Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng; dựng đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo ba bước chân — nối — góc rồi tính bằng tang trong tam giác vuông.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 24
⚡ Nhớ nhanh
- 1Hình chiếu của điểm M lên (P) là chân H của đường vuông góc hạ từ M: MH ⊥ (P), H ∈ (P). Hình chiếu của một đường là tập hình chiếu của mọi điểm trên nó.
- 2Góc giữa đường thẳng d và (P) là góc giữa d và hình chiếu d′ của nó trên (P). Số đo luôn thuộc [0°; 90°].
- 3Đặc biệt: d ⊥ (P) thì góc bằng 90° (hình chiếu co thành một điểm); d ∥ (P) hoặc d ⊂ (P) thì góc bằng 0°.
- 4Cách dựng gọn: chân — nối — góc. Hạ đường vuông góc để có chân H, nối H với giao điểm A của d và (P), góc cần tìm là góc ở giao điểm A.
- 5Hình chóp có SA ⊥ đáy thì S chiếu xuống A; với mọi điểm X của đáy, hình chiếu của SX là AX, và góc (SX, đáy) = góc SXA, tan = SA/AX.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn đường xiên SB, SC, SD rồi kéo thanh SA: hình hiện hình chiếu nét cam từ A, góc tại chân đường xiên và tan = SA/hình chiếu. Bấm "SC, SA = a" để thấy tan = (√2)/2 ≈ 35,3°; thử nút bẫy "góc SCB" (≈ 54,7°) để thấy đó không phải góc với đáy.
Kéo trên hình để xoay.
SC chiếu xuống đáy thành AC (A là hình chiếu của S)
tan SCA = SA / AC = a / a√2 ≈ 0,707 ⇒ góc ≈ 35,3°
SC, SA = a
SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S, AC là hình chiếu của SC. Góc (SC, đáy) = góc SCA. Tam giác SAC vuông tại A: tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2 ⇒ góc ≈ 35,3°.
1 📌 Hình chiếu vuông góc của điểm và đường thẳng
Cần nhớ
- ✦Điểm: H là hình chiếu của M lên (P) ⇔ MH ⊥ (P) và H ∈ (P). Mỗi điểm có đúng một hình chiếu (chỉ có một đường vuông góc với (P) đi qua M).
- ✦Đường thẳng: hình chiếu của d là đường thẳng d′ gồm hình chiếu của mọi điểm của d. Muốn dựng chỉ cần hai điểm: chiếu hai điểm của d rồi nối lại.
- ✦Nếu d cắt (P) tại A thì d′ đi qua A. Do đó chỉ cần chiếu thêm một điểm S ∈ d: d′ là đường nối A với hình chiếu H của S.
- ✦Nếu d ⊥ (P) thì hình chiếu của d là một điểm. Mọi trường hợp khác (d xiên, d ∥ (P)) hình chiếu là một đường thẳng.
- ✦Đây là phép chiếu vuông góc (phương chiếu ⊥ mặt phẳng), khác phép chiếu song song ở bài 14, nơi phương chiếu tuỳ ý.
Dạng bài
Tìm hình chiếu của đường xiên
- 1 Tìm một điểm của đường xiên mà đã biết đường vuông góc với mặt (thường là đỉnh S, vì SA ⊥ đáy).
- 2 Viết chân đường vuông góc đó (S chiếu xuống A).
- 3 Nối chân ấy với giao điểm của đường xiên và mặt phẳng: đoạn nối là hình chiếu.
- 4 Thử lại: hình chiếu của một đoạn không dài hơn chính đoạn đó.
⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy hình chiếu của SC là cạnh đáy BC hay AB vì "nó nằm sẵn trong hình". Hình chiếu là đoạn nối chân đường vuông góc A với giao điểm C, tức AC = a√2, không phải a.
Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tìm hình chiếu của SB, SC, SD, SA trên (ABCD).
Hướng dẫn giải
2 📐 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: chân — nối — góc
Cần nhớ
- ✦Định nghĩa: góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu d′ của d trên (P). Kí hiệu (d, (P)).
- ✦Miền giá trị: 0° ≤ (d, (P)) ≤ 90°. Lấy được cả hai đầu mút: 0° khi d ∥ (P) hoặc d ⊂ (P), 90° khi d ⊥ (P).
- ✦Ba vị trí: d ⊥ (P) ⇒ 90°; d ∥ (P) hoặc d ⊂ (P) ⇒ 0°; d cắt xiên (P) ⇒ góc nhọn, dựng theo ba bước.
- ✦Chân — nối — góc: (1) hạ SH ⊥ (P) để có chân H; (2) nối H với giao điểm A, AH là hình chiếu của SA; (3) góc cần tìm là góc SAH, tại giao điểm A, và tan SAH = SH/AH vì tam giác SHA vuông tại H.
- ✦Góc đặt ở chỗ đường thẳng gặp mặt phẳng, không đặt ở đỉnh S. Hai góc SAH và ASH phụ nhau nên nhầm chỗ vẫn ra con số trông hợp lí.
Ba vị trí, ba giá trị góc
| Đường d so với (P) | Góc | Hình chiếu của d |
|---|---|---|
| d ⊥ (P) | 90° | Một điểm |
| d ∥ (P) hoặc d ⊂ (P) | 0° | Đường song song d hoặc trùng d |
| d cắt xiên (P) | Nhọn, 0° < φ < 90° | Đường qua giao điểm, dựng bằng chân — nối — góc |
Dạng bài
Tính góc giữa đường xiên và mặt đáy
- 1 Chân: xác định điểm chiếu của đỉnh S lên đáy (với SA ⊥ đáy, đó là A).
- 2 Nối chân với giao điểm của đường xiên và đáy để có hình chiếu, gọi tên góc ở giao điểm.
- 3 Tính hai cạnh của tam giác vuông: cạnh đối là chiều cao SA, cạnh kề là hình chiếu; lập tan = đối/kề.
- 4 Tra góc bằng tan⁻¹ và thử lại bằng sin hoặc cos của góc đó.
⚠️ Bẫy hay gặp: Hai lỗi hay gặp: (1) lấy góc SCB (≈ 54,7°) vì BC là cạnh có sẵn trong đáy, nhưng hình chiếu của SC là AC chứ không phải BC (tan SCB = SB/BC = √2); (2) lấy góc ASC ở đỉnh S: tam giác SAC vuông tại A nên góc ASC = 90° − 35,3° = 54,7°, trông rất hợp lí mà sai.
Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn giải
3 🔺 Hình chóp có SA ⊥ đáy: góc của SB, SC, SD với đáy
Cần nhớ
- ✦Với SA ⊥ đáy, mọi đường xiên SX (X thuộc đáy) có hình chiếu AX, góc là góc SXA và tan = SA/AX.
- ✦Chiều cao SA là cạnh đối chung của mọi góc. Hình chiếu AX càng dài thì tan càng nhỏ, góc càng nhỏ: AX = SA thì 45°, AX > SA thì dưới 45°.
- ✦Đáy hình vuông cạnh a thì AB = AD = a, AC = a√2. Với SA = a ta được ba góc ở bảng dưới.
- ✦Đề cho góc rồi tìm SA hoặc cạnh thì đảo lại: SA = AX · tan (góc).
- ✦Đáy là tam giác đều cạnh a: trung tuyến AM cũng là đường cao, AM = a√32 (M trung điểm BC).
S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, SA = a
| Đường xiên | Hình chiếu | tan | Góc với đáy |
|---|---|---|---|
| SB | AB = a | 1 | 45° |
| SC | AC = a√2 | √22 | ≈ 35,3° |
| SD | AD = a | 1 | 45° |
Dạng bài
Khi đáy là tam giác: góc của SM với đáy
- 1 Chân A (vì SA ⊥ đáy), giao điểm của SM với đáy là M, hình chiếu là AM, góc là góc SMA.
- 2 Tính AM từ hình học đáy (trung tuyến tam giác đều, đường chéo hình vuông, Pi-ta-go…).
- 3 Lập tan SMA = SA/AM; tam giác SAM vuông tại A.
- 4 Kết luận số đo, thử lại bằng định lí Pi-ta-go: SM² = SA² + AM².
