Chủ đề 8 · Học kỳ 1

Mẫu số liệu ghép nhóm

Chia số liệu thành các nhóm [a; b), lập bảng tần số, tần số tích luỹ, tìm giá trị đại diện và hiểu ghép nhóm cho ta hình dạng phân bố nhưng làm mất số liệu gốc.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 8

⚡ Nhớ nhanh

1Ghép nhóm là chia miền giá trị thành các nửa khoảng liên tiếp [a₁; a₂), [a₂; a₃), … rồi chỉ đếm xem mỗi nhóm có bao nhiêu số liệu.
2Quy ước đóng trái, mở phải: x ∈ [a; b) ⇔ a ≤ x < b. Số liệu đúng bằng đầu mút thì vào nhóm bên phải. Nhờ vậy mỗi số liệu thuộc đúng một nhóm.
3Độ dài nhóm h = b − a (nên chọn bằng nhau). Giá trị đại diện là trung điểm a + b2.
4Cỡ mẫu n = tổng các tần số. Tần số tích luỹ của một nhóm = tổng tần số từ nhóm đầu tới hết nhóm đó. Tần số tương đối = tần số / n.
5Ghép nhóm được hình dạng phân bố, mất số liệu gốc. Mọi số đặc trưng tính từ bảng chỉ là xấp xỉ.
6Thói quen chống sai: sau khi đếm, cộng lại các tần số và so với n.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm ± đổi độ dài nhóm h (2–10) và đầu mút đầu a₁ (140–150): biểu đồ dựng lại từ 12 chiều cao gốc, chấm nằm đúng đầu mút có viền cam và nhảy sang nhóm bên phải. Chạm một cột để xem đầu mút, giá trị đại diện và các số liệu bên trong; so vạch trung bình gốc 159,75 với vạch tím theo giá trị đại diện. Nút mẫu (h = 5 từ 150, h = 10 từ 150, h = 4 từ 148, h = 6 từ 149) là bẫy: cùng số liệu mà tần số và trung bình đổi theo cách chia.

Vạch liền: trung bình gốc · vạch đứt tím: trung bình theo giá trị đại diện.

Độ dài h

Đầu mút a₁

150

5 nhóm, n = 12. Chạm một cột để xem đầu mút, giá trị đại diện và số liệu bên trong.

Số 150, 155, 160, 165, 170 nằm đúng đầu mút ⇒ thuộc nhóm bắt đầu bằng nó (bên phải), không thuộc nhóm kết thúc bằng nó.

Trung bình gốc = 1917/12 = 159,75 · theo giá trị đại diện = 161,25 (lệch 1,5).

Ghép nhóm thì thấy được hình dạng phân bố nhưng mất số liệu gốc: đổi cách chia là số đặc trưng đổi theo.

1 🧱 Nhóm, đầu mút và giá trị đại diện

Cần nhớ

✦Một nhóm viết [a; b): a là đầu mút trái (lấy), b là đầu mút phải (không lấy). Ví dụ: 155 ∈ [155; 160), còn 160 ∈ [160; 165).
✦Các nhóm phải liên tiếp, không chồng, không hở: đầu mút phải của nhóm này là đầu mút trái của nhóm sau. [0; 10), [10; 20), [20; 30) hợp lệ; [0; 10), [11; 20) thì hở (số 10,5 không thuộc nhóm nào).
✦Độ dài nhóm h = b − a. Nhóm [20; 30) có h = 10, nhóm [4,5; 6,5) có h = 2.
✦Giá trị đại diện cᵢ = a + b2. Nhóm [20; 30) có c = 25 (không phải 20, cũng không phải 10 là độ dài).

Dạng bài

Xác định nhóm chứa một số liệu

1 Viết các nhóm liên tiếp, đầu mút phải nhóm trước là đầu mút trái nhóm sau.
2 Tìm nhóm [a; b) thoả a ≤ x < b (đầu mút trái được lấy, đầu mút phải thì không).
3 Nếu x bằng một đầu mút thì x thuộc nhóm có đầu mút đó là đầu mút trái.
4 Thử lại: x không thuộc nhóm trước và nhóm sau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho số 170 vào nhóm [165; 170) vì "170 nằm cuối nhóm" là sai: đầu mút phải bị loại. Với số 155, 155 phải vào [155; 160), không vào [150; 155).

🧱

Làm mẫu

Chia chiều cao thành các nhóm độ dài 5 từ 150: [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175). Số 160 và số 170 thuộc nhóm nào? Giá trị đại diện của nhóm đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Nhóm [a; b): nhớ ba điều

Điều cần nhớ	Ví dụ [20; 30)
Đầu mút trái lấy, phải không lấy	20 thuộc, 30 không thuộc
Độ dài h = b − a	h = 10
Đại diện = trung điểm a + b2	c = 25

2 📊 Lập bảng tần số ghép nhóm

Cần nhớ

✦Bảng tần số ghép nhóm gồm các nhóm [aᵢ; aᵢ₊₁) và tần số nᵢ (số số liệu rơi vào nhóm).
✦Cỡ mẫu n = n₁ + n₂ + … + nₖ. Cộng lại phải ra đúng số số liệu ban đầu.
✦Tần số tương đối của nhóm = nᵢ / n (thường viết %). Tổng tần số tương đối của mọi nhóm bằng 100%.
✦Chọn nhóm sao cho nhóm đầu chứa số nhỏ nhất và nhóm cuối chứa số lớn nhất. Số lớn nhất bằng đúng một đầu mút phải thì cần thêm một nhóm nữa.

Dạng bài

Lập bảng tần số ghép nhóm từ số liệu gốc

1 Chọn độ dài nhóm và đầu mút đầu tiên, viết các nhóm cho tới khi nhóm cuối chứa số lớn nhất.
2 Lần lượt đếm số liệu của từng nhóm, nhớ đóng trái mở phải.
3 Ghi tần số vào bảng, cộng lại được n.
4 Thử lại: tổng tần số = số số liệu ban đầu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm hai số 155 vào [150; 155) cho tần số 4; 1; 4; 2; 1: cộng vẫn ra 12 nhưng sai từng nhóm, vì hai số 155 phải vào [155; 160). Cộng đủ n chưa chắc đã đếm đúng nhóm.

📊

Làm mẫu

Chiều cao (cm) của 12 bạn: 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170. Ghép thành các nhóm độ dài 5 bắt đầu từ 150 và lập bảng tần số.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tần số tương đối của ví dụ trên (n = 12)

Nhóm	Tần số	Tần số tương đối
[150; 155)	2	212 ≈ 16,7%
[155; 160)	3	312 = 25%
[160; 165)	4	412 ≈ 33,3%
[165; 170)	2	212 ≈ 16,7%
[170; 175)	1	112 ≈ 8,3%

3 🧮 Tần số tích luỹ và đọc bảng

Cần nhớ

✦Tần số tích luỹ của nhóm thứ k là n₁ + n₂ + … + nₖ: số số liệu nhỏ hơn đầu mút phải của nhóm k.
✦Tích luỹ của nhóm cuối bằng cỡ mẫu n.
✦Trả lời được chính xác các câu "dưới b" khi b là đầu mút. Câu có mốc nằm giữa một nhóm thì chỉ ước lượng được.
✦"Từ b trở lên" = n − (tích luỹ tới b).

Dạng bài

Đọc bảng để trả lời câu "dưới b" và "từ b trở lên"

1 Lập hàng tần số tích luỹ dưới bảng.
2 Kiểm b có phải đầu mút không. Nếu có, lấy tích luỹ của nhóm có đầu mút phải bằng b.
3 Đổi ra tỉ lệ: số người / n. "Từ b trở lên" thì lấy n trừ đi.
4 Thử lại: tích luỹ nhóm cuối đúng bằng n.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hỏi "dưới 5 giờ" thì không tính chính xác được: 5 nằm giữa [4; 6), ta không biết 14 bạn của nhóm đó phân bố thế nào bên trong. Chỉ ước lượng.

🧮

Làm mẫu

Thời gian tự học mỗi ngày (giờ) của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Có bao nhiêu học sinh học dưới 6 giờ, chiếm bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Bảng đầy đủ của 40 học sinh

Nhóm	Đại diện	Tần số	Tích luỹ
[0; 2)	1	3	3
[2; 4)	3	8	11
[4; 6)	5	14	25
[6; 8)	7	9	34
[8; 10)	9	6	40

4 ⚖️ Được gì, mất gì khi ghép nhóm

Cần nhớ

✦Khi ghép nhóm, mọi số liệu trong một nhóm coi như cùng bằng giá trị đại diện. Ta không còn biết ai là 151, ai là 154.
✦Trung bình theo đại diện: x̄ = (n₁c₁ + n₂c₂ + … + nₖcₖ)/n. Đây chỉ là xấp xỉ của trung bình thật.
✦Cách chia khác (độ dài khác, đầu mút đầu khác) cho bảng khác và x̄ xấp xỉ khác, dù số liệu gốc không đổi.
✦Ghép ít nhóm thì bảng gọn nhưng mất nhiều chi tiết. Ghép quá nhiều nhóm thì gần như quay về số liệu gốc.

Dạng bài

So trung bình gốc với trung bình theo đại diện

1 Tính trung bình gốc: tổng các số liệu chia n.
2 Lập bảng ghép nhóm, tìm giá trị đại diện của từng nhóm.
3 Tính (n₁c₁ + … + nₖcₖ)/n rồi so với trung bình gốc.
4 Thử lại: x̄ theo đại diện nằm trong khoảng từ đại diện nhỏ nhất tới lớn nhất.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng "tính từ bảng thì ra đúng trung bình thật" là sai: ở đây lệch 1,5 cm. Nếu chia nhóm độ dài 10 từ 150 (tần số 5; 6; 1, đại diện 155; 165; 175) thì ra 194012 ≈ 161,67, lại khác nữa.

⚖️

Làm mẫu

Với 12 chiều cao 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170, so trung bình gốc với trung bình tính từ bảng nhóm độ dài 5 từ 150 (tần số 2; 3; 4; 2; 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✅ Được

Nhìn ra hình dạng phân bố, bảng gọn, so sánh được nhiều mẫu.

❌ Mất

Không còn số liệu gốc. Mọi số đặc trưng tính từ bảng chỉ là xấp xỉ và đổi theo cách chia nhóm.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đếm xong cộng lại tần số. Không ra n thì có số bị bỏ sót hoặc đếm hai lần.
✦Gặp số đúng bằng đầu mút, gạch ngay một vòng quanh nó: nó thuộc nhóm bên phải.
✦Giá trị đại diện luôn nằm giữa hai đầu mút: loại đáp án bằng đầu mút hoặc bằng độ dài.
✦Câu "dưới b": kiểm b có phải đầu mút. Nếu không thì đáp án đúng là "chỉ ước lượng được".

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho số đúng đầu mút phải vào nhóm bên trái. Ví dụ: 170 ∈ [170; 175), không thuộc [165; 170).
✦Lấy đại diện là đầu mút trái hoặc độ dài nhóm. Ví dụ: nhóm [20; 30) có c = 25, không phải 20 hay 10.
✦Coi tần số tích luỹ là tần số riêng của nhóm. Ví dụ: 3; 8; 14 có tích luỹ nhóm ba là 25, không phải 14.
✦Chia nhóm có khoảng hở hoặc chồng nhau, ví dụ [0; 10), [11; 20).
✦Cho rằng trung bình từ bảng ghép nhóm là số thật. Ví dụ: 159,75 thật nhưng bảng cho 161,25.
✦Nghĩ nhóm có tần số lớn nhất thì chứa trung bình. Phân bố lệch thì trung bình bị kéo về phía đuôi dài.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Dùng chế độ Thống kê một biến: nhập giá trị đại diện làm x và tần số làm FREQ, máy cho x̄ theo đại diện và n.
✦Muốn so với trung bình gốc, nhập lại các số liệu gốc (tần số 1) rồi đọc x̄.
✦Dùng máy thử lại tổng tần số n, không dùng để chọn nhóm: việc chọn nhóm là việc của bạn.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧱

Nhóm, đầu mút, đại diện

1
Nhận biết
Trong nhóm [20; 30), giá trị đại diện là
2
Nhận biết
Số liệu x = 30 thuộc nhóm nào trong dãy [20; 30), [30; 40), [40; 50)?
3
Thông hiểu
Dãy nhóm nào là cách chia hợp lệ (liên tiếp, không chồng, không hở) theo quy ước đóng trái mở phải?
4
Thông hiểu Giá trị đại diện của nhóm [4,5; 6,5) bằng .
5
Vận dụng
Mẫu gồm 50 số liệu nhận giá trị từ 12 đến 47. Muốn ghép thành các nhóm cùng độ dài 5, mọi đầu mút là bội của 5. Số nhóm cần dùng là

📊

Lập bảng tần số

1
Thông hiểu Chiều cao (cm) của 12 bạn: 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170. Ghép nhóm độ dài 5 từ 150. Tần số của nhóm [160; 165) là .
2
Thông hiểu
Mẫu 8 số liệu: 10; 20; 20; 30; 30; 30; 40; 50. Chia các nhóm [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60). Tần số của nhóm [20; 30) là
3
Vận dụng
Mẫu 8 số liệu: 10; 20; 20; 30; 30; 30; 40; 50, chia các nhóm [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60). Bảng tần số đúng là
4
Thông hiểu Một mẫu ghép nhóm có tần số 4; 7; 12; 9; 3. Cỡ mẫu n = .
5
Thông hiểu Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Tần số tương đối của nhóm [4;6) là (%).

🧮

Tích luỹ và đọc bảng

1
Nhận biết
Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Số học sinh học dưới 6 giờ là
2
Thông hiểu Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Học sinh học dưới 6 giờ chiếm (%).
3
Thông hiểu
Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Tỉ lệ học sinh học từ 6 giờ trở lên là
4
Vận dụng
Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Có bao nhiêu học sinh học dưới 5 giờ?
5
Thông hiểu Mẫu có 5 nhóm với tần số tích luỹ lần lượt 3; 11; 25; 34; 40. Tần số riêng của nhóm thứ ba là .

⚖️

Được gì, mất gì

1
Thông hiểu Bảng nhóm độ dài 5 từ 150: $Chi e ˆ ˋ u cao (cm) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 23421$ Trung bình theo giá trị đại diện = (cm).
2
Thông hiểu
Trung bình của 12 chiều cao gốc là 159,75 cm, còn trung bình tính từ bảng ghép nhóm là 161,25 cm. Điều này cho thấy
3
Vận dụng
Ghép 12 chiều cao 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170 thành nhóm độ dài 10 bắt đầu từ 150. Bảng tần số là
4
Vận dụng Thời gian tự học của 40 học sinh: $S o ˆ ˊ giờ [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Trung bình theo giá trị đại diện = giờ.
5
Vận dụng
Ghép 12 chiều cao 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170 thành nhóm độ dài 5 bắt đầu từ 148: [148; 153), [153; 158), [158; 163), [163; 168), [168; 173). Tần số của nhóm [153; 158) là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho các nhóm [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175). Giá trị đại diện của nhóm [165; 170) là
2
Thông hiểu
Cho mẫu 20 số liệu: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Trung bình theo giá trị đại diện là
3
Vận dụng
Cho mẫu 20 số liệu: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Tỉ lệ số liệu nhỏ hơn 30 là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Chiều cao (cm) của 12 bạn: 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170. Ghép nhóm độ dài 5 từ 150: $Chi e ˆ ˋ u cao (cm) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 23421$

a)Số 155 thuộc nhóm [155; 160).

b)Số 170 thuộc nhóm [165; 170).

c)Tần số tích luỹ đến hết nhóm [160; 165) là 9.

d)Trung bình tính từ bảng đúng bằng trung bình của 12 số liệu gốc.
2
Vận dụng
Cho mẫu 20 số liệu: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 8 [30; 40) 4$

a)Cỡ mẫu n = 20.

b)Có 14 số liệu nhỏ hơn 20.

c)Trung bình theo giá trị đại diện bằng 22.

d)Có 60% số liệu thuộc [10; 30).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Chiều cao (cm) của 12 bạn: 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170. Ghép nhóm độ dài 5 bắt đầu từ 148. Tìm tần số của nhóm [158; 163). Đáp số:
2
Vận dụng Ghép 12 chiều cao 150; 152; 155; 155; 158; 160; 160; 161; 163; 165; 168; 170 thành nhóm độ dài 10 từ 150 (đại diện 155; 165; 175). Tính trung bình theo giá trị đại diện, làm tròn đến hàng đơn vị. Đáp số:
3
Vận dụng Bảng ghép nhóm: $Gi a ˊ trị T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) x [20; 30) 8 [30; 40) 4$ Biết trung bình theo giá trị đại diện bằng 22. Tìm x. Đáp số: x =

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường cho số liệu gốc hoặc bảng và yêu cầu lập bảng tần số ghép nhóm, tìm giá trị đại diện, tần số tích luỹ. Dễ sai nhất là số đúng đầu mút.
•Chủ đề này là nền cho bài 9 và cho đề tốt nghiệp lớp 12: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu ghép nhóm đều tính từ chính bảng này, với giá trị đại diện và tần số tích luỹ.
•Phần II của đề tốt nghiệp hay có một bảng ghép nhóm với các ý: nhóm chứa một số liệu, tần số tích luỹ, tỉ lệ, rồi tính một số đặc trưng. Phần III có thể hỏi một tần số chưa biết khi cho trước trung bình.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm