Chủ đề 9 · Học kỳ 1

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm; biết số nào bị giá trị bất thường kéo lệch, số nào bền, và hiểu vì sao mọi kết quả từ bảng ghép nhóm chỉ là xấp xỉ.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 9

⚡ Nhớ nhanh

1Mẫu ghép nhóm cho các nhóm [uₘ; uₘ₊₁) kèm tần số nₘ. Bài này có ba số "ở giữa": số trung bình x̄, trung vị Mₑ (cùng Q₁, Q₃) và mốt Mₒ. Mỗi số trả lời một câu hỏi khác nhau.
2x̄ coi cả nhóm nằm ở giá trị đại diện c (trung điểm nhóm): x̄ = (n₁c₁ + n₂c₂ + … + nₖcₖ)/n. Dùng mọi số liệu nên bị giá trị lạ kéo lệch.
3Mₑ nằm ở nhóm có tần số tích luỹ đầu tiên ≥ n/2, rồi nội suy trong nhóm đó. Q₁, Q₃ làm y hệt với mốc n/4 và 3n/4.
4Mₒ nằm ở nhóm có tần số lớn nhất; công thức so với hai nhóm kề để lệch về bên đông hơn. Mốt là giá trị, không phải tần số.
5Mọi kết quả từ bảng ghép nhóm đều là xấp xỉ: số liệu gốc đã bị gộp vào nhóm và không lấy lại được.
6Thói quen chống sai: kết quả phải nằm trong nhóm vừa chọn. Ra ngoài nhóm là đã lấy nhầm dòng tích luỹ.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm + / − đổi tần số 5 nhóm: ba vạch x̄, Mₑ, Mₒ dời theo, bật thêm Q₁ và Q₃. Bấm mẫu lệch phải để thấy x̄ bị kéo xa nhất, rồi mẫu hai nhóm cao bằng nhau là cái bẫy của Mₒ.

Chạm một cột để chọn rồi đổi tần số bằng ±.

Nhóm [4; 6): tần số 14 n = 40

Hiện tứ phân vị Q₁, Q₃

x̄ = (1·3 + 3·8 + 5·14 + 7·9 + 9·6)/40 = 5,35 (nhân với giá trị đại diện, không nhân đầu mút)

Mₑ: n/2 = 20 rơi vào [4; 6) (tích luỹ trước C = 11, tần số 14) ⇒ Mₑ = 4 + (20 − 11)/14·2 = 5,29

Mₒ ở nhóm [4; 6) (tần số 14, là giá trị chứ không phải số 14): Mₒ = 4 + 6/(6 + 5)·2 = 5,09

Phân bố gần cân đối: ba số ở gần nhau, nhưng đó là may chứ không phải luật.

1 ⚖️ Số trung bình x̄

Cần nhớ

✦Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là trung điểm c = a + b2. Ví dụ: nhóm [4; 6) có c = 5.
✦Số trung bình của mẫu ghép nhóm có k nhóm, cỡ mẫu n = n₁ + … + nₖ: $x ˉ = \frac{n _{1} c _{1} + n _{2} c _{2} + \dots + n _{k} c _{k}}{n}$
✦Nhóm nào đông hơn thì kéo x̄ về phía mình nhiều hơn: đó là trung bình có trọng số, không phải trung bình của các c.
✦x̄ luôn nằm giữa giá trị đại diện nhỏ nhất và lớn nhất. Ra ngoài khoảng ấy là tính sai.

Dạng bài

Tính số trung bình của mẫu ghép nhóm

1 Lấy giá trị đại diện c của từng nhóm (trung điểm).
2 Tính từng tích nᵢcᵢ rồi cộng lại, và tính n = tổng tần số.
3 x̄ = (tổng các nᵢcᵢ)/n.
4 Thử lại: x̄ nằm giữa c nhỏ nhất và c lớn nhất, và lệch về phía nhóm đông.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy đầu mút trái làm đại diện: 3·0 + 8·2 + 14·4 + 9·6 + 6·840 = 17440 = 4,35 là sai, thấp hơn đúng nửa độ dài nhóm (1 đơn vị). Cũng sai khi chia cho số nhóm (5) thay vì n (40).

⚖️

Làm mẫu

Tần số của 40 số liệu trên các nhóm [0; 2), [2; 4), [4; 6), [6; 8), [8; 10) là 3; 8; 14; 9; 6. Tính số trung bình.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✂️ Trung vị và tứ phân vị

Cần nhớ

✦Q₂ chính là trung vị Mₑ. Q₁, Mₑ, Q₃ ứng với các mốc n/4, n/2, 3n/4 của cỡ mẫu.
✦Nhóm chứa Mₑ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥ n/2. Với Q₁ và Q₃ chỉ đổi mốc.
✦Nhóm chứa Mₑ là $[u_{m}; u_{m + 1})$ : $M_{e} = u_{m} + \frac{\frac{n}{2} - C}{n _{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$
✦C là tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm chứa Mₑ (không tính chính nó), nₘ là tần số của nhóm chứa Mₑ.
✦Chia cho nₘ rồi nhân độ dài nhóm: ta giả sử các số liệu trong nhóm rải đều. Vì vậy Mₑ hiếm khi trùng trung điểm của nhóm.

