Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Đọc được hình không gian (nét liền, nét đứt), biết các cách xác định mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và phân biệt cắt nhau, song song, chéo nhau.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 10
⚡ Nhớ nhanh
- 1Một mặt phẳng xác định bởi: 3 điểm không thẳng hàng · một đường thẳng và một điểm ngoài nó · hai đường thẳng cắt nhau · hai đường thẳng song song.
- 2Đường thẳng có hai điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng thì cả đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
- 3Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có cả một đường thẳng chung qua điểm ấy. Giao tuyến = nối hai điểm chung.
- 4Giao điểm của d với (P): đưa d vào một mặt phẳng phụ (Q), tìm a = (P) ∩ (Q), rồi lấy d ∩ a.
- 5Trong không gian hai đường thẳng có 3 vị trí: cắt nhau, song song, chéo nhau (không đồng phẳng). Không có điểm chung chưa chắc song song.
- 6Thói quen chống sai: bài giao tuyến phải chỉ rõ hai điểm chung và nói vì sao mỗi điểm thuộc cả hai mặt phẳng.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn hai mặt phẳng của tứ diện SABC: hình hiện 2 điểm chung rồi giao tuyến sáng lên. Bấm mẫu SC và AB: ở góc chuẩn trông như cắt nhau, xoay hình sẽ thấy chúng chéo nhau.
Kéo trên hình để xoay.
- Hai mặt: (SAM) và (ABC).
- Điểm chung thứ nhất: A là đỉnh của cả (SAM) lẫn (ABC).
- Điểm chung thứ hai: M ∈ BC ⊂ (ABC), và M là một điểm dựng nên (SAM).
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung là có cả một đường thẳng chung. Tìm đủ hai điểm chung là xong giao tuyến.
1 🧊 Mặt phẳng và cách đọc hình
Cần nhớ
- ✦4 cách xác định mặt phẳng: (1) ba điểm không thẳng hàng, (2) đường thẳng và điểm không thuộc nó, (3) hai đường thẳng cắt nhau, (4) hai đường thẳng song song.
- ✦Ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua, như vô số trang sách quay quanh một gáy.
- ✦A, B ∈ (P) ⇒ AB ⊂ (P). Ví dụ: A, B ∈ (SAB) nên cả đường AB nằm trong (SAB).
- ✦Nét liền – nét đứt: cạnh bị khối che ở phía sau vẽ nét đứt. Nét đứt vẫn là cạnh đầy đủ, không phải cạnh ngắn hơn hay phụ.
- ✦Kí hiệu: điểm thuộc đường ∈, đường nằm trong mặt phẳng ⊂, đường không nằm trong ⊄, giao ∩.
Dạng bài
Chứng minh một đường thẳng nằm trong mặt phẳng
- 1 Chỉ ra hai điểm phân biệt của đường thẳng.
- 2 Giải thích từng điểm thuộc mặt phẳng (vì nó là đỉnh, hoặc nằm trên một cạnh của mặt phẳng đó).
- 3 Kết luận theo tính chất: hai điểm của đường thẳng thuộc mặt phẳng thì cả đường thẳng thuộc mặt phẳng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "MN ⊂ (ABC)" là sai: M ∈ SA, M ≠ A nên M ∉ (ABC) (đường SA chỉ cắt (ABC) tại A). Một điểm nằm trên cạnh bên chưa chắc thuộc đáy.
Tứ diện SABC, M thuộc cạnh SA, N thuộc cạnh SB (M ≠ A, N ≠ B). Chứng minh MN ⊂ (SAB).
Hướng dẫn giải
Đếm mặt phẳng từ các điểm
| Cho | Số mặt phẳng qua 3 điểm | Vì sao |
|---|---|---|
| 4 điểm không đồng phẳng | 4 | Không có 3 điểm thẳng hàng, mỗi bộ 3 điểm cho 1 mặt phẳng: 4 bộ |
| 5 điểm, không có 4 điểm đồng phẳng | 10 | C(5; 3) = 10, hai bộ 3 điểm khác nhau không cho cùng một mặt phẳng |
| 3 điểm thẳng hàng | Vô số | Chỉ xác định một đường thẳng |
2 📐 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cần nhớ
- ✦Hai mặt phẳng phân biệt chỉ có hai khả năng: song song hoặc cắt nhau theo một đường thẳng. Không có chuyện chỉ chung đúng một điểm.
- ✦Muốn có giao tuyến phải có hai điểm chung phân biệt; nối chúng lại.
- ✦Mẹo nhìn nhanh: hai mặt phẳng ghi bằng ba chữ, hai kí hiệu chung hai chữ thì hai chữ ấy là hai điểm chung. Ví dụ: (ABC) và (ABD) chung A, B ⇒ giao tuyến AB.
- ✦Điểm chung thứ hai hay nằm ở chỗ hai đường thẳng cắt nhau: mỗi đường nằm trong một mặt phẳng.
Dạng bài
Tìm giao tuyến khi đã thấy hai điểm chung
- 1 Tìm điểm chung thứ nhất (thường là đỉnh dùng chung).
- 2 Tìm điểm chung thứ hai: điểm nằm trên một cạnh của mặt phẳng này và là điểm dựng nên mặt phẳng kia.
- 3 Nối hai điểm chung, viết kết luận (P) ∩ (Q) = ….
- 4 Thử lại: mỗi điểm chung phải thuộc cả hai mặt phẳng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ viết "giao tuyến là AM" mà không nêu hai điểm chung thì mất gần hết điểm: bài giao tuyến chấm ở chính hai bước tìm điểm chung.
Tứ diện SABC, M thuộc cạnh BC (M ≠ B, C). Tìm giao tuyến của (SAM) và (ABC).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Khi điểm chung thứ hai là giao của hai đường
- 1 Tìm điểm chung hiển nhiên (thường là đỉnh S).
- 2 Chọn một đường thẳng trong mặt phẳng này và một đường thẳng trong mặt phẳng kia, hai đường cắt nhau tại một điểm.
- 3 Giao điểm đó thuộc cả hai mặt phẳng. Nối lại thành giao tuyến.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE, không phải "SA" hay "SC": E ∈ AB ⊂ (SAB) và E ∈ CD ⊂ (SCD) mới là điểm chung thứ hai.
Hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Hướng dẫn giải
3 🎯 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cần nhớ
- ✦Đường thẳng d ⊄ (P) có nhiều nhất một điểm chung với (P): có hai điểm chung thì d ⊂ (P).
- ✦Không tìm giao điểm trực tiếp được: phải qua mặt phẳng phụ chứa d.
- ✦Mặt phẳng phụ nên chọn là mặt phẳng đã có sẵn trên hình (mặt bên, mặt chéo) chứa d.
- ✦Ba điểm cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì cùng nằm trên giao tuyến, tức là thẳng hàng.
Dạng bài
Tìm giao điểm của d và (P)
- 1 Chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa d.
- 2 Tìm giao tuyến a = (P) ∩ (Q) (hai điểm chung).
- 3 Trong (Q) lấy I = d ∩ a. Khi đó I = d ∩ (P).
- 4 Thử lại: I ∈ d và I ∈ a ⊂ (P) ✓.
⚠️ Bẫy hay gặp: Giả thiết "MN không song song AB" không thừa. Nếu MN ∥ AB thì MN và AB không có điểm chung; mọi điểm chung của MN với (ABC) phải nằm trên AB, nên MN không cắt (ABC), không có giao điểm.
Tứ diện SABC, M thuộc cạnh SA, N thuộc cạnh SB (M ≠ S, A; N ≠ S, B), MN không song song AB. Tìm giao điểm của MN với (ABC).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
- 1 Chỉ ra hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q).
- 2 Chứng minh từng điểm đều thuộc (P) và đều thuộc (Q).
- 3 Kết luận: cả ba điểm nằm trên giao tuyến (P) ∩ (Q) nên thẳng hàng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chứng minh "cùng nằm trên một mặt phẳng" là chưa đủ: ba điểm bất kì luôn đồng phẳng. Phải là cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Tứ diện SABC, M ∈ SA, N ∈ SB, P ∈ SC (khác S và các đỉnh còn lại). Giả sử MN ∩ AB = I, NP ∩ BC = J, MP ∩ AC = K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
4 🔀 Hai đường thẳng: cắt, song song hay chéo nhau
Ba vị trí của hai đường thẳng trong không gian
| Vị trí | Điểm chung | Cùng một mặt phẳng? |
|---|---|---|
| Cắt nhau | Đúng một | Có |
| Song song | Không có | Có |
| Chéo nhau | Không có | Không |
| Trùng nhau | Vô số | Có |
Cần nhớ
- ✦Trong mặt phẳng, không có điểm chung thì song song. Trong không gian còn khả năng thứ ba là chéo nhau.
- ✦Hình vẽ là hình chiếu: hai đường chéo nhau vẫn có thể chồng lên nhau trên giấy. Ví dụ: ở góc chuẩn, SC và AB của tứ diện SABC trông như cắt nhau ở giữa hình.
- ✦Cặp cạnh đối của tứ diện (AB – CD, AC – BD, AD – BC) luôn chéo nhau.
- ✦Hai đường thẳng đồng phẳng chỉ có hai khả năng: cắt nhau hoặc song song.
Dạng bài
Chứng minh hai đường chéo nhau (phản chứng)
- 1 Giả sử hai đường đồng phẳng, gọi mặt phẳng chứa chúng là (P).
- 2 Từ các điểm đã biết thuộc (P), suy ra thêm điểm khác thuộc (P) cho tới khi cả bốn đỉnh của tứ diện (hoặc đỉnh S cùng đáy) cùng thuộc (P).
- 3 Điều đó mâu thuẫn với hình đã cho. Kết luận hai đường chéo nhau.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy hai nét "giao nhau" trên hình mà kết luận cắt nhau là sai. Chỉ kết luận cắt nhau khi chứng minh được chúng đồng phẳng và có điểm chung.
Tứ diện SABC. Chứng minh SC và AB chéo nhau (dù trên hình vẽ trông như cắt nhau).
Hướng dẫn giải
Hai đường cùng nằm trong một mặt phẳng: cắt nhau (1 điểm chung) hoặc song song (0 điểm chung).
Không tìm được mặt phẳng nào chứa cả hai: chéo nhau. Chúng không cắt và cũng không song song.
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ghi bằng ba chữ: nhìn hai chữ chung trước, đó thường là hai điểm chung. (SAC) và (SBD) chỉ chung chữ S, phải tìm thêm O = AC ∩ BD.
- ✦Hai mặt bên không kề của hình chóp mà đáy có hai cạnh đối cắt nhau tại E: giao tuyến là đường nối đỉnh S với E.
- ✦Hỏi "chéo nhau": thử xem hai đường có cùng nằm trong một mặt của khối không. Không có thì rất có thể chéo nhau.
- ✦Đếm cặp cạnh chéo nhau của hình chóp: mỗi cạnh bên chéo với các cạnh đáy không chứa chân của nó.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Cho rằng hai đường không có điểm chung thì song song. Phản ví dụ: AB và CD của tứ diện ABCD chéo nhau.
- ✦Thấy hai đường cắt nhau trên hình vẽ là kết luận cắt nhau trong không gian. Phản ví dụ: SC và AB của tứ diện SABC.
- ✦Tưởng hai mặt phẳng có thể chỉ cắt nhau tại một điểm: có một điểm chung là có cả một đường thẳng chung.
- ✦Nói "ba điểm xác định một mặt phẳng" mà quên điều kiện không thẳng hàng.
- ✦Viết giao tuyến mà không chỉ ra hai điểm chung và lí do mỗi điểm thuộc cả hai mặt phẳng.
- ✦Tìm giao điểm của d với (P) mà không có mặt phẳng phụ, hoặc quên xét trường hợp d ∥ giao tuyến thì không có giao điểm.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Bài này gần như không cần tính. Máy chỉ hữu ích cho câu đếm: dùng chức năng tổ hợp (nCr) để đếm số bộ ba điểm, ví dụ 6 điểm cho C(6; 3) = 20.
- ✦Câu đếm vẫn phải kiểm điều kiện "không có 4 điểm đồng phẳng": nếu có thì hai bộ ba trùng một mặt phẳng và phải trừ bớt.
- ✦Hình học này thử lại bằng cách xoay hình: nét đứt đổi chỗ, hai đường "cắt nhau" trên hình tách ra thì chúng chéo nhau.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Mặt phẳng và các cách xác định
- 1Nhận biết
Cách nào dưới đây không xác định được một mặt phẳng duy nhất?
- 2Thông hiểu
Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đó?
- 3Thông hiểu Cho 5 điểm phân biệt, không có 4 điểm nào đồng phẳng. Số mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm đó là .
- 4Nhận biết
Cho hai điểm A, B thuộc mặt phẳng (P) và C là một điểm trên đường thẳng AB. Khẳng định đúng là
Tìm giao tuyến
- 1Nhận biết
Cho tứ diện ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là
- 2Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là
- 3Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác, AB cắt CD tại E. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
- 4Thông hiểu
Cho tứ diện SABC, M thuộc cạnh BC (M ≠ B, C). Giao tuyến của (SAM) và (SBC) là
- 5Thông hiểu Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung phân biệt A và B. Số điểm chung của hai mặt phẳng nằm ngoài đường thẳng AB là .
- 6Vận dụng
Cho tứ diện ABCD, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC (M, N khác A), MN cắt BC tại I. Giao tuyến của (DMN) và (BCD) là
- 7Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O, M thuộc cạnh SC (M ≠ S, C). Giao tuyến của (MBD) và (SAC) là
Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- 1Thông hiểu
Để tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P), bước đầu tiên là
- 2Thông hiểu
Tứ diện SABC, M thuộc cạnh SB, N thuộc cạnh SC, MN cắt BC tại I. Giao điểm của MN với (ABC) là
- 3Thông hiểu Đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) có nhiều nhất điểm chung với (P).
- 4Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M thuộc cạnh SC và M không là trung điểm SC. Giao điểm của SA với (MBD) là
- 5Vận dụng
Tứ diện SABC, M thuộc cạnh SA, N thuộc cạnh SB và MN ∥ AB. Khẳng định đúng về MN và (ABC) là
Cắt nhau, song song, chéo nhau
- 1Nhận biết
Cặp đường thẳng nào của tứ diện ABCD chéo nhau?
- 2Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào chéo nhau?
- 3Thông hiểu Tứ diện ABCD có cặp cạnh chéo nhau.
- 4Vận dụng
Tứ diện ABCD, M là trung điểm BC. Hai đường thẳng AM và BD
- 5Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Số cặp cạnh chéo nhau là .
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M thuộc cạnh SB (M ≠ S, B). Giao tuyến của (MAC) và (SBD) là
- 2Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Giao tuyến của (SEF) và (ABCD) là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho tứ diện SABC, M là trung điểm của BC.
a)(SAM) ∩ (ABC) = AM.
b)(SAM) ∩ (SBC) = SB.
c)SM và AB cắt nhau.
d)Ba mặt phẳng (SAM), (ABC), (SBC) có đúng một điểm chung là M.
- 2Vận dụng
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a)Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABN).
b)MN và AB chéo nhau.
c)MN và AC chéo nhau.
d)Tồn tại một mặt phẳng chứa cả AB và CD.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Cho 6 điểm phân biệt trong không gian, không có 4 điểm nào đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong sáu điểm đó? Đáp số:
- 2Thông hiểu Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua đỉnh S và hai trong bốn điểm A, B, C, D? Đáp số:
- 3Vận dụng Hình chóp S.ABCDE có đáy là ngũ giác lồi. Có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Chủ đề này là nền cho cả hình học không gian lớp 11 và lớp 12: chứng minh song song, vuông góc, tính khoảng cách và thể tích đều bắt đầu từ việc tìm giao tuyến, giao điểm.
- •Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường với mặt phẳng, và có thể có câu chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường chéo nhau.
- •Trắc nghiệm hay có câu đọc hình vẽ: nét đứt, cặp đường chéo nhau và cặp đường chỉ "trông như cắt nhau". Đề thường chấm cả lí do, nên trình bày đủ hai điểm chung.
Hai đường thẳng song song