⚠️ Bẫy hay gặp: Với S.ABCD, SB và SD đều làm với đáy 45° (khi SA = a), còn SC chỉ 35,3° dù SC dài nhất. Không thể suy ra "xiên dài hơn thì góc lớn hơn": cùng chiều cao SA, hình chiếu càng dài thì góc càng nhỏ.
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh a, SA = a√32. Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa SM và (ABC).
Hướng dẫn giải
4 🧱 Góc giữa đường thẳng với mặt không phải đáy
Cần nhớ
- ✦Mặt phẳng không còn là đáy thì chân không còn sẵn có. Hãy tìm một đường vuông góc với mặt đó; nhịp quen thuộc của bài 23 (đường ⊥ mặt) chính là dụng cụ dựng chân.
- ✦S.ABCD đáy hình vuông, SA ⊥ đáy: BC ⊥ (SAB) (bài 23). Vậy hình chiếu của C trên (SAB) là B.
- ✦SC cắt (SAB) tại S, hình chiếu của SC là SB, nên (SC, (SAB)) = góc CSB, tại giao điểm S.
- ✦Tam giác SBC vuông tại B (BC ⊥ SB): tan CSB = BC/SB, và góc CSB + góc SCB = 90°.
Dạng bài
Góc giữa đường thẳng và một mặt bên
- 1 Tìm đường ⊥ mặt bên đó đi qua một điểm của đường xiên (bằng hai đường cắt nhau).
- 2 Chân của đường này là hình chiếu của điểm; nối với giao điểm của đường xiên và mặt bên.
- 3 Gọi tên góc ở giao điểm, tìm tam giác vuông chứa nó.
- 4 Tính tan và thử lại bằng tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°.
⚠️ Bẫy hay gặp: Trong cùng hình, góc SCB ≈ 54,7° chỉ là góc giữa SC và đường thẳng BC, không phải góc của SC với bất kì mặt phẳng nào trong bài. Trước khi nói "góc với mặt phẳng nào" hãy nêu rõ hình chiếu: góc SCA cho đáy, góc CSB cho (SAB).
Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc giữa SC và (SAB).
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Đề cho SA ⊥ đáy: ghi ngay "S chiếu xuống A", đường xiên SX có góc SXA, tan = SA/AX. Chỉ còn tính AX từ hình đáy.
- ✦Thuộc bảng với SA = a, đáy hình vuông cạnh a: SB và SD ra 45°, SC ra tan = √22 ≈ 35,3°.
- ✦Soát nhanh: hình chiếu luôn ngắn hơn đường xiên, và góc đặt tại giao điểm của đường xiên với mặt phẳng. Đề cho số đẹp mà tan ra số rất lẻ thì kiểm lại hình chiếu.
- ✦Góc với mặt bên: tìm mặt bên ⊥ cạnh nào (BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD)), chân của C là B hoặc D, góc đặt tại S.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Đặt góc ở đỉnh S thay vì ở giao điểm: ở S.ABCD (SA = a) góc ASC = 54,7° trong khi đáp số đúng là 35,3° (hai góc phụ nhau).
- ✦Lấy cạnh đáy làm hình chiếu: hình chiếu của SC là AC = a√2, không phải AB hay BC (a).
- ✦Lập tan lộn ngược: tan = đối/kề = SA/AC, không phải AC/SA. Lộn ngược sẽ ra √2 và góc 54,7°.
- ✦Nhầm "tan = √22" với góc 30° hay 45°: 1/√2 ≈ 0,707 ứng với 35,3°, còn tan 30° = √33 ≈ 0,577 và tan 45° = 1.
- ✦Tưởng đường xiên dài hơn thì tạo góc lớn hơn. Cùng chiều cao thì hình chiếu dài hơn cho góc nhỏ hơn.
- ✦Nhầm góc đường – mặt với góc hai đường: góc SCB (SC với cạnh BC của đáy) ≠ góc SCA (SC với đáy).
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ tính toán thường (COMP), đơn vị góc độ (Deg): dùng tan⁻¹ để đổi tan về số đo, tan⁻¹(√22) cho ≈ 35,3°.
- ✦Kiểm đơn vị trước: máy đang ở rađian thì tan⁻¹(1) ra 0,785 thay vì 45°.
- ✦Thử lại bằng sin hoặc cos của chính góc vừa tìm (sin = đối/huyền), hoặc kiểm hai góc nhọn của tam giác vuông cộng lại bằng 90°.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Hình chiếu vuông góc
- 1Nhận biết
Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là
- 2Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD) là
- 3Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên (ABCD) là
- 4Thông hiểu
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Hình chiếu vuông góc của BD′ trên (ABCD) là
Khái niệm góc đường – mặt
- 1Nhận biết
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thuộc đoạn
- 2Nhận biết
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là góc
- 3Nhận biết
Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Góc giữa d và (P) bằng
- 4Thông hiểu
Điểm S cách mặt phẳng (P) một khoảng SH không đổi. Hai đường xiên SA₁, SA₂ cắt (P) và SA₂ dài hơn SA₁. Khi đó
Góc với mặt đáy khi SA ⊥ đáy
- 1Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Góc giữa SB và (ABCD) bằng độ.
- 2Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 5√3. Góc giữa SC và (ABCD) bằng độ.
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Góc giữa SC và (ABCD) bằng
- 4Vận dụng Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh a, SA = a√3. Gọi M là trung điểm BC. Góc giữa SM và (ABC), làm tròn đến độ, bằng độ.
- 5Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tang của góc giữa SD và (ABCD) bằng
- 6Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Góc giữa SC và (ABCD), làm tròn đến độ, bằng độ.
- 7Thông hiểu
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. So sánh góc (SC, (ABCD)) với góc (SB, (ABCD)), ta có
- 8Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD) và góc giữa SC với mặt đáy bằng 45°. Độ dài SA bằng .
Góc với mặt bên, hình lập phương
- 1Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc
- 2Vận dụng Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Góc giữa SC và (SAB), làm tròn đến độ, bằng độ.
- 3Thông hiểu
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tang của góc giữa BD′ và (ABCD) bằng
- 4Thông hiểu
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa A′B và mặt phẳng (ABCD) bằng
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a. Tang của góc giữa SC và (ABC) bằng
- 2Vận dụng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a√3, SA ⊥ (ABCD), SA = a√3. Góc giữa SC và (SAB) bằng
- 3Vận dụng
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh a, SA = a. Gọi M là trung điểm BC. Tang của góc giữa SM và (ABC) bằng
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2.
a)Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là AC.
b)Góc giữa SB và (ABCD) bằng 45°.
c)Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCB.
d)Góc giữa SC và (SAD) bằng 45°.
- 2Vận dụng
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2, SA = √3. Gọi M là trung điểm BC.
a)Hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) là AM.
b)Góc giữa SA và (ABC) bằng 0°.
c)Góc giữa SM và (ABC) bằng 45°.
d)Góc giữa SB và (ABC) bằng 45°.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 6. Tính tang của góc giữa SC và (ABCD). Đáp số:
- 2Vận dụng Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = 4, AB = 3, BC = 10. Tính tang của góc giữa SC và (SAB). Đáp số:
- 3Vận dụng Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 6. M là trung điểm BC và góc giữa SM với (ABC) bằng 60°. Tính SA. Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường có câu xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp có SA ⊥ đáy (SC với đáy, SM với đáy), kèm bước nêu rõ hình chiếu. Điểm hay mất nhất là chọn nhầm hình chiếu hoặc đặt góc ở đỉnh S.
- •Trắc nghiệm hay hỏi tan hoặc số đo góc với đáy, có đáp án gài là góc phụ (54,7° thay vì 35,3°) hoặc tan lộn ngược; ngoài ra có thể hỏi góc của đường chéo hình lập phương với mặt đáy hoặc mặt bên.
- •Chủ đề là nền cho góc nhị diện, khoảng cách và thể tích ở các bài sau của lớp 11 (đều bắt đầu từ "chân đường vuông góc"), và có thể gặp lại ở lớp 12, nơi góc đường – mặt được tính bằng sin φ = |cos(u, n)| trong toạ độ Oxyz.
Hai mặt phẳng vuông góc