Dạng bài

Tính trung vị, Q₁, Q₃

1 Lập hàng tần số tích luỹ và các mốc n/4, n/2, 3n/4.
2 Chọn nhóm đầu tiên có tích luỹ ≥ mốc. Ghi uₘ, độ dài nhóm, C và nₘ.
3 Thay vào công thức nội suy.
4 Thử lại: kết quả nằm trong nhóm vừa chọn và Q₁ < Mₑ < Q₃.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy C bằng tích luỹ của chính nhóm chứa Mₑ (25 thay vì 11) cho Mₑ = 4 + 20 − 2514 · 2 ≈ 3,29, ngoài nhóm [4; 6). Kết quả rơi ra ngoài nhóm là dấu hiệu chắc chắn đã lấy sai C.

✂️

Làm mẫu

Với mẫu 3; 8; 14; 9; 6 (n = 40) ở trên, tính trung vị Mₑ, Q₁ và Q₃.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Tra nhóm chứa (mẫu 3; 8; 14; 9; 6, n = 40, tích luỹ 3; 11; 25; 34; 40)

Số	Mốc	Nhóm chứa
Q₁	n/4 = 10	[2; 4) vì 11 ≥ 10
Mₑ	n/2 = 20	[4; 6) vì 25 ≥ 20
Q₃	3n/4 = 30	[6; 8) vì 34 ≥ 30

3 📍 Mốt

Cần nhớ

✦Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Gọi nhóm đó là [uⱼ; uⱼ₊₁) với tần số nⱼ, hai nhóm kề có tần số nⱼ₋₁ và nⱼ₊₁.
✦ $M_{o} = u_{j} + \frac{n _{j} - n _{j - 1}}{( n _{j} - n _{j - 1} ) + ( n _{j} - n _{j + 1} )} (u_{j + 1} - u_{j})$
✦Mốt lệch về phía nhóm kề đông hơn. Hai kề bằng nhau thì mốt đúng giữa nhóm.
✦Nhóm đầu hoặc nhóm cuối là nhóm cao nhất thì xem tần số nhóm kề không tồn tại bằng 0.
✦Mốt là giá trị (một điểm trong nhóm), không phải tần số cao nhất.

Dạng bài

Tính mốt của mẫu ghép nhóm

1 Tìm nhóm có tần số lớn nhất, ghi uⱼ, độ dài nhóm, nⱼ, nⱼ₋₁, nⱼ₊₁.
2 Tính hai hiệu nⱼ − nⱼ₋₁ và nⱼ − nⱼ₊₁.
3 Thay vào công thức.
4 Thử lại: mốt nằm trong nhóm, và lệch về phía nhóm kề đông hơn so với trung điểm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Trả lời "mốt là 14" là nhầm tần số với giá trị. Mốt của mẫu này là gần 5,09, còn 14 chỉ là số bạn rơi vào nhóm ấy.

📍

Làm mẫu

Tìm mốt của mẫu 3; 8; 14; 9; 6 trên các nhóm [0; 2), …, [8; 10).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🟰 Hai nhóm cao bằng nhau

Mẫu 5; 12; 12; 7; 4 (n = 40): tính theo nhóm [2; 4) hay [4; 6) đều ra Mₒ = 4, đúng đầu mút chung của hai nhóm.

🎯 Nhóm cao nhất ở rìa

Nhóm [0; 2) cao nhất thì không có nhóm kề trái: lấy tần số nhóm ấy bằng 0 rồi dùng công thức như bình thường.

4 🧭 Chọn số nào, và vì sao chỉ xấp xỉ

Ba số "ở giữa" trả lời ba câu hỏi khác nhau

	Số trung bình	Trung vị	Mốt
Câu hỏi	Chia đều thì mỗi phần bao nhiêu?	Ngưỡng chia đôi mẫu ở đâu?	Giá trị nào hay gặp nhất?
Dùng	Mọi số liệu	Chủ yếu nhóm giữa	Chủ yếu nhóm cao nhất
Giá trị lạ	Bị kéo lệch mạnh	Gần như không ảnh hưởng	Không ảnh hưởng
Hay dùng cho	Điểm trung bình, năng suất	Thu nhập, giá nhà	Cỡ giày, màu bán chạy

Ba mẫu trên hình (n = 40, nhóm [0; 2) … [8; 10))

Tần số	x̄	Mₑ	Mₒ	Nhận xét
3; 8; 14; 9; 6	5,35	5,29	5,09	Khá cân: ba số gần nhau
12; 14; 8; 4; 2	3,5	3,14	2,5	Lệch phải: Mₒ < Mₑ < x̄, x̄ bị đuôi dài kéo xa
5; 12; 12; 7; 4	4,65	4,5	4	Hai nhóm cao bằng nhau: Mₒ nằm đúng ranh giới

Dạng bài

Chọn số đại diện cho mẫu

1 Nhìn hình dạng: cân đối thì ba số gần nhau, chọn x̄ cũng được.
2 Có đuôi dài một phía hoặc giá trị lạ thì chọn trung vị.
3 Cần biết giá trị phổ biến nhất thì chọn mốt.
4 Thử lại: bỏ giá trị lạ đi rồi tính lại xem số nào thay đổi nhiều.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng "trung bình luôn là số tiêu biểu nhất" là sai: một giá trị lệch hẳn kéo x̄ tới mức lớn hơn hầu hết số liệu.

🧭

Làm mẫu

Lương tháng (triệu đồng) của 9 nhân viên: 8; 9; 9; 10; 10; 11; 12; 13; 88 (người cuối là giám đốc). Nên báo cáo "mức lương tiêu biểu" bằng số nào?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Vì sao chỉ là xấp xỉ

✦Khi ghép nhóm, ta không còn biết từng số liệu nằm đâu trong nhóm, nên coi chúng nằm ở trung điểm (với x̄) hoặc rải đều (với Mₑ, Mₒ).
✦Đổi cách chia nhóm thì kết quả đổi theo. Hai cách ghép khác nhau cho x̄ khác nhau, và không cách nào "đúng hơn" số liệu gốc.
✦Lớp 12 sẽ dùng cùng bảng ghép nhóm này để tính khoảng tứ phân vị và phương sai, đo độ phân tán thay vì vị trí "ở giữa".

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Tính Mₑ, Q₁, Q₃ xong kiểm kết quả nằm trong nhóm: ra ngoài nhóm là lấy sai C, không cần tính lại từ đầu.
✦Đuôi dài về bên phải thì thứ tự là Mₒ < Mₑ < x̄; đuôi dài về bên trái thì ngược lại. Có thứ tự này là loại ngay hai phương án.
✦Cả bảng nhân rộng hoặc thu hẹp theo cùng tỉ lệ (mọi tần số nhân 2) thì x̄, Mₑ, Mₒ không đổi; chỉ n đổi.
✦Thiếu một tần số m: viết x̄ hoặc Mₑ theo m, giải phương trình bậc nhất rồi thử lại.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Lấy đầu mút trái (hay phải) của nhóm làm giá trị đại diện thay vì trung điểm. Phản ví dụ: mẫu 3; 8; 14; 9; 6 cho 4,35 thay vì 5,35.
✦Lấy C bằng tích luỹ của nhóm chứa Mₑ thay vì nhóm liền trước. Phản ví dụ: Mₑ ≈ 3,29 nằm ngoài nhóm [4; 6).
✦Trả lời mốt là tần số lớn nhất. Phản ví dụ: mốt của mẫu 3; 8; 14; 9; 6 là gần 5,09, không phải 14.
✦Cho rằng trung vị của mẫu ghép nhóm là trung điểm nhóm chứa nó. Phản ví dụ: Mₑ ≈ 5,29 chứ không phải 5.
✦Chọn nhóm chứa Mₑ là nhóm có tần số lớn nhất thay vì nhóm có tích luỹ ≥ n/2. Phản ví dụ: mẫu 5; 12; 12; 7; 4 (n = 40) có hai nhóm cao nhất là [2; 4) và [4; 6), nhưng tích luỹ 5; 17; 29 cho Mₑ ở [4; 6).
✦Tin kết quả ghép nhóm là giá trị đúng của mẫu gốc; đó chỉ là xấp xỉ.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Thống kê (STAT), nhập một biến kèm cột tần số: gõ giá trị đại diện c vào cột x và tần số vào cột FREQ, máy cho x̄ và n. Muốn máy tính được Σ nᵢcᵢ thì phải nhập c chứ không nhập đầu mút.
✦Máy không có sẵn Mₑ, Q₁, Q₃, Mₒ cho mẫu ghép nhóm: các số này vẫn phải tính tay theo công thức nội suy. Dùng máy chỉ để cộng tích luỹ và chia.
✦Cuối cùng nhớ làm tròn theo yêu cầu đề (thường đến hàng phần trăm hoặc phần mười).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

⚖️

Số trung bình

1
Nhận biết
Giá trị đại diện của nhóm [10; 20) là
2
Thông hiểu
Mẫu số liệu có hai nhóm: $Nh o ˊ m T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 6 [10; 20) 4$ Số trung bình bằng
3
Thông hiểu $Nh o ˊ m T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 4 [10; 20) 6 [20; 30) 10$ Số trung bình của mẫu là .
4
Thông hiểu
Chiều cao (cm) của 20 bạn: $Chi e ˆ ˋ u cao T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [150; 160) 4 [160; 170) 9 [170; 180) 7$ Chiều cao trung bình là
5
Vận dụng $Nh o ˊ m T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 6 [10; 20) m [20; 30) 4$ Mẫu có số trung bình bằng 14. Tìm m = .

✂️

Trung vị và tứ phân vị

1
Nhận biết
Mẫu ghép nhóm có n = 50. Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
2
Thông hiểu
Mẫu có n = 50, tần số tích luỹ theo 5 nhóm là 6; 19; 33; 45; 50. Trung vị nằm ở nhóm thứ
3
Thông hiểu Mẫu có n = 50. Nhóm [10; 20) chứa trung vị, có tần số 16 và tổng tần số các nhóm đứng trước là 18. Trung vị là (làm tròn đến hàng phần mười).
4
Thông hiểu
$Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu bằng
5
Thông hiểu $Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Tứ phân vị thứ ba của mẫu là Q₃ = .
6
Vận dụng
Mẫu 40 số liệu: $Nh o ˊ m [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 6 x 1484$ Trung vị gần nhất với
7
Vận dụng Nhóm [20; 30) chứa trung vị, có tần số 15, các nhóm đứng trước có tổng tần số 10 và trung vị bằng 24. Cỡ mẫu n = .

📍

Mốt

1
Nhận biết
$Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Nhóm chứa mốt của mẫu là
2
Thông hiểu $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Mốt của mẫu là Mₒ = (làm tròn đến hàng phần trăm).
3
Thông hiểu
$Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Mốt của mẫu gần nhất với
4
Vận dụng
$Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 5121274$ Hai nhóm [2; 4) và [4; 6) cùng có tần số cao nhất. Mốt của mẫu bằng

🧭

Chọn số đại diện, giá trị bất thường

1
Nhận biết
Thu nhập của các hộ trong một vùng có vài hộ cực giàu. Số nào mô tả mức thu nhập tiêu biểu tốt hơn?
2
Thông hiểu
Thêm một số liệu lớn bất thường vào mẫu 20 số liệu. Khi đó
3
Thông hiểu Lương (triệu đồng) của 7 người: 6; 7; 7; 8; 9; 10; 63. Trung vị của mẫu là .
4
Vận dụng Với mẫu 6; 7; 7; 8; 9; 10; 63 ở trên, bỏ số 63 đi thì số trung bình mới là (làm tròn đến hàng phần mười).
5
Vận dụng
$Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 1214842$ Mẫu lệch phải. Sắp xếp đúng là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
$Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu gần nhất với
2
Vận dụng
$Đ iểm T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ [0; 10) 2 [10; 20) 6 [20; 30) 10 [30; 40) 2$ Sắp xếp số trung bình x̄, trung vị Mₑ và mốt Mₒ của mẫu theo thứ tự tăng dần:
3
Nhận biết
Phát biểu nào sau đây đúng?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho mẫu số liệu ghép nhóm (n = 40): $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$

a)Giá trị đại diện của nhóm [6; 8) là 7.

b)Mốt của mẫu bằng 14.

c)Số trung bình của mẫu là 5,35.

d)Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất Q₁ là [4; 6).
2
Vận dụng
Cho mẫu số liệu ghép nhóm (n = 40): $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 1214842$

a)Nhóm có tần số lớn nhất là [2; 4).

b)Trung vị nằm trong nhóm [4; 6).

c)Số trung bình của mẫu bằng 3,5.

d)Thứ tự các số là Mₒ > Mₑ > x̄.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 381496$ Tính trung vị của mẫu, làm tròn đến hàng phần mười. Đáp số:
2
Vận dụng $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 1214842$ Tính mốt của mẫu. Đáp số:
3
Vận dụng $Nh o ˊ m [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10) T a ˆ ˋ n s o ˆ ˊ 1214842$ Tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra trên lớp thường cho một bảng ghép nhóm rồi hỏi x̄, Mₑ, Q₁, Q₃ hoặc Mₒ; điểm hay mất ở chỗ chọn nhầm nhóm chứa hoặc lấy sai C.
•Hay có câu so sánh hai mẫu hoặc hỏi nên dùng số nào làm đại diện khi có giá trị bất thường: câu trả lời thường là trung vị.
•Chủ đề là nền cho lớp 12: khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁ và phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm dùng lại đúng cách tính Q₁, Q₃ và giá trị đại diện của bài này. Đề tốt nghiệp có thể hỏi các số đó từ một bảng ghép nhóm.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian