).
3
Thông hiểu
Tập xác định của hàm số y = log₂(x − 3) là
4
Thông hiểu
Tập xác định của hàm số y = log₃(6 − 2x) là
5
Thông hiểu
Tập xác định của hàm số y = log₂(x² − 5x + 6) là
6
Vận dụng Có số nguyên x thuộc tập xác định của hàm số y = log₂(9 − x²).
7
Vận dụng
Hàm số y = log₂(x² − 2x + m) xác định với mọi x ∈ ℝ khi
8
Vận dụng
Tập xác định của hàm số $y = lo g_{3} \frac{x - 1}{x + 2}$ là

🪞

Hai hàm ngược, đồ thị đối xứng

1
Nhận biết
Đồ thị hàm số y = 2ˣ và y = log₂ x đối xứng nhau qua
2
Thông hiểu
Đồ thị hàm số y = 3ˣ đi qua M(2; 9). Khi đó đồ thị hàm số y = log₃ x đi qua điểm
3
Thông hiểu Đồ thị hàm số y = logₐ x đi qua điểm (8; 3) thì a = .
4
Vận dụng
Đồ thị hàm số y = logₐ x đi qua điểm (4; −2) thì a bằng

⚖️

So sánh bằng tính đơn điệu

1
Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?
2
Vận dụng
Cho a > 0, a ≠ 1 và $a^{3} < a^{2}$ . Khẳng định nào đúng?
3
Thông hiểu
Số lớn nhất trong các số log₂ 3, log₃ 2, log₂(13), 1 là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tập xác định của hàm số y = log₂(x² − 9) là
2
Vận dụng
Hàm số y = (a − 1)ˣ đồng biến trên ℝ khi
3
Thông hiểu
Cho 0 < a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây sai?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số f(x) = (12)ˣ.

a)Tập xác định của hàm số là ℝ.

b)Hàm số nghịch biến trên ℝ.

c)Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm.

d)f(−3) < f(−2).
2
Vận dụng
Cho hàm số y = log₂(x² − 3x + 2).

a)Điều kiện xác định là x² − 3x + 2 > 0.

b)Tập xác định của hàm số là khoảng (1; 2).

c)Giá trị của hàm số tại x = 3 bằng 1.

d)Trong đoạn [−1; 4] có đúng 2 số nguyên thuộc tập xác định.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Đồ thị hàm số y = aˣ đi qua điểm A(3; 18). Tính y tại x = −2. Đáp số:
2
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−5; 5] để hàm số y = log₂(x² − 2x + m) xác định với mọi x ∈ ℝ? Đáp số:
3
Vận dụng Tìm số nguyên x lớn nhất thoả mãn (12)ˣ > 5. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Kiểm tra trên lớp hay hỏi tập xác định của hàm lôgarit (đối số là tam thức bậc hai hoặc phân thức), so sánh hai luỹ thừa / hai lôgarit và tính đơn điệu theo cơ số.
•Bài sau (phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit) dùng đúng quy tắc đảo chiều khi cơ số nhỏ hơn 1 của bài này, nên nắm chắc bảng "cơ số quyết định chiều".
•Trong đề tốt nghiệp, hàm mũ và lôgarit có thể xuất hiện qua câu tìm tập xác định, bài tìm tham số để hàm xác định trên ℝ, hoặc câu đếm số giá trị nguyên: nhớ kiểm đầu mút.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit